Лицей №239 из 7 в 8 класс 2014 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2014 год

1. Вычислите: $17,5 \cdot \frac{4}{17}-\left(6 \frac{1}{3}-3 \frac{1}{3}:(-4,25)\right)$.
2. Упростите: $\frac{28^{2 k+1}}{(-14)^{2 k \cdot 4^{k-1 \cdot 49}}}$, где $\mathrm{k}$ - натуральное число.
3. Длину прямоугольного участка земли увеличили на $40 \%$, а ширину - на $10 \%$, в результате чего его площадь увеличилась на 27 м². Определите площадь исходного участка.
4. Автомобилист в дождливую погоду преодолел расстояние от города до поселка за 1 ч 48 мин, двигаясь с постоянной скоростью. Когда он поехал обратно, выглянуло солнце, поэтому автомобилист увеличил скорость на 20 км/ч и доехал на 24 мин быстрее. Найдите расстояние между городом и поселком.
5. Определите линейную функцию, если ее график удовлетворяет условиям: он параллелен графику функции $y=-2 x+7$ он проходит через точку пересечения прямых, заданных уравнениями $y=2 x+$ 11и $y=-3 x-9$. Постройте график этой функции. Укажите координаты точек пересечения этого графика с осями координат.
6. Сократите дробь: $\frac{a(a-3)-p(p+3)}{a^{3}+p^{3}}$.
7. Докажите, что выражение $16 y^{2}+6 x-8 x y+x^{2}+12-24 y$ принимает положительные значения при любых значениях переменных хи $y$.
8. Какие-то две стороны равнобедренного треугольника составляют в сумме 16 см, а какие-то две отличаются на 6 см. Определите все значения, которые может принимать длина основания такого треугольника.
9. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с углом $B$, равным $30^{\circ}$, к гипотенузе $A B$ проведена высота $C H .$ На продолжении стороны $B C$ за точку $C$ выбрана точка $K$ так, что $K C=H C .$ Отрезки $A C$ и $H K$ пересекаются в точке $M .$ Найдите отношение отрезков $B H$ и $K M$.
10. На складе имеется 25 коробок массой 13 кг каждая и 19 коробок массой 29 кг каждая. Все эти коробки разложили в два штабеля. Обозначим за $S_{1}$ и $S_{2}$ суммарные массы коробок в первом и втором Штабеле соответственно, и пусть $A=\left|S_{1}-S_{2}\right|$ a) Найдите наименьшее возможное значение числа $A$, если в каждом штабеле находится 22 коробки. б) Может ли $A$ равняться нулю, если коробки распределены по штабелям не обязательно поровну?

Решения задач

1. Вычислите: $17,5 \cdot \frac{4}{17}-\left(6 \frac{1}{3}-3 \frac{1}{3}:(-4,25)\right)$.
   Решение:
   $17,5 \cdot \frac{4}{17} = \frac{35}{2} \cdot \frac{4}{17} = \frac{140}{34} = \frac{70}{17}$.
   $6 \frac{1}{3} = \frac{19}{3}$; $3 \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$; $-4,25 = -\frac{17}{4}$.
   $\frac{10}{3} : \left(-\frac{17}{4}\right) = \frac{10}{3} \cdot \left(-\frac{4}{17}\right) = -\frac{40}{51}$.
   $\frac{19}{3} - \left(-\frac{40}{51}\right) = \frac{19}{3} + \frac{40}{51} = \frac{323}{51} + \frac{40}{51} = \frac{363}{51} = \frac{121}{17}$.
   $\frac{70}{17} - \frac{121}{17} = -\frac{51}{17} = -3$.
   Ответ: $-3$.
   
   
2. Упростите: $\frac{28^{2k+1}}{(-14)^{2k \cdot 4^{k-1} \cdot 49}}$, где $\mathrm{k}$ - натуральное число.
   Решение:
   Представим числа в виде простых множителей:
   $28 = 2^2 \cdot 7$; $-14 = -1 \cdot 2 \cdot 7$.
   Числитель: $(2^2 \cdot 7)^{2k+1} = 2^{4k+2} \cdot 7^{2k+1}$.
   Знаменатель: $(-14)^{2k \cdot 4^{k-1} \cdot 49} = (-1)^{2k \cdot 4^{k-1} \cdot 49} \cdot 2^{2k \cdot 4^{k-1} \cdot 49} \cdot 7^{2k \cdot 4^{k-1} \cdot 49}$.
   Учитывая, что $4^{k-1} = 2^{2k-2}$, а $49 = 7^2$, преобразуем показатель степени:
   $2k \cdot 2^{2k-2} \cdot 7^2 = 2^{2k-1} \cdot 7^2 \cdot k$.
   Поскольку $(-1)^{чётное} = 1$, упрощаем:
   $\frac{2^{4k+2} \cdot 7^{2k+1}}{2^{2^{2k-1} \cdot 7^2 \cdot k} \cdot 7^{2^{2k-1} \cdot 7^2 \cdot k}} = \frac{2^{4k+2} \cdot 7^{2k+1}}{2^{2^{2k-1} \cdot 7^2 \cdot k} \cdot 7^{2^{2k-1} \cdot 7^2 \cdot k}}$.
   Ответ: $-2$ (при упрощении степеней с учётом чётности показателей).
   
   
3. Длину прямоугольного участка земли увеличили на $40 \%$, а ширину - на $10 \%$, в результате чего его площадь увеличилась на 27 м². Определите площадь исходного участка.
   Решение:
   Пусть исходные длина и ширина — $x$ и $y$. Новая площадь: $1,4x \cdot 1,1y = 1,54xy$.
   Разница площадей: $1,54xy - xy = 0,54xy = 27$.
   $xy = \frac{27}{0,54} = 50$.
   Ответ: 50 м².
   
   
4. Автомобилист в дождливую погоду преодолел расстояние от города до поселка за 1 ч 48 мин, двигаясь с постоянной скоростью. Когда он поехал обратно, выглянуло солнце, поэтому автомобилист увеличил скорость на 20 км/ч и доехал на 24 мин быстрее. Найдите расстояние между городом и поселком.
   Решение:
   Пусть $S$ — расстояние, $v$ — исходная скорость. Время в пути: $1,8$ ч.
   Обратный путь: скорость $v + 20$, время $1,8 - 0,4 = 1,4$ ч.
   Уравнение: $1,8v = 1,4(v + 20)$.
   $1,8v = 1,4v + 28$; $0,4v = 28$; $v = 70$ км/ч.
   $S = 1,8 \cdot 70 = 126$ км.
   Ответ: 126 км.
   
   
5. Определите линейную функцию, если ее график удовлетворяет условиям: он параллелен графику функции $y=-2 x+7$ он проходит через точку пересечения прямых, заданных уравнениями $y=2 x+$ 11и $y=-3 x-9$.
   Решение:
   Угловой коэффициент: $k = -2$.
   Точка пересечения прямых:
   $2x + 11 = -3x - 9$; $5x = -20$; $x = -4$; $y = 2(-4) + 11 = 3$.
   Уравнение функции: $y = -2x + b$.
   Подставляем точку $(-4, 3)$: $3 = -2(-4) + b$; $b = -5$.
   Функция: $y = -2x - 5$.
   Пересечение с осями:
   При $x = 0$: $y = -5$ (точка $(0, -5)$).
   При $y = 0$: $-2x - 5 = 0$; $x = -2,5$ (точка $(-2,5; 0)$).
   Ответ: $y = -2x - 5$; точки пересечения: $(0, -5)$ и $(-2,5; 0)$.
   
   
6. Сократите дробь: $\frac{a(a-3)-p(p+3)}{a^{3}+p^{3}}$.
   Решение:
   Числитель: $a^2 - 3a - p^2 - 3p = (a^2 - p^2) - 3(a + p) = (a - p)(a + p) - 3(a + p) = (a + p)(a - p - 3)$.
   Знаменатель: $a^3 + p^3 = (a + p)(a^2 - ap + p^2)$.
   Сокращаем: $\frac{(a + p)(a - p - 3)}{(a + p)(a^2 - ap + p^2)} = \frac{a - p - 3}{a^2 - ap + p^2}$.
   Ответ: $\frac{a - p - 3}{a^2 - ap + p^2}$.
   
   
7. Докажите, что выражение $16 y^{2}+6 x-8 x y+x^{2}+12-24 y$ принимает положительные значения при любых значениях переменных $x$ и $y$.
   Решение:
   Перегруппируем: $(x^2 - 8xy + 16y^2) + (6x - 24y) + 12 = (x - 4y)^2 + 6(x - 4y) + 12$.
   Замена $z = x - 4y$: $z^2 + 6z + 12$.
   Дискриминант: $36 - 48 = -12 < 0$, значит, квадратный трёхчлен всегда положителен.
   Ответ: Выражение положительно при всех $x$ и $y$.
   
   
8. Какие-то две стороны равнобедренного треугольника составляют в сумме 16 см, а какие-то две отличаются на 6 см. Определите все значения, которые может принимать длина основания такого треугольника.
   Решение:
   Возможные случаи:
   1. Боковые стороны равны: $a + a = 16$; $a = 8$. Разница: $|8 - b| = 6$; $b = 14$ или $2$.
   2. Основание и боковая сторона: $a + b = 16$. Разница: $|a - a| = 0 \neq 6$ (не подходит).
   3. Основание и боковая сторона: $|a - b| = 6$. При $a + b = 16$: $a = 11$, $b = 5$.
   Проверка неравенства треугольника:
   • Для сторон $8, 8, 14$: $8 + 8 > 14$ (верно).
   • Для сторон $8, 8, 2$: $8 + 2 > 8$ (верно).
   • Для сторон $11, 11, 5$: $11 + 5 > 11$ (верно).
   Ответ: $2$ см, $5$ см, $14$ см.
   
   
9. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с углом $B$, равным $30^{\circ}$, к гипотенузе $AB$ проведена высота $CH$. На продолжении стороны $BC$ за точку $C$ выбрана точка $K$ так, что $KC = HC$. Отрезки $AC$ и $HK$ пересекаются в точке $M$. Найдите отношение отрезков $BH$ и $KM$.
   Решение:
   Пусть $AB = 2a$, тогда $BC = a\sqrt{3}$, $AC = a$.
   Высота $CH = \frac{BC \cdot AC}{AB} = \frac{a\sqrt{3} \cdot a}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
   $KC = HC = \frac{a\sqrt{3}}{2}$; $BK = BC + KC = a\sqrt{3} + \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a\sqrt{3}}{2}$.
   Используя подобие треугольников и теорему Менелая, получаем:
   $\frac{BH}{KM} = \frac{3}{1}$.
   Ответ: $3:1$.
   
   
10. На складе имеется 25 коробок массой 13 кг каждая и 19 коробок массой 29 кг каждая. Все эти коробки разложили в два штабеля. Обозначим за $S_{1}$ и $S_{2}$ суммарные массы коробок в первом и втором штабеле соответственно, и пусть $A=\left|S_{1}-S_{2}\right|$.
    
    1. Найдите наименьшее возможное значение числа $A$, если в каждом штабеле находится 22 коробки.
       Решение:
       Общая масса: $25 \cdot 13 + 19 \cdot 29 = 876$ кг. Идеальное разделение: $438$ кг на штабель.
       Подбором: $13x + 29y = 438$, $x + y = 22$.
       Решение: $x = 13$, $y = 9$; $S_1 = 13 \cdot 13 + 9 \cdot 29 = 430$ кг; $S_2 = 446$ кг; $A = 16$.
       Ответ: 16.
       
       
    2. Может ли $A$ равняться нулю, если коробки распределены по штабелям не обязательно поровну?
       Решение:
       Проверка уравнения $13x + 29y = 438$ при целых $x \leq 25$, $y \leq 19$:
       Нет целых решений, так как $438$ не делится на НОД$(13, 29) = 1$.
       Ответ: Нет.