8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2013 год (вариант 2)

Сложность:
Дата экзамена: 2013
Сложность:
Дата экзамена: 2013
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2013 год

Вариант 2

  1. Вычислите: $\left(27,2: 5 \frac{3}{5}-0,314 \cdot\left(-\frac{50}{7}\right)\right):\left(\frac{942}{200}+2,39\right)$.
  2. Решите уравнение: $\frac{3 x-2}{9}-\frac{2 x-3}{2}+3 x=2-\frac{9-x}{3}$.
  3. Найдите число, восьмая степень которого равна $\frac{\left(12^{3} \cdot 9^{3}\right)^{2} \cdot 14^{9}}{6^{18} \cdot 56}$.
  4. Постройте график прямой $y=3 k x-0,6 \cdot b$, где числа $k$ и $b$ - это соответственно абсцисса и ордината точки пересечения прямых $y=2 x-4$ и $y=8 x-6$.
  5. В классе число отсутствующих составляет $20 \%$ от числа присутствующих. После того, как один ученик ушёл, число присутствующих стало в четыре раза больше числа отсутствующих. Сколько всего человек в классе?
  6. Средний возраст одиннадцати игроков "'Зенита" - 26 лет. Во время матча один из игроков был удалён и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 25 годам. Сколько лет удалённому футболисту?
  7. Куплено несколько одинаковых книг и одинаковых тетрадей. За книги заплачено 1071 рубль. Сколько куплено книг, если цена одной книги более чем на 100 рублей превосходит цену тетради, а книг куплено на 5 больше, чем тетрадей? Стоимость книг и тетрадей составляет целое число рублей.
  8. Возможно ли, чтобы одна биссектриса треугольника делила пополам другую? Приведите пример такого треугольника или докажите, что его не существует.
  9. Внешний угол при вершине $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ равен $150^{\circ}$, а биссектриса острого угла $A$ равна 3 см. Найдите длину стороны $C B .$
  10. На стороне $A B$ четырёхугольника $A B C D$ взята точка $E .$ При этом $C B \perp B A, D E \perp B A .$ Диагональ $A C$ пересекает отрезок $D E$ в точке $M . \angle B C E=40^{\circ}, \angle E M A=65^{\circ}, \angle E D A=45^{\circ} .$ Докажите, что треугольники $C E A$ и $C E D$ равнобедренные.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: $\left(27,2: 5 \frac{3}{5}-0,314 \cdot\left(-\frac{50}{7}\right)\right):\left(\frac{942}{200}+2,39\right)$.
    Решение: Переведём смешанную дробь: $5\frac{3}{5} = \frac{28}{5} = 5,6$.
    Вычислим последовательно:
    $27,2 : 5,6 = \frac{272}{10} \cdot \frac{10}{56} = \frac{272}{56} = \frac{34}{7} \approx 4,857$.
    $0,314 \cdot \left(-\frac{50}{7}\right) = -\frac{15,7}{7} = -2,242$, но знак минус перед дробью даёт $+2,242$.
    Числитель: $4,857 + 2,242 = 7,099 \approx 7,1$.
    Знаменатель: $\frac{942}{200} + 2,39 = 4,71 + 2,39 = 7,1$.
    Итог: $7,1 : 7,1 = 1$.
    Ответ: $1$.
  2. Решите уравнение: $\frac{3 x-2}{9}-\frac{2 x-3}{2}+3 x=2-\frac{9-x}{3}$.
    Решение: Умножим всё на 18 (наименьший общий знаменатель):
    $2(3x - 2) - 9(2x - 3) + 54x = 36 - 6(9 - x)$.
    Раскроем скобки:
    $6x - 4 - 18x + 27 + 54x = 36 - 54 + 6x$.
    Слева: $(6x - 18x + 54x) + (-4 + 27) = 42x + 23$.
    Справа: $-18 + 6x$.
    Переносим все члены влево:
    $42x + 23 + 18 - 6x = 0 \Rightarrow 36x + 41 = 0 \Rightarrow x = -\frac{41}{36}$.
    Ответ: $-\frac{41}{36}$.
  3. Найдите число, восьмая степень которого равна $\frac{\left(12^{3} \cdot 9^{3}\right)^{2} \cdot 14^{9}}{6^{18} \cdot 56}$.
    Решение: Разложим числа на простые множители:
    $12 = 2^2 \cdot 3$, $9 = 3^2$, $14 = 2 \cdot 7$, $6 = 2 \cdot 3$, $56 = 7 \cdot 2^3$.
    Подставим:
    Числитель: $(12^3 \cdot 9^3)^2 \cdot 14^9 = (2^{6} \cdot 3^{3} \cdot 3^{6})^2 \cdot 2^9 \cdot 7^9 = 2^{21} \cdot 3^{18} \cdot 7^9$.
    Знаменатель: $6^{18} \cdot 56 = (2 \cdot 3)^{18} \cdot 7 \cdot 2^3 = 2^{21} \cdot 3^{18} \cdot 7$.
    Сократим: $\frac{7^9}{7} = 7^8$. Следовательно, искомое число $7$.
    Ответ: $7$.
  4. Постройте график прямой $y=3 k x-0,6 \cdot b$, где числа $k$ и $b$ — это соответственно абсцисса и ордината точки пересечения прямых $y=2 x-4$ и $y=8 x-6$.
    Решение: Найдём $k$ и $b$:
    $2x - 4 = 8x - 6 \Rightarrow -6x = -2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}, \quad y = 2 \cdot \frac{1}{3} - 4 = -\frac{10}{3}$.
    Тогда уравнение: $y = 3 \cdot \frac{1}{3}x - 0,6 \cdot \left(-\frac{10}{3}\right) = x + 2$.
    График: прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.
    Ответ: График $y = x + 2$.
  5. В классе число отсутствующих составляет $20\%$ от числа присутствующих. После ухода одного ученика отношение стало $4:1$. Общее число учеников —
    Решение: Пусть присутствующих $P$, отсутствующих $0,2P$. После ухода: $P - 1 = 4(0,2P + 1)$. Решим:
    $P - 1 = 0,8P + 4 \Rightarrow 0,2P = 5 \Rightarrow P = 25$.
    Отсутствующих: $0,2 \cdot 25 = 5$. Всего: $25 + 5 = 30$.
    Ответ: $30$.
  6. Средний возраст $11$ игроков — $26$ лет. Средний возраст $10$ игроков — $25$ лет. Возраст удалённого —
    Решение: Общий возраст всех игроков: $11 \cdot 26 = 286$. Возраст оставшихся: $10 \cdot 25 = 250$.
    Удалённый игрок: $286 - 250 = 36$.
    Ответ: $36$.
  7. Книг куплено $9$ шт. Цена книги $119$ рублей (делитель $1071$), что более чем на $100$ рублей превосходит цену тетради.
    Решение: Делители $1071$: $9 \cdot 119 = 1071$, $119 - 18 = 101$ (подходит). Количество тетрадей: $9 - 5 = 4$.
    Ответ: $9$.
  8. Возможен треугольник, где биссектриса угла $A$ делит биссектрису угла $B$ пополам. Пример — равнобедренный треугольник с углами $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$.
    Ответ: Возможно (пример: определённый треугольник).
  9. В прямоугольном треугольнике угол $B = 30^\circ$ (внутренний), угол $A = 60^\circ$. Длина биссектрисы: $3 = \frac{3(2 + \sqrt{3})}{2}$, откуда $CB = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$.
    Ответ: $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ см.
  10. В четырёхугольнике $ABCD$:
    - $CB \parallel DE$ (оба $\perp AB$).
    - $\angle BCE = 40^\circ$, $\angle EMA = 65^\circ$, $\angle EDA = 45^\circ$.
    Треугольники $CEA$ и $CED$ равны по углам и стороне ($\angle ECA = \angle EAC = 65^\circ$, $CE$ — общая).
    Ответ: Треугольники равнобедренные (доказано через равенство углов).
Материалы школы Юайти