Лицей №239 из 7 в 8 класс 2017 год (вариант 1)

Лицей 239

2017 год

1. Вычислите: $\frac{3 \cdot\left(\frac{7}{30}-0,125: 1 \frac{1}{8}\right)}{\left(5: 1,8-2 \frac{1}{3}: 1,5\right): 2 \frac{2}{3}}$
2. Скорость течения реки составляет $5 \%$ от скорости катера. Двигаясь против течения, катер за 3 часа проходит на 40 км меньше, чем за 3 часа 40 минут движения по течению. Найдите скорость катера против течения.
3. Упростите выражение: $\left(\frac{3}{a+6}-\frac{2}{a^{2}+12 a+36}\right): \frac{3 a+16}{a^{2}-36}$
4. Найдите число $p$, если известно, что точки $A\left(-\frac{1}{3} ; 7\right), B(3 ;-3)$ и $\left(p_{1} \frac{p-1}{2}\right) \div \div$ лежат на одной прямой. Запишите уравнение этой прямой.
5. Какое число больше и на сколько процентов? $$ A=\frac{\left(7^{10}-7^{9}-7^{8}\right)^{2}}{41 \cdot 49^{8}} \quad \text { или } \quad B=5379^{2}-5378 \cdot 5380 $$
6. Решите уравнение: $\frac{2 x-3}{5}+\frac{5 x+1}{20}=3-x-\frac{x-1}{4}$.
7. Маше задано выучить английские глаголы и существительные. Утром она выучила $\frac{1}{12}$ всех глаголов и $\frac{1}{16}$ всех существительных, всего 5 слов. Вечером она выучила ещё $\frac{1}{4}$ всех оставшихся глаголов и $\frac{1}{5}$ всех оставшихся существительных. Оказалось, что вечером Маша выучила на 8 глаголов больше, чем существительных. Сколько существительных и сколько глаголов было задано Маше?
8. На стороне $P C$ треугольника $P K C$ расположены точки $A$ и $B$ так, что $A P=A K$ и $K B=B C$. При этом оказалось, что величина угла $A K B$ равна $40^{\circ} .$ Найдите угол $P K C .$
9. В треугольнике $A B C$ угол $B$ равен $30^{\circ}$, угол $A$ равен $120^{\circ} .$ Из вершины $B$ проведена высота $B H$, при этом оказалось, что $H C=1$ дм 2см. Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $B C$.
10. При умножении двух натуральных чисел, одно из которых на 10 меньше другого, ученик ошибочно уменьшил цифру десятков произведения на 4. Для проверки ответа он поделил полученное неправильное произведение на меньший множитель и получил в частном 39, а в остатке $22 .$ Какие числа он умножал?
11. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 2 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 шарика меньше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет по 3 пакетика, а коробок потребуется на 1 меньше. Какое наибольшее и наименьшее количество шариков может быть при таких условиях?

Решения задач

1. Вычислите: $\frac{3 \cdot\left(\frac{7}{30}-0,125: 1 \frac{1}{8}\right)}{\left(5: 1,8-2 \frac{1}{3}: 1,5\right): 2 \frac{2}{3}}$
   Решение:
   Числитель:
   $0,125 : 1\frac{1}{8} = \frac{1}{8} : \frac{9}{8} = \frac{1}{9}$
   $\frac{7}{30} - \frac{1}{9} = \frac{21}{90} - \frac{10}{90} = \frac{11}{90}$
   $3 \cdot \frac{11}{90} = \frac{33}{90} = \frac{11}{30}$
   Знаменатель:
   $5 : 1,8 = \frac{25}{9}$; $2\frac{1}{3} : 1,5 = \frac{14}{9}$
   $\frac{25}{9} - \frac{14}{9} = \frac{11}{9}$
   $\frac{11}{9} : 2\frac{2}{3} = \frac{11}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{11}{24}$
   Итог:
   $\frac{\frac{11}{30}}{\frac{11}{24}} = \frac{24}{30} = 0,8$
   Ответ: 0,8.
2. Скорость течения реки составляет $5 \%$ от скорости катера. Двигаясь против течения, катер за 3 часа проходит на 40 км меньше, чем за 3 часа 40 минут движения по течению. Найдите скорость катера против течения.
   Решение:
   Пусть скорость катера $V$, тогда скорость течения $0,05V$.
   Против течения: $0,95V \cdot 3 = 2,85V$
   По течению: $1,05V \cdot \frac{11}{3} = 3,85V$
   Разность: $3,85V - 2,85V = V = 40$ км/ч
   Скорость против течения: $0,95 \cdot 40 = 38$ км/ч
   Ответ: 38.
3. Упростите выражение: $\left(\frac{3}{a+6}-\frac{2}{a^{2}+12 a+36}\right): \frac{3 a+16}{a^{2}-36}$
   Решение:
   $\frac{3}{a+6} - \frac{2}{(a+6)^2} = \frac{3(a+6) - 2}{(a+6)^2} = \frac{3a + 16}{(a+6)^2}$
   $\frac{3a + 16}{(a+6)^2} \cdot \frac{(a-6)(a+6)}{3a + 16} = \frac{a - 6}{a + 6}$
   Ответ: $\frac{a - 6}{a + 6}$.
4. Найдите число $p$, если известно, что точки $A\left(-\frac{1}{3} ; 7\right), B(3 ;-3)$ и $\left(p; \frac{p-1}{2}\right)$ лежат на одной прямой. Запишите уравнение этой прямой.
   Решение:
   Уравнение прямой $AB$: $y = -3x + 6$
   Подстановка точки $C$:
   $\frac{p - 1}{2} = -3p + 6 \Rightarrow p = \frac{13}{7}$
   Ответ: $p = \frac{13}{7}$, уравнение $y = -3x + 6$.
5. Какое число больше и на сколько процентов?
   $A=\frac{\left(7^{10}-7^{9}-7^{8}\right)^{2}}{41 \cdot 49^{8}} \quad \text { или } \quad B=5379^{2}-5378 \cdot 5380$
   
   Решение:
   $A = \frac{(7^8 \cdot 41)^2}{41 \cdot 7^{16}} = 41$
   $B = 5379^2 - (5379 - 1)(5379 + 1) = 1$
   $A$ больше на $\frac{41 - 1}{1} \cdot 100% = 4000\%$
   Ответ: $A$ больше на 4000\%.
6. Решите уравнение: $\frac{2 x-3}{5}+\frac{5 x+1}{20}=3-x-\frac{x-1}{4}$.
   Решение:
   Умножение на 20:
   $4(2x - 3) + 5x + 1 = 60 - 20x - 5(x - 1)$
   $13x - 11 = 65 - 25x \Rightarrow 38x = 76 \Rightarrow x = 2$
   Ответ: 2.
7. Маше задано выучить английские глаголы и существительные. Утром она выучила $\frac{1}{12}$ всех глаголов и $\frac{1}{16}$ всех существительных, всего 5 слов. Вечером она выучила ещё $\frac{1}{4}$ всех оставшихся глаголов и $\frac{1}{5}$ всех оставшихся существительных. Оказалось, что вечером Маша выучила на 8 глаголов больше, чем существительных. Сколько существительных и сколько глаголов было задано Маше?
   Решение:
   Система:
   $\frac{G}{12} + \frac{S}{16} = 5 \Rightarrow 4G + 3S = 240$
   $\frac{11G}{48} - \frac{3S}{16} = 8 \Rightarrow 11G - 9S = 384$
   Решение: $G = 48$, $S = 16$
   Ответ: 48 глаголов, 16 существительных.
8. На стороне $P C$ треугольника $P K C$ расположены точки $A$ и $B$ так, что $A P=A K$ и $K B=B C$. При этом оказалось, что величина угла $A K B$ равна $40^{\circ} .$ Найдите угол $P K C .$
   Решение:
   Треугольники $APK$ и $BKC$ равнобедренные. Угол $AKB = 40^\circ$ — внешний для $\triangle BKC$, значит $\angle BKC = 20^\circ$. Сумма углов $\angle PKC = 80^\circ$.
   Ответ: $80^\circ$.
9. При умножении двух натуральных чисел, одно из которых на 10 меньше другого, ученик ошибочно уменьшил цифру десятков произведения на 4. Для проверки ответа он поделил полученное неправильное произведение на меньший множитель и получил в частном 39, а в остатке $22 .$ Какие числа он умножал?
   Решение:
   Система:
   $x(x + 10) - 40 = 39x + 22$
   $x^2 - 29x - 62 = 0 \Rightarrow x = 31$
   Ответ: 31 и 41.
10. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 2 пакетика в одну коробку. Можно эти же шарики разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 3 шарика меньше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет по 3 пакетика, а коробок потребуется на 1 меньше. Какое наибольшее и наименьшее количество шариков может быть при таких условиях?
    Решение:
    Уравнение: $2yx = 3(y - 1)(x - 3)$
    $(y - 3)(x - 9) = 27$
    Наибольшее: $2 \cdot 30 \cdot 10 = 600$, наименьшее: $2 \cdot 6 \cdot 18 = 216$
    Ответ: 216 и 600.