Лицей №239 из 8 в 9 класс 2017 год (вариант 1)

Лицей 239

2017 год

1. Упростите: $\frac{x \sqrt{x}-y \sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$
2. В банк 01.01.2014 г. положили 50000 р. 31 декабря каждого года банк увеличивает вклад на одно и то же число процентов. На какое число процентов ежегодно увеличивается вклад, если $01.01 .2016$ г. вклад составил 55125 р.?
3. Решите неравенство: $\left|x^{2}-6 x-7\right| \geq-6 x+7$.
4. Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}x y+x^{2}=10 \\ x y+y^{2}=15\end{array}\right.$
5. Не решая уравнение $x^{2}-4 x-1=0$, найдите сумму кубов его корней.
6. Решите уравнение $x^{3}-x^{2}+b x+24=0$, если известно, что один из его корней равен $3 .$
7. Упростите: $\sqrt{83-18 \sqrt{2}}-\sqrt{2}$.
8. Сколько трёхзначных нечетных чисел можно составить из цифр $0,1,4,5$, если цифры числа могут повторяться?
9. Постройте график функции $y=\frac{3 x^{2}-8 x+4}{|2 x-2|-x}$. При каких $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком общих точек?
10. При каких значениях $x$ и $y$ выражение $20-2 x^{2}+2 x y-4 x-y^{2}$ принимает наибольшее значение?
11. При каких $a$ уравнение $a x^{2}-2(a-2) x+a+1=0$ имеет ровно один корень?
12. Решите уравнение: $x^{2}-6 x+7+\frac{2}{x^{2}-6 x+10}=0$.
13. 1 км от дома до остановки автобуса Петя проходит за 15 мин. Следующие 7 км на автобусе он проезжает за 12 мин. 2 км от остановки до школы мальчик пробегает за 13 мин. Какова средняя скорость Пети в школу?
14. Бросаются 2 игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $10 .$
15. Вычислите площадь треугольника, ограниченного графиком функции $y=|2 x-2|-1$ и осью абсцисс.
16. В треугольнике $A B C A B: A C=3: 5, A D$ - биссектриса. Найдите площадь треугольника $A C D$, если площадь треугольника $A B D$ равна $9 \mathrm{~cm}^{2}$.
17. Точка $\mathrm{K}$ принадлежит стороне $\mathrm{AB}$ параллелограмма $\mathrm{ABCD}$. Найдите площадь $\mathrm{ABCD}$, если площадь треугольника CDK равна 28 .
18. В остроугольном треугольнике $\mathrm{ABC}$ провели высоты $\mathrm{AA}_{1}$ и $\mathrm{BB}_{1}$. Найдите $\angle \mathrm{CA}_{1} \mathrm{~B}_{1}$, если $\angle \mathrm{BAC}=32^{\circ}$.
19. В трапеции ABCD основание AD больше основания BC на 5 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если $\angle \mathrm{A}=12^{\circ} ; \angle \mathrm{D}=78^{\circ}$.
20. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза - 12, а высота, проведённая к ней, равна $3 .$

Решения задач

1. Упростите: $\frac{x \sqrt{x}-y \sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$
   Решение: Представим числитель как разность кубов:
   $\frac{(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = (\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x + \sqrt{xy} + y$.
   Ответ: $x + y + \sqrt{xy}$.
   
   
2. В банк 01.01.2014 г. положили 50000 р. 31 декабря каждого года банк увеличивает вклад на одно и то же число процентов. На какое число процентов ежегодно увеличивается вклад, если $01.01.2016$ г. вклад составил 55125 р.?
   Решение: Пусть годовая ставка $r\%$. Тогда:
   $50000 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^2 = 55125$
   $\left(1 + \frac{r}{100}\right)^2 = 1.1025 \Rightarrow 1 + \frac{r}{100} = 1.05 \Rightarrow r = 5\%$.
   Ответ: 5\%.
   
   
3. Решите неравенство: $\left|x^{2}-6 x-7\right| \geq-6 x+7$.
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1) $-6x + 7 \leq 0 \Rightarrow x \geq \frac{7}{6}$. Неравенство выполняется для всех $x$.
   2) $-6x + 7 > 0 \Rightarrow x < \frac{7}{6}$. Тогда:
   $x^2 - 6x - 7 \geq -6x + 7$ или $x^2 - 6x - 7 \leq 6x - 7$.
   Первое: $x^2 \geq 14 \Rightarrow x \leq -\sqrt{14}$.
   Второе: $x^2 - 12x \leq 0 \Rightarrow x \in [0; 12]$, но $x < \frac{7}{6} \Rightarrow x \in [0; \frac{7}{6})$.
   Объединяя решения: $x \leq -\sqrt{14}$ или $x \geq 0$.
   Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{14}] \cup [0; +\infty)$.
   
   
4. Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}x y+x^{2}=10 \\ x y+y^{2}=15\end{array}\right.$
   Решение: Вычтем уравнения:
   $y^2 - x^2 = 5 \Rightarrow (y - x)(y + x) = 5$.
   Из первого уравнения: $x(x + y) = 10$. Пусть $S = x + y$, тогда $xS = 10$ и $(y - x)S = 5$.
   Решая систему, получаем $S = 5$, $x = 2$, $y = 3$ или $S = -5$, $x = -2$, $y = -3$.
   Ответ: $(2; 3)$, $(-2; -3)$.
   
   
5. Не решая уравнение $x^{2}-4 x-1=0$, найдите сумму кубов его корней.
   Решение: По теореме Виета: $a + b = 4$, $ab = -1$.
   Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b) = 64 - 3(-1) \cdot 4 = 76$.
   Ответ: 76.
   
   
6. Решите уравнение $x^{3}-x^{2}+b x+24=0$, если известно, что один из его корней равен $3$.
   Решение: Подставим $x = 3$:
   $27 - 9 + 3b + 24 = 0 \Rightarrow b = -14$.
   Разложим многочлен: $(x - 3)(x^2 + 2x - 8) = 0 \Rightarrow x = 3, 2, -4$.
   Ответ: $x = 3, 2, -4$.
   
   
7. Упростите: $\sqrt{83-18 \sqrt{2}}-\sqrt{2}$.
   Решение: Представим $\sqrt{83 - 18\sqrt{2}}$ как $9 - \sqrt{2}$:
   $(9 - \sqrt{2})^2 = 81 - 18\sqrt{2} + 2 = 83 - 18\sqrt{2}$.
   Тогда выражение: $(9 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} = 9 - 2\sqrt{2}$.
   Ответ: $9 - 2\sqrt{2}$.
   
   
8. Сколько трёхзначных нечетных чисел можно составить из цифр $0,1,4,5$, если цифры числа могут повторяться?
   Решение: Первая цифра: 3 варианта (1,4,5), вторая: 4, третья: 2 (1,5).
   Всего: $3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$.
   Ответ: 24.
   
   
9. Постройте график функции $y=\frac{3 x^{2}-8 x+4}{|2 x-2|-x}$. При каких $a$ прямая $y=a$ не имеет с графиком общих точек?
   Решение: Упростим знаменатель:
   При $x \geq 1$: $|2x - 2| = 2x - 2 \Rightarrow y = \frac{(3x - 2)(x - 2)}{x - 2} = 3x - 2$ ($x \neq 2$).
   При $x < 1$: $|2x - 2| = 2 - 2x \Rightarrow y = \frac{(3x - 2)(x - 2)}{2 - 3x} = 2 - x$ ($x \neq \frac{2}{3}$).
   Прямая $y = a$ не пересекает график при $a = \frac{4}{3}$ (вертикальная асимптота) и $a = 1$ (точка разрыва).
   Ответ: $a = \frac{4}{3}$, $a = 1$.
   
   
10. При каких значениях $x$ и $y$ выражение $20-2 x^{2}+2 x y-4 x-y^{2}$ принимает наибольшее значение?
    Решение: Выделим полные квадраты:
    $20 - (2x^2 - 2xy + 4x + y^2) = 20 - [(x + 1)^2 + (y - 2)^2] + 24$.
    Максимум достигается при $x = -2$, $y = -2$.
    Ответ: $x = -2$, $y = -2$.
    
    
11. При каких $a$ уравнение $a x^{2}-2(a-2) x+a+1=0$ имеет ровно один корень?
    Решение: При $a = 0$: линейное уравнение с одним корнем.
    При $a \neq 0$: дискриминант $D = -20a + 16 = 0 \Rightarrow a = \frac{4}{5}$.
    Ответ: $a = 0$, $a = \frac{4}{5}$.
    
    
12. Решите уравнение: $x^{2}-6 x+7+\frac{2}{x^{2}-6 x+10}=0$.
    Решение: Замена $t = x^2 - 6x$:
    $t + 7 + \frac{2}{t + 10} = 0 \Rightarrow t^2 + 17t + 72 = 0 \Rightarrow t = -8, -9$.
    Возвращаемся к $x$: $x = 2, 3, 4$.
    Ответ: $x = 2, 3, 4$.
    
    
13. 1 км от дома до остановки автобуса Петя проходит за 15 мин. Следующие 7 км на автобусе он проезжает за 12 мин. 2 км от остановки до школы мальчик пробегает за 13 мин. Какова средняя скорость Пети в школу?
    Решение: Общее расстояние: $1 + 7 + 2 = 10$ км. Время: $\frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ часа.
    Средняя скорость: $\frac{10}{\frac{2}{3}} = 15$ км/ч.
    Ответ: 15 км/ч.
    
    
14. Бросаются 2 игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $10$.
    Решение: Благоприятные исходы: (4,6), (5,5), (6,4). Всего исходов: 36.
    Вероятность: $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.
    Ответ: $\frac{1}{12}$.
    
    
15. Вычислите площадь треугольника, ограниченного графиком функции $y=|2 x-2|-1$ и осью абсцисс.
    Решение: Точки пересечения с осью $Ox$: $x = 0.5$, $x = 1.5$. Высота треугольника: 1.
    Площадь: $\frac{1 \cdot 1}{2} = 0.5$.
    Ответ: 0.5.
    
    
16. В треугольнике $ABC$ $AB:AC=3:5$, $AD$ - биссектриса. Найдите площадь треугольника $ACD$, если площадь треугольника $ABD$ равна $9 \mathrm{~cm}^{2}$.
    Решение: Отношение площадей: $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5} \Rightarrow S_{ACD} = 15$ см².
    Ответ: 15 см².
    
    
17. Точка $K$ принадлежит стороне $AB$ параллелограмма $ABCD$. Найдите площадь $ABCD$, если площадь треугольника $CDK$ равна 28.
    Решение: Площадь треугольника $CDK$ равна половине площади параллелограмма $\Rightarrow S_{ABCD} = 56$.
    Ответ: 56.
    
    
18. В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_1$ и $BB_1$. Найдите $\angle CA_1B_1$, если $\angle BAC=32^{\circ}$.
    Решение: Угол $\angle CA_1B_1$ равен углу $\angle BAC = 32^{\circ}$ (свойство ортотреугольника).
    Ответ: $32^{\circ}$.
    
    
19. В трапеции $ABCD$ основание $AD$ больше основания $BC$ на 5 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если $\angle A=12^{\circ}$, $\angle D=78^{\circ}$.
    Решение: Средняя линия трапеции: $\frac{AD + BC}{2} = BC + 2.5$. Из геометрических соотношений: $BC = \frac{5 \sin 24^{\circ}}{2}$, средняя линия: $\frac{5}{2} = 2.5$ см.
    Ответ: 2.5 см.
    
    
20. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза - 12, а высота, проведённая к ней, равна $3$.
    Решение: Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3 = 18$. Катеты: $a \cdot b = 36$, $a^2 + b^2 = 144$. Решая, получаем углы $75^{\circ}$ и $15^{\circ}$.
    Ответ: $75^{\circ}$, $15^{\circ}$.