Лицей №239 из 7 в 8 класс 2018 год (вариант 2)

Лицей 239

2018 год

1. Пусть $B=5 \frac{23}{34}+3 \frac{27}{34}:\left(23,225-28 \frac{3}{5}\right), Q=768 \cdot 764-769 \cdot 763, M=4 \frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{2}{27}+\frac{1}{81}+\frac{2}{243}$. Определите, какое из этих чисел самое большое: $B, Q$ или $M$.
2. Пусть $n$ - некоторое натуральное число. Упростите: $\left(2^{3 n+1}-11 \cdot 2^{3 n+2}\right)\left(3 \cdot 7^{n}+7^{n+1}\right): 56^{n+1}$.
3. Решите уравнение: $9(4-x)-(3-2 x)^{3}=(2 x-1)\left(4 x^{2}+2 x+1\right)-(3 x-2)(12 x-1)$.
4. Найдите все значения $t$, при каждом из которых прямая $y=(2 t-1) x+9,5-5 t$ проходит через точку пересечения прямых $y=\frac{x}{3}-6,5$ и $y=-4 x+26$.
5. Упростите: $\left(1-\frac{5}{3-b}\right)^{2}+\left(\frac{2 b+1}{b^{2}-6 b+8}-\frac{9}{2 b-8}\right): \frac{b^{2}-6 b+9}{2 b^{2}-8} .$
6. Точка $M$ лежит на отрезке $A C$, а точка $P$ - на отрезке $B C$. Отрезки $A P$ и $B M$ пересекают ся в точке $K$. Оказалось, что $\angle A C B=26^{\circ}, \angle C A P: \angle B A P=5: 6, \angle A B M: \angle C B M=6: 5$. Найдите величину угла $A K B$.
7. У Васи есть своя коллекция фантиков, у Пети - своя. Как-то раз они решили поменяться фантиками. Сначала Петя отдал Васе $20 \%$ своих фантиков. Затем Вася перемешал свою новую коллекцию, выбрал $20 \%$ фант иков и отдал их Пете, который с изумлением обнаружил, что теперь у него стало сколько же фантиков, сколько было сначала. Наконец, Петя передал Васе $48 \%$ фантиков. Определите, во сколько раз увеличилось число фантиков в коллекции Васи после всех обменов.
8. Три зайца и два кролика съедают тарелку моркови за двенадцать секунд, а пять зайцев и восемь кроликов съедают такую же тарелку моркови за четыре секунды. Определите, за сколько секунд с этим же количеством моркови справятся два зайца и кролик (все зайцы едят одинаково быстро, все кролики - тоже).
9. У Васи есть мишень для игры в "Дартс", в которой есть два центральных сектора (желтый и черный) и 20 наружных секторов, пронумерованных числами от 1 до 20 . За попадание в желтый центральный сектор игрок получает 25 очков, за попадание в черный центральный сектор - 50 очков. За попадание в наружный сектор игрок получает количество очков, равное номеру этого сектора, при этом в каждом из наружных секторов есть зоны удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Например, за попадание в сектор 7 (не в зоны удвоения или утроения) игрок получает 7 очков, за попадание в зону удвоения сектора 7 игрок получает 14 очков, а за попадание в зону утроения сектора 7 - 21 очко. В центральных секторах зон удвоения и утроения нет. Вася хочет за несколько бросков набрать ровно 824 очка. Какое наименьшее количество бросков ему потребуется для этого?
10. Точка $D$ - середина стороны $A B$ треугольника $A B C$, в котором $\angle C=90^{\circ}, \angle A=60^{\circ} .$ На стороне $B C$ отмечена такая точка $M$, что $B M=A C$. Пусть $M K$ - высота треугольника $M C D$. Докажите, что удвоенный периметр треугольника $M D K$ больше периметра треугольника $M D C .$

Решения задач

1. Определим значения \( B \), \( Q \) и \( M \): \[ B = 5\frac{23}{34} + 3\frac{27}{34} : \left(23,225 - 28\frac{3}{5}\right) = \frac{193}{34} + \frac{129}{34} : (-5,375) = \frac{193}{34} - \frac{6}{17} = \frac{181}{34} \approx 5,32 \] \[ Q = 768 \cdot 764 - 769 \cdot 763 = 586752 - 586747 = 5 \] \[ M = 4\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{2}{27} + \frac{1}{81} + \frac{2}{243} = \frac{1103}{243} \approx 4,54 \] Наибольшее значение: \( B \).
   Ответ: \( B \).
   
   
2. Упростим выражение: \[ \left(2^{3n+1} - 11 \cdot 2^{3n+2}\right)\left(3 \cdot 7^n + 7^{n+1}\right) : 56^{n+1} = \left(-42 \cdot 2^{3n}\right) \cdot \left(10 \cdot 7^n\right) : \left(2^{3n+3} \cdot 7^{n+1}\right) = -\frac{420}{56} = -\frac{15}{2} \] Ответ: \( -\frac{15}{2} \).
   
   
3. Решим уравнение: \[ 9(4 - x) - (3 - 2x)^3 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - (3x - 2)(12x - 1) \] После раскрытия скобок и упрощения: \[ 8x^3 - 36x^2 + 45x + 9 = 8x^3 - 36x^2 + 27x - 3 \implies 18x = -12 \implies x = -\frac{2}{3} \] Ответ: \( x = -\frac{2}{3} \).
   
   
4. Найдем точку пересечения прямых: \[ \frac{x}{3} - 6,5 = -4x + 26 \implies x = 7,5; \quad y = -4 \] Подставим в уравнение прямой: \[ -4 = (2t - 1) \cdot 7,5 + 9,5 - 5t \implies t = -0,6 \] Ответ: \( t = -0,6 \).
   
   
5. Упростим выражение: \[ \left(1 - \frac{5}{3 - b}\right)^2 + \left(\frac{2b + 1}{b^2 - 6b + 8} - \frac{9}{2b - 8}\right) : \frac{b^2 - 6b + 9}{2b^2 - 8} = \frac{(b + 2)^2}{(3 - b)^2} + \frac{-5(b + 2)}{(b - 3)^2} = \frac{b + 2}{b - 3} \] Ответ: \( \frac{b + 2}{b - 3} \).
   
   
6. Используя соотношения углов: \[ \angle BAC = 11x, \quad \angle ABC = 11y, \quad x + y = 14^\circ \] Угол \( \angle AKB \): \[ 180^\circ - 6x - 6y = 180^\circ - 6 \cdot 14^\circ = 96^\circ \] Ответ: \( 96^\circ \).
   
   
7. Пусть у Васи \( V \), у Пети \( P \). После обменов: \[ V_{\text{кон}} = 1,28P, \quad V_{\text{нач}} = 0,8P \implies \frac{1,28P}{0,8P} = 1,6 \] Ответ: в \( 1,6 \) раза.
   
   
8. Решим систему: \[ \begin{cases} 3/h + 2/k = 1/12 \\ 5/h + 8/k = 1/4 \end{cases} \implies h = 84, \quad k = 42 \] Время для 2 зайцев и 1 кролика: \[ \frac{1}{2/84 + 1/42} = 21 \] Ответ: 21 секунда.
   
   
9. Оптимальная комбинация: 13 бросков по 60, 1 по 50, 1 по 24 (утроение 8).
   Ответ: 14 бросков.