Лицей №239 из 8 в 9 класс 2008 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2008 год

1. Упростить: $\frac{a^{2}-4 b^{2}}{0,5 a-b}-4 b$.
2. Разложить на два множителя: $a^{3}-2 a+1$.
3. Решить неравенство: $|2 x-3|<4+x$.
4. Решить систему: $\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\ x^{2}+y=2\end{array}\right.$
5. При каких значениях $q$ сумма квадратов корней уравнения $x^{2}-q x+4=0$ равна $17 ?$
6. Решить неравенство: $\frac{(x-1)^{2}(x+3)(x-3)}{\sqrt{x+2}} \geq 0$.
7. Упростить: $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}-\sqrt{4-2 \sqrt{3}}$.
8. Найдите наименьшее трѐхзначное число, сумма цифр которого равна $22 .$
9. Построить график $y=\frac{x^{2}-3 x+2}{|x-2|}$.
10. При каких значениях $t$ уравнение $\frac{(x-t)(x-2)}{x-2 t}=0$ имеет ровно два разных корня?
11. «Зенит», « Спартак» и ЦСКА стали призѐрами первенства России по футболу. Сколькими способами они могут расположится на первых трѐх местах?
12. $a$ - чѐтное число, не кратное 6 . Найти остаток от деления числа $a^{2}$ на $12 .$
13. Саша и Стас вскапывают грядку за 10 минут, а один Стас за 15 минут. За сколько минут Саша один вскопает грядку?
14. При каких значениях $a$ уравнение $(a+1) x^{2}+2 x-a+1=0$ имеет ровно один корень?
15. Найти периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 кв. см, а точка пересечения диагоналей удалена от его сторон на 2 и 3 см.
16. Две стороны равнобедренного треугольника $3 \mathrm{~cm}$ и7 см. Найдите третью сторону. Ответ обосновать.
17. Катеты прямоугольного треугольника относятся как $3: 4$, гипотенуза равна 50 .Найти отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведенной из вершины прямого угла.
18. Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом $\kappa=3$ и проходящей через точку $\mathrm{A}(1 ; 2)$.
19. Стороны треугольника 5 см, 12 см и13см. Найти длину медианы, проведѐнной к большей стороне.
20. В прямоугольном треугольнике $A B C$ угол $C$ прямой. $\operatorname{tg} A=\frac{1}{2} .$ Найти $\cos A .$

Решения задач

1. Упростить: $\frac{a^{2}-4 b^{2}}{0,5 a-b}-4 b$.
   Решение:
   $\frac{a^{2}-4 b^{2}}{0,5 a-b} -4b = \frac{(a-2b)(a+2b)}{\frac{a-2b}{2}} -4b = 2(a+2b) -4b = 2a$.
   Ответ: $2a$.
2. Разложить на два множителя: $a^{3}-2 a+1$.
   Решение: Подбором находим корень $a=1$. Делим многочлен на $(a-1)$:
   $a^{3}-2a+1 = (a-1)(a^{2}+a-1)$.
   Ответ: $(a-1)(a^{2}+a-1)$.
3. Решить неравенство: $|2 x-3|<4+x$.
   Решение: Рассмотрим два случая:
   Случай 1: $2x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1,5$:
   $2x-3 < 4+x \Rightarrow x < 7$. Объединяя: $x \in [1,5; 7)$.
   Случай 2: $2x-3 < 0 \Rightarrow x < 1,5$:
   $-2x+3 < 4+x \Rightarrow -3x -\frac{1}{3}$. Объединяя: $x \in (-\frac{1}{3}; 1,5)$.
   Общее решение: $x \in (-\frac{1}{3}; 7)$.
   Ответ: $x \in \left(-\frac{1}{3}; 7\right)$.
4. Решить систему: $\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\ x^{2}+y=2\end{array}\right.$
   Решение: Выразим $y$ из первого уравнения: $y = \frac{3-x}{2}$. Подставим во второе:
   $x^{2} + \frac{3-x}{2} = 2 \Rightarrow 2x^{2} +3 -x =4 \Rightarrow 2x^{2}-x-1=0$.
   Корни: $x=1$ и $x=-\frac{1}{2}$. Соответствующие $y$: $1$ и $\frac{7}{4}$.
   Ответ: $(1; 1)$ и $\left(-\frac{1}{2}; \frac{7}{4}\right)$.
5. При каких значениях $q$ сумма квадратов корней уравнения $x^{2}-q x+4=0$ равна $17$?
   Решение: По теореме Виета:
   $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1}+x_{2})^{2} -2x_{1}x_{2} = q^{2} -8 =17 \Rightarrow q^{2}=25 \Rightarrow q= \pm5$.
   Ответ: $q=5$ или $q=-5$.
6. Решить неравенство: $\frac{(x-1)^{2}(x+3)(x-3)}{\sqrt{x+2}} \geq 0$.
   Решение: Область определения: $x+2>0 \Rightarrow x>-2$.
   Числитель: $(x-1)^{2}(x^{2}-9)$. Знаки:
   $-2 <x <1$: отрицательный; $1 <x 3$: положительный.
   Учитывая точки $x=1$ (числитель 0) и $x=3$ (числитель 0):
   Ответ: $x=1$ и $x \geq3$.
   Ответ: $x \in \{1\} \cup [3; +\infty)$.
7. Упростить: $\sqrt{4+2 \sqrt{3}}-\sqrt{4-2 \sqrt{3}}$.
   Решение: Заметим, что $4 \pm2\sqrt{3} = (\sqrt{3} \pm1)^{2}$:
   $\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}} - \sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}} = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) =2$.
   Ответ: $2$.
8. Найдите наименьшее трёхзначное число, сумма цифр которого равна $22$.
   Решение: Наименьшее число с максимальными старшими разрядами: $499$ (сумма $4+9+9=22$).
   Ответ: $499$.
9. Построить график $y=\frac{x^{2}-3 x+2}{|x-2|}$.
   Решение: Упростим выражение:
   При $x>2$: $y = \frac{(x-1)(x-2)}{x-2} =x-1$.
   При $x<2$: $y = \frac{(x-1)(x-2)}{-(x-2)} = -(x-1)$.
   График состоит из двух лучей: $y=x-1$ при $x>2$ и $y=-(x-1)$ при $x<2$, с выколотой точкой $x=2$.
   Ответ: График построен.
10. При каких значениях $t$ уравнение $\frac{(x-t)(x-2)}{x-2 t}=0$ имеет ровно два разных корня?
    Решение: Корни числителя: $x=t$ и $x=2$. Условия:
    $t \neq2t \Rightarrow t \neq0$; $2 \neq2t \Rightarrow t \neq1$; $t \neq2$.
    Ответ: $t \in \mathbb{R} \setminus \{0,1,2\}$.
11. Сколькими способами три команды могут расположиться на первых трёх местах?
    Решение: Число перестановок: $3! =6$.
    Ответ: $6$.
12. $a$ — чётное число, не кратное $6$. Найти остаток от деления числа $a^{2}$ на $12$.
    Решение: Пусть $a=2k$, где $k$ не кратно $3$. Тогда $a^{2}=4k^{2}$. При $k \equiv1$ или $2 \mod3$:
    $k^{2} \equiv1 \mod3 \Rightarrow 4k^{2} \equiv4 \mod12$.
    Ответ: $4$.
13. Саша и Стас вскапывают грядку за $10$ минут, а один Стас за $15$ минут. За сколько минут Саша один вскопает грядку?
    Решение: Совместная скорость: $\frac{1}{10}$, скорость Стаса: $\frac{1}{15}$. Скорость Саши: $\frac{1}{10}-\frac{1}{15} =\frac{1}{30}$. Время: $30$ минут.
    Ответ: $30$ минут.
14. При каких значениях $a$ уравнение $(a+1) x^{2}+2 x-a+1=0$ имеет ровно один корень?
    Решение: Дискриминант: $D=4 -4(a+1)(-a+1) =4a^{2}$.
    $D=0 \Rightarrow a=0$ (квадратное уравнение) или $a=-1$ (линейное уравнение).
    Ответ: $a=0$ или $a=-1$.
15. Найти периметр параллелограмма, если его площадь равна $24$ кв. см, а точка пересечения диагоналей удалена от его сторон на $2$ и $3$ см.
    Решение: Высоты параллелограмма: $4$ см и $6$ см. Стороны: $24/6=4$ см и $24/4=6$ см. Периметр: $2(4+6)=20$ см.
    Ответ: $20$ см.
16. Две стороны равнобедренного треугольника $3$ см и $7$ см. Найдите третью сторону.
    Решение: Если боковые стороны $3$ см, то $3+3 \not>7$ — невозможно. Значит, боковые стороны $7$ см, основание $3$ см.
    Ответ: $7$ см.
17. Катеты прямоугольного треугольника относятся как $3:4$, гипотенуза равна $50$. Найти отрезки, на которые гипотенуза делится высотой.
    Решение: Катеты $30$ см и $40$ см. Высота $h=24$ см. Отрезки: $\frac{30^{2}}{50}=18$ см и $\frac{40^{2}}{50}=32$ см.
    Ответ: $18$ см и $32$ см.
18. Найти уравнение прямой с угловым коэффициентом $\kappa=3$ и проходящей через точку $A(1;2)$.
    Решение: Уравнение $y=3x+b$. Подставляем $A(1;2)$: $2=3\cdot1 +b \Rightarrow b=-1$.
    Ответ: $y=3x-1$.
19. Стороны треугольника $5$ см, $12$ см и $13$ см. Найти длину медианы, проведённой к большей стороне.
    Решение: Треугольник прямоугольный. Медиана к гипотенузе равна её половине: $13/2=6,5$ см.
    Ответ: $6,5$ см.
20. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой. $\operatorname{tg} A=\frac{1}{2}$. Найти $\cos A$.
    Решение: Катеты $1$ и $2$, гипотенуза $\sqrt{5}$. $\cos A = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
    Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.