Лицей №239 из 8 в 9 (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2008 год

Вариант М-9-2001(июнь)

1. Найти х: $\quad\left(\left(\frac{7}{9}-\frac{47}{72}\right): 1,25+\left(\frac{6}{7}-\frac{17}{28}\right):(x-0,108)\right) \cdot 1,6-\frac{19}{25}=1$
2. Упростить выражение и найти его значение при х $=\sqrt{3,92}$ : $1:\left(\frac{1+x+x^{2}}{2 x+x^{2}}+2-\frac{1-x+x^{2}}{2 x-x^{2}}\right) \cdot\left(5-2 x^{2}\right)$
3. Решить уравнения:
   1. $\frac{5}{x+1}+\frac{2 x-3}{0,5 x^{2}+2 x+1,5}=3$
   2. $\sqrt{3 x+4} \cdot\left(9 x^{2}+21 x+10\right)=0$
4. Решить систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{3 x-1}-\frac{5}{2 x-1}: \frac{3 x-1}{4 x^{2}-1} \geq \frac{3-13 x}{3 x-1}-2 \\ \frac{2-\frac{1-x}{3}}{2}+\frac{3+\frac{1-0,5 x}{2}}{3}-\frac{x}{2}-\frac{3 x+2}{3} \geq 0\end{array}\right.$
5. Построить график: $y=\frac{1}{\sqrt{(2 x-3)^{2}}}+\frac{1}{(\sqrt{3-2 x})^{2}}-x$
6. Не решая квадратного уравнения $3 x^{2}+7 x-13=0$ с корнями $x_{I}$ и $x_{2}$, составить квадратное уравнение, корнями которого будут числа обратные $x_{1}$ и $x_{2}$

Решения задач

1. Найти х: $\quad\left(\left(\frac{7}{9}-\frac{47}{72}\right): 1,25+\left(\frac{6}{7}-\frac{17}{28}\right):(x-0,108)\right) \cdot 1,6-\frac{19}{25}=1$
   Решение:
   Упростим выражения в скобках:
   $\frac{7}{9} - \frac{47}{72} = \frac{56}{72} - \frac{47}{72} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}$
   $\frac{6}{7} - \frac{17}{28} = \frac{24}{28} - \frac{17}{28} = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$
   Подставим в уравнение:
   $\left(\frac{1}{8} : 1,25 + \frac{1}{4} : (x - 0,108)\right) \cdot 1,6 - \frac{19}{25} = 1$
   $\frac{1}{8} : 1,25 = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{10}$
   Уравнение принимает вид:
   $\left(\frac{1}{10} + \frac{1}{4(x - 0,108)}\right) \cdot 1,6 = 1 + \frac{19}{25} = \frac{44}{25}$
   Разделим обе части на 1,6 ($= \frac{8}{5}$):
   $\frac{1}{10} + \frac{1}{4(x - 0,108)} = \frac{44}{25} \cdot \frac{5}{8} = \frac{11}{10}$
   Переносим $\frac{1}{10}$:
   $\frac{1}{4(x - 0,108)} = \frac{11}{10} - \frac{1}{10} = 1$
   $4(x - 0,108) = 1$
   $x - 0,108 = 0,25$
   $x = 0,358$
   Ответ: $0,358$.
   
   
2. Упростить выражение и найти его значение при $x =\sqrt{3,92}$: $1:\left(\frac{1+x+x^{2}}{2 x+x^{2}}+2-\frac{1-x+x^{2}}{2 x-x^{2}}\right) \cdot\left(5-2 x^{2}\right)$
   Решение:
   Упростим выражение в скобках:
   $\frac{1+x+x^{2}}{x(2+x)} + 2 - \frac{1-x+x^{2}}{x(2-x)} = \frac{(x^2+x+1)}{x(x+2)} + 2 - \frac{(x^2-x+1)}{x(2-x)}$
   Приведем к общему знаменателю $x(x+2)(2-x)$:
   $\frac{(x^2+x+1)(2-x) + 2x(x+2)(2-x) - (x^2-x+1)(x+2)}{x(x+2)(2-x)}$
   После раскрытия скобок и упрощения:
   $\frac{4x}{x(x+2)(2-x)} = \frac{4}{(x+2)(2-x)}$
   Исходное выражение:
   $1 : \frac{4}{(x+2)(2-x)} \cdot (5-2x^2) = \frac{(x+2)(2-x)(5-2x^2)}{4}$
   Подставим $x = \sqrt{3,92} = \sqrt{\frac{98}{25}} = \frac{7\sqrt{2}}{5}$:
   $(5 - 2x^2) = 5 - 2 \cdot \frac{98}{25} = 5 - \frac{196}{25} = -\frac{21}{25}$
   $(x+2)(2-x) = 4 - x^2 = 4 - \frac{98}{25} = \frac{2}{25}$
   Результат: $\frac{\frac{2}{25} \cdot (-\frac{21}{25})}{4} = -\frac{42}{2500} = -\frac{21}{1250}$
   Ответ: $-\frac{21}{1250}$.
   
   
3. Решить уравнения:
   1. $\frac{5}{x+1}+\frac{2 x-3}{0,5 x^{2}+2 x+1,5}=3$
      Решение:
      Преобразуем знаменатель второй дроби:
      $0,5x^2 + 2x + 1,5 = 0,5(x^2 + 4x + 3) = 0,5(x+1)(x+3)$
      Уравнение:
      $\frac{5}{x+1} + \frac{2x-3}{0,5(x+1)(x+3)} = 3$
      Умножим обе части на $0,5(x+1)(x+3)$:
      $5 \cdot 0,5(x+3) + (2x-3) = 1,5(x+1)(x+3)$
      $2,5(x+3) + 2x - 3 = 1,5(x^2 + 4x + 3)$
      $2,5x + 7,5 + 2x - 3 = 1,5x^2 + 6x + 4,5$
      $4,5x + 4,5 = 1,5x^2 + 6x + 4,5$
      $1,5x^2 + 1,5x = 0$
      $x(1,5x + 1,5) = 0$
      Корни: $x = 0$ (посторонний, т.к. $x+1 \neq 0$) и $x = -1$ (не входит в ОДЗ)
      Ответ: Нет решений.
      
      
   2. $\sqrt{3 x+4} \cdot\left(9 x^{2}+21 x+10\right)=0$
      Решение:
      Произведение равно нулю, если:
      1) $\sqrt{3x+4} = 0 \Rightarrow 3x+4 = 0 \Rightarrow x = -\frac{4}{3}$
      2) $9x^2 + 21x + 10 = 0$
      $D = 441 - 360 = 81$
      $x = \frac{-21 \pm 9}{18} = -\frac{12}{18} = -\frac{2}{3}$ или $-\frac{30}{18} = -\frac{5}{3}$
      Проверим ОДЗ для корней:
      $3x + 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{4}{3}$
      $-\frac{5}{3} < -\frac{4}{3}$ — не подходит
      Ответ: $x = -\frac{4}{3}$, $x = -\frac{2}{3}$.
   
   
   
4. Решить систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l} \frac{7}{3 x-1}-\frac{5}{2 x-1}: \frac{3 x-1}{4 x^{2}-1} \geq \frac{3-13 x}{3 x-1}-2 \\ \frac{2-\frac{1-x}{3}}{2}+\frac{3+\frac{1-0,5 x}{2}}{3}-\frac{x}{2}-\frac{3 x+2}{3} \geq 0 \end{array}\right.$
   Решение:
   Первое неравенство:
   $\frac{7}{3x-1} - \frac{5(4x^2-1)}{(2x-1)(3x-1)} \geq \frac{3-13x - 2(3x-1)}{3x-1}$
   Упростим правую часть:
   $\frac{3-13x -6x +2}{3x-1} = \frac{5-19x}{3x-1}$
   Переносим все в левую часть:
   $\frac{7}{3x-1} - \frac{5(2x+1)}{3x-1} - \frac{5-19x}{3x-1} \geq 0$
   $\frac{7 - 10x -5 -5 +19x}{3x-1} \geq 0$
   $\frac{9x -3}{3x-1} \geq 0 \Rightarrow \frac{3(3x-1)}{3x-1} \geq 0 \Rightarrow 3 \geq 0$ при $3x-1 \neq 0$
   Решение: $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{3}\}$
   Второе неравенство:
   $\frac{6 - (1-x)}{6} + \frac{9 + (1-0,5x)}{6} - \frac{3x + 2}{3} - \frac{x}{2} \geq 0$
   Упростим:
   $\frac{5 + x + 10 - 0,5x}{6} - \frac{3x + 2}{3} - \frac{x}{2} = \frac{15 + 0,5x}{6} - \frac{3x + 2}{3} - \frac{x}{2}$
   Приведем к общему знаменателю 6:
   $15 + 0,5x - 6x -4 -3x = 11 - 8,5x \geq 0$
   $-8,5x \geq -11 \Rightarrow x \leq \frac{22}{17}$
   Объединяя решения: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{22}{17}]$
   Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{22}{17}]$.
   
   
5. Построить график: $y=\frac{1}{\sqrt{(2 x-3)^{2}}}+\frac{1}{(\sqrt{3-2 x})^{2}}-x$
   Решение:
   Упростим выражение:
   $\sqrt{(2x-3)^2} = |2x-3|$, $\sqrt{3-2x}$ определено при $3-2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1,5$
   Функция принимает вид:
   $y = \frac{1}{|2x-3|} + \frac{1}{3-2x} - x$
   Рассмотрим два случая:
   1) $x < 1,5$: $|2x-3| = 3-2x$
   $y = \frac{1}{3-2x} + \frac{1}{3-2x} - x = \frac{2}{3-2x} - x$
   2) $x > 1,5$: $|2x-3| = 2x-3$, но тогда $\sqrt{3-2x}$ не определен
   График существует только при $x < 1,5$
   Ответ: График функции $y = \frac{2}{3-2x} - x$ при $x < 1,5$.
   
   
6. Не решая квадратного уравнения $3 x^{2}+7 x-13=0$ с корнями $x_{1}$ и $x_{2}$, составить квадратное уравнение, корнями которого будут числа обратные $x_{1}$ и $x_{2}$
   Решение:
   По теореме Виета:
   $x_1 + x_2 = -\frac{7}{3}$, $x_1x_2 = -\frac{13}{3}$
   Для нового уравнения с корнями $\frac{1}{x_1}$ и $\frac{1}{x_2}$:
   Сумма корней: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-7/3}{-13/3} = \frac{7}{13}$
   Произведение: $\frac{1}{x_1x_2} = \frac{1}{-13/3} = -\frac{3}{13}$
   Уравнение: $x^2 - \frac{7}{13}x - \frac{3}{13} = 0$ или $13x^2 -7x -3 = 0$
   Ответ: $13x^2 -7x -3 = 0$.