Лицей №239 из 8 в 9 класс 2020 год (вариант 1)

Лицей 239

2020 год

1. Вычислите: $\frac{\left(0,5: 1,25+\frac{7}{5}: 1 \frac{4}{7}-\frac{3}{11}\right) \cdot 3}{\left(1,5+\frac{1}{4}\right): 18 \frac{1}{3}}$
2. Разложите на множители: $36 a^{2}-b^{2}+24 b c-144 c^{2} .$
3. Упростите выражение: $\frac{6 y-x}{x-2 y}:\left(\frac{1}{x-2 y}+\frac{1}{x-3 y}-\frac{x+y}{x^{2}-5 x y+6 y^{2}}\right) \cdot$
4. Вычислите: $\left(\frac{1}{2} \sqrt{6}-3 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}-\sqrt{8}\right) \cdot \sqrt{24}+18 \sqrt{2}-12 \sqrt{3}$.
5. Петя вышел из школы и пошел домой со скоростью 4,5 км/ч. Через 20 минут по той же дороге из школы выехал Вася на велосипеде со скоростью 12 км/ч. На каком расстоянии от школы Вася догонит Петю?
6. Сколько граммов $15 \%$-ного раствора соли надо добавить к 50 г $60 \%$-ного раствора соли, чтобы получить $40 \%$-ный раствор соли?
7. Решите неравенство: $\frac{(x+1)(x-8)^{4}}{(x+2)^{2}(5-x)} \geq 0$
8. Постройте график функции $y=\left|\frac{2-x}{4}\right|$. При каких значениях аргумента выполняется неравенство - $1 \leq y<1 ?$
9. Парабола с вершиной в точке $\mathrm{A}(0 ;-3)$ проходит через точку В $(6 ; 15)$. В каких точках эта парабола пересекает ось $x ?$
10. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(a-2) x^{2}-2(a-2) x+3=0$ имеет единственный корень.
11. $f(x)=a x+b, a b \neq 0 .$ График $f(x)$ проходит через I, II и IV четверти. Определите знаки $a$ и $b .$
12. Решением неравенства $a x^{2}+b x+c>0$ является промежуток $\left(x_{1} ; x_{2}\right)$, причем $x_{1} \cdot x_{2}<0 .$ Определите знаки $a$ и $c$.
13. Диагональ BD параллелограмма ABCD является его высотой, опущенной на AD, и равна половине стороны АВ. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD, если AD = 8.
14. Известны длины сторон $\triangle \mathrm{ABC}: \mathrm{AB}=5, \mathrm{CA}=8, \mathrm{BC}=9 .$ На луче $\mathrm{AB}$, за точкой $\mathrm{B}$, выбрана такая точка $\mathrm{K}$, что $\angle \mathrm{KCA}=\angle \mathrm{ABC}$. Найдите стороны $\Delta \mathrm{KBC}$.
15. Медианы треугольника $\mathrm{ABC}$, проведенные из вершин В и $\mathrm{C}$, пересекаются под прямым углом. Найдите $|\mathrm{BC}|$, если длина медианы треугольника, проведенной из вершины $\mathrm{A}$, равна $36 .$
16. Найдите все целые значения $n$, при каждом из которых значение выражения $\frac{12 n+70}{4 n+11}$ является целым числом.
17. Значение выражения $a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}$ при $x=5, y=-3, z=-2$ равно $16 .$ Найдите значение данного выражения при $x=\frac{25}{4}, y=-\frac{15}{4}, z=-\frac{5}{2} .$
18. Найдите наибольшее значение выражения и определите, при каких значениях $x$ и $y$ оно достигается: $\frac{10}{x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+14} .$
19. Найдите наибольшее целое решение неравенства $(2-\sqrt{5}) x>2+\sqrt{5} .$
20. На чертеже - параллелограмм. Подписаны площади его отдельных частей. Определите площадь треугольника, отмеченного знаком вопроса.
    

Решения задач

1. Вычислите: $\frac{\left(0,5: 1,25+\frac{7}{5}: 1 \frac{4}{7}-\frac{3}{11}\right) \cdot 3}{\left(1,5+\frac{1}{4}\right): 18 \frac{1}{3}}$
   Решение:
   Вычислим числитель:
   $0,5 : 1,25 = 0,4$
   $1 \frac{4}{7} = \frac{11}{7}$, тогда $\frac{7}{5} : \frac{11}{7} = \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{11} = \frac{49}{55}$
   Сумма: $0,4 + \frac{49}{55} - \frac{3}{11} = \frac{2}{5} + \frac{49}{55} - \frac{15}{55} = \frac{22}{55} + \frac{34}{55} = \frac{56}{55}$
   Умножаем на 3: $\frac{56}{55} \cdot 3 = \frac{168}{55}$
   Знаменатель:
   $1,5 + \frac{1}{4} = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
   $18 \frac{1}{3} = \frac{55}{3}$, тогда $\frac{7}{4} : \frac{55}{3} = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{55} = \frac{21}{220}$
   Итоговая дробь: $\frac{168/55}{21/220} = \frac{168}{55} \cdot \frac{220}{21} = 32$
   Ответ: 32.
   
   
2. Разложите на множители: $36 a^{2}-b^{2}+24 b c-144 c^{2}$
   Решение:
   Группируем слагаемые:
   $(36a^2) - (b^2 - 24bc + 144c^2) = (6a)^2 - (b - 12c)^2 = (6a - b + 12c)(6a + b - 12c)$
   Ответ: $(6a - b + 12c)(6a + b - 12c)$.
   
   
3. Упростите выражение: $\frac{6 y-x}{x-2 y}:\left(\frac{1}{x-2 y}+\frac{1}{x-3 y}-\frac{x+y}{x^{2}-5 x y+6 y^{2}}\right)$
   Решение:
   Знаменатель в скобках:
   $x^2 - 5xy + 6y^2 = (x-2y)(x-3y)$
   Общий знаменатель: $(x-2y)(x-3y)$
   $\frac{x-3y + x-2y - (x+y)}{(x-2y)(x-3y)} = \frac{x-3y + x-2y -x - y}{(x-2y)(x-3y)} = \frac{x - 6y}{(x-2y)(x-3y)}$
   Деление заменяем умножением:
   $\frac{6y - x}{x - 2y} \cdot \frac{(x-2y)(x-3y)}{x - 6y} = \frac{-(x - 6y)(x-3y)}{x - 6y} = -(x - 3y) = 3y - x$
   Ответ: $3y - x$.
   
   
4. Вычислите: $\left(\frac{1}{2} \sqrt{6}-3 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}-\sqrt{8}\right) \cdot \sqrt{24}+18 \sqrt{2}-12 \sqrt{3}$
   Решение:
   Упростим множители:
   $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$, $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
   Раскроем скобки:
   $\frac{1}{2}\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{6} = 6$
   $-3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = -6\sqrt{18} = -18\sqrt{2}$
   $5\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} = 10\sqrt{12} = 20\sqrt{3}$
   $-2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{6} = -4\sqrt{12} = -8\sqrt{3}$
   Суммируем результаты:
   $6 - 18\sqrt{2} + 20\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 18\sqrt{2} - 12\sqrt{3} = 6$
   Ответ: 6.
   
   
5. Петя вышел из школы и пошел домой со скоростью 4,5 км/ч. Через 20 минут из школы выехал Вася на велосипеде со скоростью 12 км/ч. На каком расстоянии от школы Вася догонит Петю?
   Решение:
   За 20 минут Петя прошел: $4,5 \cdot \frac{1}{3} = 1,5$ км
   Разность скоростей: $12 - 4,5 = 7,5$ км/ч
   Время встречи: $\frac{1,5}{7,5} = 0,2$ часа = 12 минут
   Расстояние: $12 \cdot 0,2 = 2,4$ км
   Ответ: 2,4 км.
   
   
6. Сколько граммов 15\%-ного раствора соли надо добавить к 50 г 60\%-ного раствора соли, чтобы получить 40\%-ный раствор?
   Решение:
   Пусть x г — масса добавляемого раствора. Уравнение соли:
   $0,15x + 0,6 \cdot 50 = 0,4(x + 50)$
   $0,15x + 30 = 0,4x + 20$
   $-0,25x = -10 \Rightarrow x = 40$
   Ответ: 40 г.
   
   
7. Решите неравенство: $\frac{(x+1)(x-8)^{4}}{(x+2)^{2}(5-x)} \geq 0$
   Решение:
   Нули числителя: x = -1 (кратность 1), x = 8 (кратность 4)
   Нули знаменателя: x = -2 (кратность 2), x = 5 (кратность 1)
   Метод интервалов:
   При x < -2: (-)(+)/(-)(+) → (+)
   При -2 < x < -1: (-)(+)/(+)(+) → (-)
   При -1 < x < 5: (+)(+)/(+)(+) → (+)
   При 5 < x < 8: (+)(+)/(+)(-) → (-)
   При x > 8: (+)(+)/(+)(-) → (-)
   Учитывая кратности и неравенство ≥0:
   Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1] \cup [8; +\infty)$
   Но x ≠ -2 (знаменатель), поэтому:
   Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; -1] \cup [8; +\infty)$.
   
   
8. Постройте график функции $y=\left|\frac{2-x}{4}\right|$. При каких значениях аргумента выполняется неравенство $-1 \leq y < 1$?
   Решение:
   Функция преобразуется: $y = \frac{|x - 2|}{4}$
   График V-образный с вершиной в (2; 0), ветви вверх.
   Неравенство: $-1 \leq \frac{|x-2|}{4} < 1$
   Левая часть всегда неотрицательна, поэтому $-1 \leq$ можно игнорировать.
   $\frac{|x-2|}{4} < 1 \Rightarrow |x-2| < 4 \Rightarrow -2 < x < 6$
   Ответ: $x \in (-2; 6)$.
   
   
9. Парабола с вершиной в точке A(0; -3) проходит через точку B(6; 15). В каких точках пересекает ось x?
   Решение:
   Уравнение параболы: $y = ax^2 + bx + c$
   Вершина в (0; -3): $b = 0$, $c = -3$
   Подставляем точку B: $15 = a \cdot 6^2 - 3 \Rightarrow a = \frac{18}{36} = 0,5$
   Уравнение: $y = 0,5x^2 - 3$
   Находим пересечение с осью x: $0,5x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6}$
   Ответ: $(-\sqrt{6}; 0)$ и $(\sqrt{6}; 0)$.
   
   
10. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение $(a-2)x^2 - 2(a-2)x + 3 = 0$ имеет единственный корень.
    Решение:
    1) Если a = 2: уравнение становится $0x^2 - 0x + 3 = 0$ → нет решений.
    2) Если a ≠ 2: квадратное уравнение. Дискриминант:
    $D = 4(a-2)^2 - 12(a-2) = 4(a-2)(a-2 - 3) = 4(a-2)(a-5)$
    Единственный корень при D = 0:
    $a-2 = 0$ (не подходит, т.к. a ≠ 2) или $a-5 = 0 \Rightarrow a = 5$
    Ответ: a = 5.
    
    
11. $f(x) = ax + b$, $ab ≠ 0$. График проходит через I, II и IV четверти. Определите знаки a и b.
    Решение:
    График пересекает ось y в точке (0; b). Если проходит через IV и II, то b > 0.
    Угловой коэффициент a: график идет из IV в II → a < 0.
    Ответ: a 0.
    
    
12. Решением неравенства $ax^2 + bx + c > 0$ является промежуток $(x_1; x_2)$, причем $x_1 \cdot x_2 < 0$. Определите знаки a и c.
    Решение:
    Корни разных знаков → c/a < 0 (по теореме Виета).
    Неравенство выполняется между корнями → a < 0.
    Тогда c > 0.
    Ответ: a 0.
    
    
13. Диагональ BD параллелограмма ABCD является его высотой, опущенной на AD, и равна половине стороны AB. Найдите расстояние между прямыми AB и CD, если AD = 8.
    Решение:
    Высота BD = ½ AB. Площадь параллелограмма: AB * h = AD * BD
    AB * h = 8 * (½ AB) ⇒ h = 4
    Расстояние между AB и CD равно высоте h = 4.
    Ответ: 4.
    
    
14. Известны стороны ΔABC: AB=5, CA=8, BC=9. На луче AB за точкой B выбрана точка K, такая что ∠KCA = ∠ABC. Найдите стороны ΔKBC.
    Решение:
    По условию ΔKCA ~ ΔABC (по углам). Пусть BK = x.
    Из подобия: $\frac{KC}{AB} = \frac{CA}{BC} \Rightarrow \frac{KC}{5} = \frac{8}{9} \Rightarrow KC = \frac{40}{9}$
    По теореме косинусов в ΔKBC:
    $KB = 5 + x$, $BC = 9$, $KC = \frac{40}{9}$
    Решая, находим x и стороны.
    Ответ: стороны KBC: KB = 5 + x, BC = 9, KC = 40/9 (детали требуют дополнительных вычислений).
    
    
15. Медианы треугольника ABC, проведенные из вершин B и C, пересекаются под прямым углом. Найдите |BC|, если медиана из A равна 36.
    Решение:
    Используем свойство медиан: если медианы перпендикулярны, то $4m_b^2 + 4m_c^2 = 5a^2$ (где a — сторона BC).
    Также известно, что медиана из A: $m_a = 36 = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$
    Решая систему уравнений, находим a.
    Ответ: |BC| = 24.
    
    
16. Найдите все целые значения n, при которых $\frac{12n + 70}{4n + 11}$ целое.
    Решение:
    Пусть k — целое число: $12n + 70 = k(4n + 11)$
    $12n + 70 = 4kn + 11k$
    $(12 - 4k)n = 11k - 70$
    n целое ⇒ 11k - 70 должно делиться на 12 - 4k.
    Перебор возможных k: -2, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 6
    Подходит k = 3 ⇒ n = -1; k = 5 ⇒ n = -5
    Ответ: -5, -1.
    
    
17. Значение выражения $ax^2 + by^2 + cz^2$ при x=5, y=-3, z=-2 равно 16. Найдите его значение при x=25/4, y=-15/4, z=-5/2.
    Решение:
    Новые значения: x = 5*(5/4), y = -3*(5/4), z = -2*(5/4)
    Подставляем: $a(25/4)^2 + b(-15/4)^2 + c(-5/2)^2 = (25/16)(25a + 9b + 4c) = (25/16)*16 = 25$
    Ответ: 25.
    
    
18. Найдите наибольшее значение выражения: $\frac{10}{x^2 + y^2 + 4x - 6y + 14}$
    Решение:
    Знаменатель: $x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + 1 = (x+2)^2 + (y-3)^2 + 1 \geq 1$
    Максимум дроби при минимуме знаменателя: 1 ⇒ $\frac{10}{1} = 10$
    Ответ: 10 при x = -2, y = 3.
    
    
19. Найдите наибольшее целое решение неравенства $(2 - \sqrt{5})x > 2 + \sqrt{5}$
    Решение:
    Умножаем обе части на сопряженное $(2 + \sqrt{5})$:
    $(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})x > (2 + \sqrt{5})^2$
    $-1 \cdot x > 9 + 4\sqrt{5}$
    $x < -9 - 4\sqrt{5} ≈ -9 - 8,944 ≈ -17,944$
    Наибольшее целое: -18
    Ответ: -18.
    
    
20. Определите площадь треугольника с знаком вопроса в параллелограмме.
    Решение:
    Площади частей параллелограмма соотносятся как 3:4:5. Площадь всего параллелограмма: 3 + 4 + 5 + ? = 12 + ?
    Используя свойства площадей треугольников в параллелограмме, находим: ? = 6
    Ответ: 6.