Лицей №239 из 7 в 8 класс 2017 год (вариант 2)

Лицей 239

2017 год

1. Вычислите : $\frac{5 \cdot\left(\frac{26}{35}-3,75: 8 \frac{3}{4}\right)}{\left(13: 1 \frac{2}{3}-0,3: \frac{1}{18}\right) \cdot 3 \frac{4}{7}}$
2. Скорость течения реки составляет $10 \%$ от скорости лодки. Двигаясь против течения реки, лодка за 3 часа 20 минут проходит на 28 км меньше, чем за 4 часа движения по течению. Найдите скорость лодки по течению.
3. Упростите выражение: $\left(\frac{2}{a-5}+\frac{1}{a^{2}-10 a+25}\right): \frac{2 a-9}{a^{2}-25}$
4. Найдите число $p$, если известно, что точки $A\left(-\frac{1}{2} ;-5\right), B(-4 ; 2)$ и $\left(p \mid \frac{p+2}{2}\right) \div \div$ лежат на одной прямой. Запишите уравнение этой прямой.
5. Какое число больше и на сколько процентов? $$ A=\frac{\left(4^{10}-4^{9}-4^{7}\right)^{2}}{47 \cdot 16^{7}} \quad \text { или } \quad B=9551^{2}-9552 \cdot 9550 $$
6. Решите уравнение: $\frac{x-2}{5}+\frac{2 x-5}{4}=4-x-\frac{4 x-1}{20}$.
7. Васе задано решить задачи по алгебре и геометрии. В первый день он решил $\frac{1}{15}$ всех задач по алгебре и $\frac{1}{25}$ всех задач по геометрии, получилось 5 задач. Во второй день он решил $\frac{1}{7}$ остатка задач по алгебре и $\frac{1}{6}$ оставшихся задач по геометрии. Оказалось, что во второй день задач по геометрии Вася решил на 2 больше, чем по алгебре. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии было задано?
8. На стороне $B C$ треугольника $A B C$ расположены точки $P$ и $K$ так, что $A P=B P$ и $K C=A K$. При этом оказалось, что величина угла $P A K$ равна $30^{\circ}$. Найдите угол $B A C$.
9. Из вершины $K$ треугольника $P T K$ проведена высота $K H$, при этом оказалось, что $H P=2$ дм 1см. Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $P K$, если известно, что угол $K$ равен $30^{\circ}$, угол $T$ равен $120^{\circ} .$
10. При умножении двух натуральных чисел, одно из которых на 10 больше другого, ученик ошибочно уменьшил цифру десятков произведения на 6 . Для проверки ответа он поделил полученное неправильное произведение на меньший множитель и получил в частном 49, а в остатке 22. Какие числа он умножал?
11. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 3 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 шарика больше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет по 2 пакетика, а коробок потребуется на 1 больше. Какое наибольшее и наименьшее количество шариков может быть при таких условиях?

Решения задач

1. Вычислите: $\frac{5 \cdot\left(\frac{26}{35}-3,75: 8 \frac{3}{4}\right)}{\left(13: 1 \frac{2}{3}-0,3: \frac{1}{18}\right) \cdot 3 \frac{4}{7}}$
   Решение:
   Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
   $8\frac{3}{4} = \frac{35}{4}$; $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$; $3\frac{4}{7} = \frac{25}{7}$
   Вычислим числитель:
   $3,75 : \frac{35}{4} = \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$
   $\frac{26}{35} - \frac{3}{7} = \frac{26}{35} - \frac{15}{35} = \frac{11}{35}$
   $5 \cdot \frac{11}{35} = \frac{55}{35} = \frac{11}{7}$
   Знаменатель:
   $13 : \frac{5}{3} = 13 \cdot \frac{3}{5} = \frac{39}{5} = 7,8$
   $0,3 : \frac{1}{18} = 0,3 \cdot 18 = 5,4$
   $7,8 - 5,4 = 2,4$
   $2,4 \cdot \frac{25}{7} = \frac{24}{10} \cdot \frac{25}{7} = \frac{600}{70} = \frac{60}{7}$
   Итоговая дробь:
   $\frac{\frac{11}{7}}{\frac{60}{7}} = \frac{11}{60} \approx 0,1833$
   Ответ: $\frac{11}{60}$.
   
   
2. Скорость течения реки составляет $10 \%$ от скорости лодки. Двигаясь против течения, лодка за 3 часа 20 минут проходит на 28 км меньше, чем за 4 часа движения по течению. Найдите скорость лодки по течению.
   Решение:
   Пусть собственная скорость лодки $v$ км/ч, тогда скорость течения $0,1v$ км/ч.
   Скорость по течению: $v + 0,1v = 1,1v$ км/ч
   Скорость против течения: $v - 0,1v = 0,9v$ км/ч
   Время движения по течению: 4 ч, путь: $1,1v \cdot 4 = 4,4v$ км
   Время против течения: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ ч, путь: $0,9v \cdot \frac{10}{3} = 3v$ км
   Разность путей: $4,4v - 3v = 1,4v = 28$ км
   $v = \frac{28}{1,4} = 20$ км/ч
   Скорость по течению: $1,1 \cdot 20 = 22$ км/ч
   Ответ: 22 км/ч.
   
   
3. Упростите выражение: $\left(\frac{2}{a-5}+\frac{1}{a^{2}-10 a+25}\right): \frac{2 a-9}{a^{2}-25}$
   Решение:
   Разложим знаменатели:
   $a^2 -10a +25 = (a-5)^2$; $a^2 -25 = (a-5)(a+5)$
   Преобразуем выражение:
   $\left(\frac{2}{a-5} + \frac{1}{(a-5)^2}\right) \cdot \frac{(a-5)(a+5)}{2a-9} = \frac{2(a-5) + 1}{(a-5)^2} \cdot \frac{(a-5)(a+5)}{2a-9} = \frac{(2a -10 +1)(a+5)}{(a-5)(2a-9)} = \frac{(2a -9)(a+5)}{(a-5)(2a-9)} = \frac{a+5}{a-5}$
   Ответ: $\frac{a+5}{a-5}$.
   
   
4. Найдите число $p$, если известно, что точки $A\left(-\frac{1}{2} ;-5\right), B(-4 ; 2)$ и $\left(p; \frac{p+2}{2}\right)$ лежат на одной прямой. Запишите уравнение этой прямой.
   Решение:
   Уравнение прямой AB:
   Угловой коэффициент $k = \frac{2 - (-5)}{-4 - (-0,5)} = \frac{7}{-3,5} = -2$
   Уравнение: $y - (-5) = -2(x + 0,5) \Rightarrow y = -2x -1 -5 = -2x -6$
   Подставим точку $(p; \frac{p+2}{2})$:
   $\frac{p+2}{2} = -2p -6$
   Умножим на 2: $p + 2 = -4p -12 \Rightarrow 5p = -14 \Rightarrow p = -2,8$
   Ответ: $p = -2,8$; уравнение прямой $y = -2x -6$.
   
   
5. Какое число больше и на сколько процентов?
   $A=\frac{\left(4^{10}-4^{9}-4^{7}\right)^{2}}{47 \cdot 16^{7}} \quad \text { или } \quad B=9551^{2}-9552 \cdot 9550$
   
   Решение:
   Упростим B:
   $B = 9551^2 - (9551+1)(9551-1) = 9551^2 - (9551^2 -1) = 1$
   Упростим A:
   Числитель: $4^{7}(4^3 -4^2 -1) = 4^7(64 -16 -1) = 4^7 \cdot 47$
   Знаменатель: $47 \cdot (4^2)^7 = 47 \cdot 4^{14}$
   $A = \frac{(4^7 \cdot 47)^2}{47 \cdot 4^{14}} = \frac{47^2 \cdot 4^{14}}{47 \cdot 4^{14}} = 47$
   Сравнение: $A = 47$, $B = 1$. A больше B на $\frac{47 -1}{1} \cdot 100% = 4600\%$
   Ответ: A больше B на 4600\%.
   
   
6. Решите уравнение: $\frac{x-2}{5}+\frac{2x-5}{4}=4-x-\frac{4x-1}{20}$
   Решение:
   Умножим обе части на 20:
   $4(x-2) +5(2x-5) = 80 -20x - (4x -1)$
   $4x -8 +10x -25 = 80 -20x -4x +1$
   $14x -33 = 81 -24x$
   $38x = 114 \Rightarrow x = 3$
   Ответ: 3.
   
   
7. Васе задано решить задачи по алгебре и геометрии. В первый день он решил $\frac{1}{15}$ всех задач по алгебре и $\frac{1}{25}$ всех задач по геометрии, получилось 5 задач. Во второй день он решил $\frac{1}{7}$ остатка задач по алгебре и $\frac{1}{6}$ оставшихся задач по геометрии. Оказалось, что во второй день задач по геометрии Вася решил на 2 больше, чем по алгебре. Сколько задач по алгебре и сколько по геометрии было задано?
   Решение:
   Пусть по алгебре $A$ задач, по геометрии $G$.
   Первый день: $\frac{A}{15} + \frac{G}{25} = 5$ (1)
   Остаток по алгебре: $\frac{14A}{15}$; по геометрии: $\frac{24G}{25}$
   Второй день: $\frac{14A}{15 \cdot 7} = \frac{2A}{15}$; $\frac{24G}{25 \cdot 6} = \frac{4G}{25}$
   Условие: $\frac{4G}{25} - \frac{2A}{15} = 2$ (2)
   Решаем систему:
   Из (1): $5A + 3G = 375$
   Из (2): $12G - 10A = 150$
   Решение: $A = 30$, $G = 75$
   Ответ: 30 задач по алгебре, 75 по геометрии.
   
   
8. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ расположены точки $P$ и $K$ так, что $AP=BP$ и $KC=AK$. При этом оказалось, что величина угла $PAK$ равна $30^{\circ}$. Найдите угол $BAC$.
   Решение:
   Треугольники $APB$ и $AKC$ равнобедренные. Угол $PAK = 30^\circ$. Пусть $\angle BAP = \alpha$, $\angle KAC = \beta$. Тогда $\alpha + \beta + 30^\circ = \angle BAC$. Из свойств равнобедренных треугольников $\angle ABP = \alpha$, $\angle ACK = \beta$. Сумма углов треугольника $ABC$: $2\alpha + 2\beta + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 75^\circ \Rightarrow \angle BAC = 105^\circ$
   Ответ: $105^\circ$.
   
   
9. Из вершины $K$ треугольника $PTK$ проведена высота $KH$, при этом $HP=21$ см. Найдите расстояние от точки $T$ до прямой $PK$, если угол $K$ равен $30^\circ$, угол $T$ равен $120^\circ$.
   Решение:
   В треугольнике $PTK$: $\angle K = 30^\circ$, $\angle T = 120^\circ$, $\angle P = 30^\circ$. Треугольник равнобедренный: $PT = PK$. Высота $KH = PK \cdot \sin30^\circ = \frac{PK}{2}$. Из треугольника $KHP$: $PH = PK \cdot \cos30^\circ = 21$ см. Тогда $PK = \frac{21}{\cos30^\circ} = \frac{21 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3}$ см. Расстояние от $T$ до $PK$ равно высоте $TH = PT \cdot \sin30^\circ = 14\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 7\sqrt{3}$ см.
   Ответ: $7\sqrt{3}$ см.
   
   
10. При умножении двух натуральных чисел, одно из которых на 10 больше другого, ученик ошибочно уменьшил цифру десятков произведения на 6. Для проверки он поделил неправильное произведение на меньший множитель и получил частное 49 и остаток 22. Какие числа он умножал?
    Решение:
    Пусть числа $x$ и $x+10$. Правильное произведение: $x(x+10)$. Ошибочное: $x(x+10) -60 =49x +22$
    Уравнение: $x^2 +10x -60 =49x +22 \Rightarrow x^2 -39x -82 =0$
    Корни: $x = 41$ (т.к. дискриминант $39^2 +328 = 1681 =41^2$)
    Ответ: 41 и 51.
    
    
11. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки по 3 пакетика в одну коробку. Если в каждом пакетике будет на 3 шарика больше, то в коробки кладут по 2 пакетика, и коробок потребуется на 1 больше. Какое наибольшее и наименьшее количество шариков может быть?
    Решение:
    Пусть первоначально в пакетике $x$ шариков, тогда коробок $N = \frac{total}{3x}$. При новом раскладе: $x+3$ шариков в пакетике, коробок $N+1 = \frac{total}{2(x+3)}$. Уравнение:
    $\frac{total}{3x} +1 = \frac{total}{2(x+3)}$
    Пусть $total = k$, тогда:
    $\frac{k}{3x} +1 = \frac{k}{2(x+3)} \Rightarrow k\left(\frac{1}{2(x+3)} - \frac{1}{3x}\right) =1$
    Решая, получаем $k = \frac{6x(x+3)}{x -6}$. Чтобы $k$ было натуральным, $x >6$. Минимальное $x=7$: $k=546$, максимальное $x=9$: $k=810$.
    Ответ: Наименьшее 546, наибольшее 810.