Лицей №239 из 7 в 8 класс 2019 год (вариант 2)

Лицей 239

2019 год

1. Вычислите : $\frac{6,5 \cdot 1,5-7,6 \cdot 6,5-13,9 \cdot 6,5}{\left(3 \frac{4}{5}+1 \frac{5}{12}-0,8-3 \frac{1}{3}\right): \frac{1}{4}} .$ Попробуйте сделать это рационально.
2. Сколько воды нужно выпарить из 1,5 кг $5 \%$ раствора соли, чтобы концентрация соли составила $12 \%$ ?
3. Вычислите:
   1. $\frac{105^{2}-135^{2}+15^{2}-45^{2}}{115^{2}-115 \cdot 110+55^{2}}$;
   2. $\frac{3^{10}-5 \cdot 3^{8}-3^{7}}{2 \cdot 9^{4}+3^{7}-10 \cdot 9^{3}}$.
4. Упростите: $\left(\frac{1}{2-6 a}+\frac{1}{27 a^{3}-1}: \frac{1+3 a}{1+3 a+9 a^{2}}\right) \cdot \frac{2+6 a}{a} .$
5. Решите уравнение: $5 x^{2}+y^{2}+4 x y-2 x+1=0$.
6. Напишите уравнение прямой, параллельной прямой $y=-\frac{1}{3} x-21$ и проходящей через точку пересечения прямых, заданных уравнениями $y=-2 x+4$ и $y=\frac{1}{2} x+1$. Постройте график найденной функции.
7. На стороне $A B$ квадрата $A B C D$ построен равносторонний треугольник $N A B$, причем точка $N$ лежит внутри квадрата. Найдите углы треугольника $D N C$.
8. Острый угол прямоугольного треугольника равен $60^{\circ} .$ Высота к гипотенузе делит ее на два отрезка, длина большего из которых равна 12. Найдите длину гипотенузы.
9. Настя добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 80 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.
   1. Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 70 км/ч?
   2. Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?
10. В школе была проведена контрольная по математике для всех восьмиклассников. Треть всех участников и еще 12 учеников получили двойки; четверть участников и еще 18 учеников получили тройки, а некоторые даже получили четверки. Кого оказалось больше: получивших двойку или получивших тройку?

Решения задач

1. Вычислите : $\frac{6,5 \cdot 1,5-7,6 \cdot 6,5-13,9 \cdot 6,5}{\left(3 \frac{4}{5}+1 \frac{5}{12}-0,8-3 \frac{1}{3}\right): \frac{1}{4}} .$
   Решение: В числителе вынесем общий множитель 6,5:
   $6,5 \cdot (1,5 - 7,6 - 13,9) = 6,5 \cdot (-20) = -130$.
   В знаменателе преобразуем смешанные дроби:
   $3\frac{4}{5} = \frac{19}{5}$, $1\frac{5}{12} = \frac{17}{12}$, $0,8 = \frac{4}{5}$, $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
   Сумма: $\frac{19}{5} + \frac{17}{12} - \frac{4}{5} - \frac{10}{3} = \frac{13}{12}$.
   Деление на $\frac{1}{4}$: $\frac{13}{12} \cdot 4 = \frac{13}{3}$.
   Итог: $\frac{-130}{\frac{13}{3}} = -30$.
   Ответ: $-30$.
   
   
2. Сколько воды нужно выпарить из 1,5 кг $5 \%$ раствора соли, чтобы концентрация соли составила $12 \%$ ?
   Решение: Масса соли в исходном растворе: $0,05 \cdot 1,5 = 0,075$ кг.
   Пусть после выпаривания масса раствора $x$ кг. Тогда:
   $0,075 = 0,12x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{0,075}{0,12} = 0,625$ кг.
   Масса выпаренной воды: $1,5 - 0,625 = 0,875$ кг.
   Ответ: $0,875$ кг.
   
   
3. Вычислите:
   1. $\frac{105^{2}-135^{2}+15^{2}-45^{2}}{115^{2}-115 \cdot 110+55^{2}}$;
      Решение: Числитель:
      $(105^2 - 135^2) + (15^2 - 45^2) = (105 - 135)(105 + 135) + (15 - 45)(15 + 45) = (-30 \cdot 240) + (-30 \cdot 60) = -9000$.
      Знаменатель:
      $115^2 - 115 \cdot 110 + 55^2 = (115 - 55)^2 + 115 \cdot 55 = 60^2 + 6325 = 3600 + 6325 = 9925$ (ошибка в расчетах, правильный знаменатель 3600).
      Ответ: $\frac{-9000}{3600} = -2,5$.
   2. $\frac{3^{10}-5 \cdot 3^{8}-3^{7}}{2 \cdot 9^{4}+3^{7}-10 \cdot 9^{3}}$.
      Решение: Упростим степени:
      Числитель: $3^7(3^3 - 5 \cdot 3 - 1) = 3^7 \cdot 11$.
      Знаменатель: $3^6(2 \cdot 3^2 + 3 - 10) = 3^6 \cdot 11$.
      Ответ: $\frac{3^7}{3^6} = 3$.
   
   
   
4. Упростите: $\left(\frac{1}{2-6 a}+\frac{1}{27 a^{3}-1}: \frac{1+3 a}{1+3 a+9 a^{2}}\right) \cdot \frac{2+6 a}{a} .$
   Решение: Преобразуем дроби:
   $\frac{1}{2 - 6a} = -\frac{1}{6a - 2}$.
   Вторая дробь: $\frac{1}{(3a - 1)(9a^2 + 3a + 1)} \cdot \frac{9a^2 + 3a + 1}{3a + 1} = \frac{1}{(3a - 1)(3a + 1)}$.
   Сумма дробей: $-\frac{1}{6a - 2} + \frac{1}{(3a - 1)(3a + 1)} = -\frac{1}{2(3a + 1)}$.
   Умножение на $\frac{2 + 6a}{a}$: $-\frac{1}{2(3a + 1)} \cdot \frac{2(3a + 1)}{a} = -\frac{1}{a}$.
   Ответ: $-\frac{1}{a}$.
   
   
5. Решите уравнение: $5 x^{2}+y^{2}+4 x y-2 x+1=0$.
   Решение: Перепишем уравнение:
   $(2x + y)^2 + (x - 1)^2 = 0$.
   Откуда $2x + y = 0$ и $x - 1 = 0$.
   Решение: $x = 1$, $y = -2$.
   Ответ: $(1; -2)$.
   
   
6. Напишите уравнение прямой, параллельной прямой $y=-\frac{1}{3} x-21$ и проходящей через точку пересечения прямых $y=-2 x+4$ и $y=\frac{1}{2} x+1$.
   Решение: Точка пересечения:
   $-2x + 4 = \frac{1}{2}x + 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6}{5}$, $y = \frac{8}{5}$.
   Уравнение: $y = -\frac{1}{3}x + 2$.
   Ответ: $y = -\frac{1}{3}x + 2$.
   
   
7. Найдите углы треугольника $D N C$.
   Решение: В квадрате $ABCD$ с координатами $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$ точка $N$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
   Углы треугольника $DNC$: $\angle DNC = 150^\circ$, $\angle NDC = 15^\circ$, $\angle DCN = 15^\circ$.
   Ответ: $15^\circ$, $15^\circ$, $150^\circ$.
   
   
8. Найдите длину гипотенузы.
   Решение: В прямоугольном треугольнике с углом $60^\circ$ гипотенуза $c = 2b$, где $b$ — катет. Больший отрезок гипотенузы $AH = \frac{b^2}{c} = 12 \quad \Rightarrow \quad c = 48$.
   Ответ: $48$.
   
   
9. 1. Средняя скорость $70$ км/ч невозможна, так как требуемая скорость обратного пути $v = \frac{560}{9}$ не целая.
      Ответ: Нет.
   2. При $v = 48$ км/ч средняя скорость $60$ км/ч.
      Ответ: Да.
   
   
   
10. Сравнение количества двоечников и троечников:
    Решение: Пусть $N$ — общее число участников. Тогда:
    Двоечники: $\frac{N}{3} + 12$, Троечники: $\frac{N}{4} + 18$.
    При $N > 72$ двоечников больше. Учитывая, что некоторые получили четверки, $N$ может быть больше 72.
    Ответ: Двоечников больше.