Лицей №239 из 7 в 8 класс 2016 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2016 год

1. Вычислите $\frac{\left(7 \cdot 4^{8}+(-4)^{9}\right) \cdot 3^{14}}{36^{8}}$.
2. Найдите число, если его $23 \%$ составляют $\left(1 \frac{5}{14}-3 \frac{3}{7}: 1,6\right) \cdot\left(2015 \frac{5}{7}-2016 \frac{27}{77}\right)-(-0,2)^{2}$.
3. Если сестра отдаст брату 400 рублей, то денег у них станет поровну. Если брат отдаст сестре $20 \%$ своих денег, то у него станет в два раза меньше денег, чем у сестры. Определите, сколько денег у брата и сколько у сестры.
4. Определите, лежат ли точки $A(9 ;-2), B(18 ; 1)$ и $C(2016 ; 667)$ на одной пря мой.
5. Сократите дробь $\frac{b^{3}-a b^{2}+a b c+c^{3}-a c^{2}}{\left(a^{2}+c^{2}\right)-\left(b^{2}+2 a c\right)}$.
6. Решите уравнение $x^{2} y^{2}+10+y^{2}+6 x y-2 y=0$.
7. Точки $A$ и $O$ расположены по разные стороны от прямой $B C$, при этом $O A=O B=O C$ и $\angle A C B=17^{\circ}$. Найдите $\angle A O B$.
8. В треугольнике $A B C$ провели медиану $B D$. Нашлась такая точка $K$, что $B K \| A C$ и $\angle K B A=\angle A B D$. Докажите, что $\triangle A B C$ - прямоугольный.
9. Назовем натуральное трехзначное число интересным, если оно кратно трем и первые две его цифры отличаются на два. Найдите количество интересных чисел, запись которых заканчивается на 6 или на $7 .$
10. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг каждая, 60 штук по 1000 кг каждая, 60 штук по 1500 кг каждая. Глыбы нельзя раскалывать. Считается, что глыбы можно погрузить в грузовик, если их общая масса не превосходит грузоподъемности этого грузовика. а) Докажите, что все эти глыбы можно одновременно погрузить на 39 грузовиков грузоподъемностью 5 тонн каждый. б) Докажите, что все эти глыбы нельзя одновременно погрузить на 38 грузовиков грузоподъемностью 5 тонн каждый.

Решения задач

1. Вычислите \(\frac{\left(7 \cdot 4^{8}+(-4)^{9}\right) \cdot 3^{14}}{36^{8}}\).
   Решение: \[ \frac{\left(7 \cdot 4^{8} - 4^{9}\right) \cdot 3^{14}}{36^{8}} = \frac{4^{8}(7 - 4) \cdot 3^{14}}{(4 \cdot 9)^{8}} = \frac{4^{8} \cdot 3 \cdot 3^{14}}{4^{8} \cdot 3^{16}} = \frac{3^{15}}{3^{16}} = \frac{1}{3} \] Ответ: \(\frac{1}{3}\).
2. Найдите число, если его \(23 \%\) составляют \(\left(1 \frac{5}{14}-3 \frac{3}{7}: 1,6\right) \cdot\left(2015 \frac{5}{7}-2016 \frac{27}{77}\right)-(-0,2)^{2}\).
   Решение: \[ 1 \frac{5}{14} = \frac{19}{14}, \quad 3 \frac{3}{7} = \frac{24}{7}, \quad 1,6 = \frac{8}{5} \] \[ \frac{24}{7} : \frac{8}{5} = \frac{15}{7}, \quad \frac{19}{14} - \frac{15}{7} = -\frac{11}{14} \] \[ 2015 \frac{5}{7} - 2016 \frac{27}{77} = -\frac{7}{11} \] \[ \left(-\frac{11}{14}\right) \cdot \left(-\frac{7}{11}\right) = \frac{1}{2}, \quad \frac{1}{2} - 0,04 = 0,46 \] \[ 0,46 : 0,23 = 2 \] Ответ: 2.
3. Определите, сколько денег у брата и сестры.
   Решение: Пусть у брата \(x\) руб., у сестры \(y\) руб.: \[ \begin{cases} y - 400 = x + 400 \\ 0,8x = \frac{1}{2}(y + 0,2x) \end{cases} \] Решая систему: \[ y = x + 800, \quad 1,6x = x + 800 \Rightarrow x = 2000, \quad y = 2800 \] Ответ: брат — 2000 руб., сестра — 2800 руб.
4. Определите, лежат ли точки \(A(9 ;-2), B(18 ; 1)\) и \(C(2016 ; 667)\) на одной прямой.
   Решение: Уравнение прямой \(AB\): \(y = \frac{1}{3}x - 5\). Подстановка \(x = 2016\): \[ y = \frac{2016}{3} - 5 = 672 - 5 = 667 \] Ответ: точки лежат на одной прямой.
5. Сократите дробь \(\frac{b^{3}-a b^{2}+a b c+c^{3}-a c^{2}}{\left(a^{2}+c^{2}\right)-\left(b^{2}+2 a c\right)}\).
   Решение: Числитель: \[ b^3 + c^3 - a(b^2 - bc + c^2) = (b + c - a)(b^2 - bc + c^2) \] Знаменатель: \[ (a - c)^2 - b^2 = (a - c - b)(a - c + b) \] Сокращение: \[ \frac{(b^2 - bc + c^2)(b + c - a)}{(a - c - b)(a - c + b)} = -\frac{b^2 - bc + c^2}{a + b - c} \] Ответ: \(-\frac{b^2 - bc + c^2}{a + b - c}\).
6. Решите уравнение \(x^{2} y^{2}+10+y^{2}+6 x y-2 y=0\).
   Решение: \[ (xy + 3)^2 + (y - 1)^2 = 0 \Rightarrow \begin{cases} xy + 3 = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = -3, \quad y = 1 \] Ответ: \((-3; 1)\).
7. Найдите \(\angle A O B\).
   Решение: Точка \(O\) — центр описанной окружности. Центральный угол \(\angle AOB = 2 \angle ACB = 34^\circ\). Учитывая расположение точек: \[ \angle AOB = 180^\circ - 34^\circ = 146^\circ \] Ответ: \(146^\circ\).
8. Докажите, что \(\triangle ABC\) — прямоугольный.
   Решение: Из параллельности \(BK \parallel AC\) и равенства углов \(\angle KBA = \angle ABD\) следует, что \(\angle BAC = \angle ABD\). Медиана \(BD\) делит \(AC\) пополам, что возможно только при \(\angle ABC = 90^\circ\).
9. Найдите количество интересных чисел.
   Решение: Для чисел, оканчивающихся на 6 или 7, с разницей первых двух цифр 2 и суммой цифр кратной 3:
   • Окончание на 6: 14 чисел
   • Окончание на 7: 10 чисел
   Ответ: 24.
10. Докажите утверждения о погрузке глыб.
    Решение: а) Общая масса 190 тонн \(\leq\) 39 \(\cdot\) 5 = 195 тонн.
    б) Для глыб 1500 кг требуется минимум 20 грузовиков. Оставшиеся 18 грузовиков не смогут перевезти 100 тонн (максимум 90 тонн).