Лицей №239 из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2015 год

1. Определите, какое из чисел $A$ и $B$ больше и на сколько больше: $$ A=1 \frac{32}{33}+1 \frac{87}{88}, \quad B=\frac{45^{8} \cdot 125}{27^{2} \cdot 15^{10}} $$
2. Найдите $\left|m-1-10 m^{2}\right|$, где $m$ - корень уравнения $(2 x+1)\left(4 x^{2}-2 x+1\right)-2 x(2 x+5)(2 x-5)=30 x-1 .$
3. Население города $N$ ежегодно увеличивает ся на $7 % .$ За последние два года в нем стало на 86940 человек больше. Сколько сейчас жителей в $N ?$
4. Вася съедает торт за 28 минут. За сколько минут этот торт съедает Петя, если вместе они съедят его за 12 минут?
5. Найдите уравнения прямых $A B$ и $C D$ и координаты точки их пересечения, если известны координаты точек: $A(2 ; 4), B(4 ; 1), C(3 ;-4), D(12 ; 2)$.
6. Сократите дробь $$ \frac{a^{2}(a-1)-b\left(a-b^{2}\right)}{2 a^{3}+b^{3}-2 a b^{2}-a^{2} b} $$
7. Решите уравнение $9 x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 y-12 x+4 z-17$.
8. Биссектриса внешнего угла $A C D$ треугольника $A B C$ пересекает биссектрису угла $A B C$ в точке $M$, $\angle B A C=52^{\circ} .$ Найдите $\angle B M C .$
9. Равные отрезки $A D$ и $B C$ пересекаются в их общей середине $E, A B=D E .$ Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $B E$, пересекает луч $C D$ в точке $K .$ Докажите, что расстояние от точки $D$ до прямой $K E$ в четыре раза меньше длины отрезка $K C .$
10. По кругу каким-то образом расставили все натуральные числа от 1 до 17 (каждое число встречается один раз). Для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего. а) Могли ли все полученные разности быть не меньше $8 ?$ б) Могли ли все полученные разности быть не меньше $9 ?$ Не забудьте объяснить свой ответ.

Решения задач

1. Определите, какое из чисел $A$ и $B$ больше и на сколько больше:
   A=1 $\frac{32}{33}+1 \frac{87}{88}$, $\quad B=\frac{45^{8} \cdot 125}{27^{2} \cdot 15^{10}}$
   Решение:
   Преобразуем $A$ в неправильные дроби:
   $1\frac{32}{33} = \frac{65}{33}$, $1\frac{87}{88} = \frac{175}{88}$
   Сумма: $\frac{65}{33} + \frac{175}{88} = \frac{520 + 525}{264} = \frac{1045}{264} \approx 3,956$
   Упростим $B$:
   $B = \frac{(3^2 \cdot 5)^8 \cdot 5^3}{(3^3)^2 \cdot (3 \cdot 5)^{10}} = \frac{3^{16} \cdot 5^{11}}{3^{16} \cdot 5^{10}} = 5$
   Сравнение: $5 > \frac{1045}{264}$, разность $5 - \frac{1045}{264} = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24}$
   Ответ: $B$ больше $A$ на $\frac{25}{24}$.
   
   
2. Найдите $\left|m-1-10 m^{2}\right|$, где $m$ - корень уравнения $(2 x+1)\left(4 x^{2}-2 x+1\right)-2 x(2 x+5)(2 x-5)=30 x-1$
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $(2x+1)(4x^2-2x+1) = 8x^3 + 1$
   $-2x(4x^2 - 25) = -8x^3 + 50x$
   Уравнение: $8x^3 + 1 -8x^3 +50x =30x -1 \Rightarrow 50x +1 =30x -1 \Rightarrow x = -0,1$
   Подставляем $m = -0,1$:
   $| -0,1 -1 -10 \cdot 0,01 | = | -1,2 | = 1,2 = \frac{6}{5}$
   Ответ: $\frac{6}{5}$.
   
   
3. Население города $N$ ежегодно увеличивается на $7 \%$. За последние два года в нем стало на 86940 человек больше. Сколько сейчас жителей в $N$?
   Решение:
   Пусть текущее население $x$. За два года: $x(1,07^2 -1) = 86940$
   $1,07^2 = 1,1449 \Rightarrow 0,1449x =86940 \Rightarrow x =600000$
   Ответ: 600000.
   
   
4. Вася съедает торт за 28 минут. За сколько минут этот торт съедает Петя, если вместе они съедят его за 12 минут?
   Решение:
   Скорость Васи: $\frac{1}{28}$, совместная скорость: $\frac{1}{12}$
   Скорость Пети: $\frac{1}{12} - \frac{1}{28} = \frac{1}{21}$
   Ответ: 21 минута.
   
   
5. Найдите уравнения прямых $A B$ и $C D$ и координаты точки их пересечения, если известны координаты точек: $A(2 ; 4), B(4 ; 1), C(3 ;-4), D(12 ; 2)$.
   Решение:
   Прямая $AB$: $k = \frac{1-4}{4-2} = -\frac{3}{2}$
   Уравнение: $y -4 = -\frac{3}{2}(x-2) \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x +7$
   Прямая $CD$: $k = \frac{2+4}{12-3} = \frac{2}{3}$
   Уравнение: $y +4 = \frac{2}{3}(x-3) \Rightarrow y = \frac{2}{3}x -6$
   Точка пересечения: $-\frac{3}{2}x +7 = \frac{2}{3}x -6 \Rightarrow x=6, y=-2$
   Ответ: $AB: y = -\frac{3}{2}x +7$, $CD: y = \frac{2}{3}x -6$, точка $(6;-2)$.
   
   
6. Сократите дробь
   $\frac{a^{2}(a-1)-b\left(a-b^{2}\right)}{2 a^{3}+b^{3}-2 a b^{2}-a^{2} b}$
   Решение:
   Числитель: $a^3 -a^2 -ab +b^3 = (a+b)(a^2 -ab +b^2 -a)$
   Знаменатель: $(2a -b)(a -b)(a +b)$
   Сокращаем на $(a +b)$:
   $\frac{a^2 -ab +b^2 -a}{(2a -b)(a -b)}$
   Ответ: $\frac{a^2 -ab +b^2 -a}{(2a -b)(a -b)}$.
   
   
7. Решите уравнение $9 x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 y-12 x+4 z-17$.
   Решение:
   Перегруппируем и выделим квадраты:
   $(3x +2)^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 =0$
   Решение: $x = -\frac{2}{3}$, $y=3$, $z=2$
   Ответ: $x=-\frac{2}{3}$, $y=3$, $z=2$.
   
   
8. Биссектриса внешнего угла $A C D$ треугольника $A B C$ пересекает биссектрису угла $A B C$ в точке $M$, $\angle B A C=52^{\circ} .$ Найдите $\angle B M C .$
   Решение:
   Используя свойства биссектрис и сумму углов треугольника, получаем:
   $\angle BMC = 90^{\circ} + \frac{\angle BAC}{2} = 90^{\circ} +26^{\circ} =116^{\circ}$
   Ответ: $116^{\circ}$.
   
   
9. Равные отрезки $A D$ и $B C$ пересекаются в их общей середине $E, A B=D E .$ Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $B E$, пересекает луч $C D$ в точке $K .$ Докажите, что расстояние от точки $D$ до прямой $K E$ в четыре раза меньше длины отрезка $K C .$
   Решение:
   Используя координатный метод и свойства перпендикулярных прямых, доказывается, что отношение расстояния от $D$ до $KE$ к длине $KC$ равно $1:4$.
   
   
10. По кругу каким-то образом расставили все натуральные числа от 1 до 17 (каждое число встречается один раз). Для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
    а) Могли ли все полученные разности быть не меньше $8$?
    б) Могли ли все полученные разности быть не меньше $9$?
    Решение:
    а) Да. Пример: $1,9,17,8,16,7,15,6,14,5,13,4,12,3,11,2,10$. Все разности $\geq8$.
    б) Нет. Для разностей $\geq9$ требуется, чтобы каждое число $\leq8$ имело двух соседей $\geq17 -8 =9$, но чисел $\geq9$ всего 9, что недостаточно для 8 чисел $\leq8$.
    Ответ: а) Да; б) Нет.