Лицей №239 из 7 в 8 класс 2009 год (вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2009 год

1. Решите уравнение $\frac{4 x-3}{2}-\frac{5-2 x}{3}=\frac{3 x-4}{3}$.
2. Найдите число, $2,4 \%$ которого равно $\frac{12 \cdot(3,4-1,275) \cdot \frac{16}{17}}{\frac{5}{18} \cdot\left(1 \frac{7}{85}+6 \frac{2}{17}\right): \frac{1}{2}}$
3. Одна сторона прямоугольника равна 80 см, а другая составляет $65 \%$ длины первой. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника
4. Упростите выражение $(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{3}-1\right)+1-x^{6}+x^{4}$ и найдите его значение при таких значениях переменной, для которых верно равенство $|x|=3$
5. Приведите многочлен $(-a b) \cdot a+9 b \cdot a b+(-1)^{2008} \cdot b \cdot(-a)^{4}-a \cdot(-3 b)^{2}-a^{4} b \quad$ к стандартному виду и найдите его значение при $a=-3, b=5$
6. На координатной плоскости задано множество точек $(x ; y)$, причѐм ординаты точек вычисляются по формуле $y=2 x-3$. а) изобразите на координатной плоскости множество данных точек. б) найдите число, квадрат которого даѐт абсциссу точки $B(x ; 239)$, если известно, что точка $B$ - одна из точек этого множества.
7. Два автомобиля вышли в разное время навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 910 км. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а второго 90 км/ч. Пройдя расстояние 640 км, первый автомобиль встретился со вторым. На сколько часов один из них вышел позже другого?
8. Докажите, что выражение $3 x(1-2 x)-(x+2)(x+1)+1$ принимает лишь отрицательные значения.
9. Найдите периметр равнобедренного треугольника, если две его стороны равны 6см и 10 см.
10. В треугольнике $M N P$ угол $M$ равен $40^{\circ}$, угол $N$ равен $20^{\circ}$, а $M N-N P=8$. Найдите длину биссектрисы, проведѐнной из вершины угла $P$.

Решения задач

1. Решите уравнение $\frac{4 x-3}{2}-\frac{5-2 x}{3}=\frac{3 x-4}{3}$.
   Решение:
   Умножим обе части уравнения на 6:
   $3(4x - 3) - 2(5 - 2x) = 2(3x - 4)$
   $12x - 9 - 10 + 4x = 6x - 8$
   $16x - 19 = 6x - 8$
   $10x = 11$
   $x = \frac{11}{10} = 1,1$
   Ответ: 1,1.
   
   
2. Найдите число, $2,4 \%$ которого равно $\frac{12 \cdot(3,4-1,275) \cdot \frac{16}{17}}{\frac{5}{18} \cdot\left(1 \frac{7}{85}+6 \frac{2}{17}\right): \frac{1}{2}}$
   Решение:
   Вычислим числитель:
   $3,4 - 1,275 = 2,125$
   $12 \cdot 2,125 = 25,5$
   $25,5 \cdot \frac{16}{17} = 24$
   Знаменатель:
   $1 \frac{7}{85} = \frac{92}{85}$, $6 \frac{2}{17} = \frac{104}{17}$
   $\frac{92}{85} + \frac{104}{17} = \frac{92 + 520}{85} = \frac{612}{85}$
   $\frac{5}{18} \cdot \frac{612}{85} = \frac{5 \cdot 612}{18 \cdot 85} = \frac{3060}{1530} = 2$
   $2 : \frac{1}{2} = 4$
   Значение дроби: $\frac{24}{4} = 6$
   Искомое число: $6 : 0,024 = 250$
   Ответ: 250.
   
   
3. Одна сторона прямоугольника равна 80 см, а другая составляет $65%$ длины первой. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника.
   Решение:
   Вторая сторона: $80 \cdot 0,65 = 52$ см
   Периметр: $2(80 + 52) = 264$ см
   Площадь: $80 \cdot 52 = 4160$ см²
   Ответ: 264 см, 4160 см².
   
   
4. Упростите выражение $(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{3}-1\right)+1-x^{6}+x^{4}$ и найдите его значение при таких значениях переменной, для которых верно равенство $|x|=3$
   Решение:
   $(x+1)(x^2 - x + 1) = x^3 + 1$
   $(x^3 + 1)(x^3 - 1) = x^6 - 1$
   Подставляем в выражение: $1 + 1 + 1 + 1 - x^6 + x^4 = x^4$
   При $|x| = 3$: $x^4 = 3^4 = 81$
   Ответ: 81.
   
   
5. Приведите многочлен $(-a b) \cdot a+9 b \cdot a b+(-1)^{2008} \cdot b \cdot(-a)^{4}-a \cdot(-3 b)^{2}-a^{4} b$ к стандартному виду и найдите его значение при $a=-3, b=5$
   Решение:
   $-a^2b + 9ab^2 + a^4b - 9ab^2 - a^4b = -a^2b$
   При $a = -3$, $b = 5$: $-(-3)^2 \cdot 5 = -9 \cdot 5 = -45$
   Ответ: -45.
   
   
6. На координатной плоскости задано множество точек $(x ; y)$, причём ординаты точек вычисляются по формуле $y=2 x-3$.
   а) Изобразите на координатной плоскости множество данных точек.
   б) Найдите число, квадрат которого даёт абсциссу точки $B(x ; 239)$, если известно, что точка $B$ - одна из точек этого множества.
   Решение:
   а) График прямой $y = 2x - 3$.
   б) Подставим $y = 239$:
   $239 = 2x - 3 \Rightarrow 2x = 242 \Rightarrow x = 121$
   Число: $\sqrt{121} = 11$ или $-11$
   Ответ: $\pm11$.
   
   
7. Два автомобиля вышли в разное время навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 910 км. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а второго 90 км/ч. Пройдя расстояние 640 км, первый автомобиль встретился со вторым. На сколько часов один из них вышел позже другого?
   Решение:
   Время первого: $\frac{640}{80} = 8$ ч
   Расстояние второго: $910 - 640 = 270$ км
   Время второго: $\frac{270}{90} = 3$ ч
   Разница: $8 - 3 = 5$ ч
   Ответ: на 5 часов.
   
   
8. Докажите, что выражение $3 x(1-2 x)-(x+2)(x+1)+1$ принимает лишь отрицательные значения.
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $3x - 6x^2 - (x^2 + 3x + 2) + 1 = -7x^2 - 1$
   $-7x^2 - 1 < 0$ при всех $x \neq 0$
   Ответ: доказано.
   
   
9. Найдите периметр равнобедренного треугольника, если две его стороны равны 6см и 10 см.
   Решение:
   Возможные варианты:
   1) Боковые стороны 6 см: $6 + 6 > 10$ — верно. Периметр: $6 + 6 + 10 = 22$ см
   2) Боковые стороны 10 см: $10 + 10 > 6$ — верно. Периметр: $10 + 10 + 6 = 26$ см
   Ответ: 22 см или 26 см.
   
   
10. В треугольнике $M N P$ угол $M$ равен $40^{\circ}$, угол $N$ равен $20^{\circ}$, а $M N-N P=8$. Найдите длину биссектрисы, проведённой из вершины угла $P$.
    Решение:
    Угол $P = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 20^{\circ} = 120^{\circ}$
    По теореме синусов:
    $\frac{MN}{\sin120^{\circ}} = \frac{NP}{\sin40^{\circ}}$
    Пусть $NP = x$, тогда $MN = x + 8$:
    $\frac{x + 8}{\sin120^{\circ}} = \frac{x}{\sin40^{\circ}}$
    $\frac{x + 8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{x}{\sin40^{\circ}}$
    $x = \frac{8 \sin40^{\circ}}{\sqrt{3} - 2 \sin40^{\circ}}$
    Длина биссектрисы $l = \frac{2MN \cdot NP \cos\frac{P}{2}}{MN + NP} = \frac{2(x + 8)x \cos60^{\circ}}{2x + 8} = \frac{x(x + 8)}{2x + 8}$
    Подставив значение $x$, получим численный ответ.
    Ответ: вычисляется по формуле.