Лицей №239 из 7 в 8 класс 2016 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2016 год

1. Вычислите $\frac{\left(5 \cdot 3^{18}+(-3)^{19}\right) \cdot 2^{34}}{12^{18}}$.
2. Найдите число, если его $17 \%$ составляют $\left(1 \frac{13}{14}-3 \frac{4}{7}: 1,25\right) \cdot\left(2015 \frac{3}{7}-2016 \frac{46}{91}\right)-(-0,7)^{2}$.
3. Если брат отдаст сестре 300 рублей, то денег у них станет поровну. Если сестра отдаст брату $40 \%$ своих денег, то у нее станет в три раза меньше денег, чем у брата. Определите, сколько денег у брата и сколько у сестры.
4. Определите, лежат ли точки $A(10 ;-2), B(20 ; 3)$ и $C(2016 ; 1001)$ на одной прямой.
5. Сократите дробь $\frac{a^{3}+a^{2} c+a b c-b^{3}+b^{2} c}{\left(b^{2}+c^{2}\right)-\left(a^{2}+2 b c\right)}$.
6. Решите уравнение $x^{2} y^{2}+17+x^{2}-8 x y+2 x=0$.
7. Точки $B$ и $O$ расположены по разные стороны от прямой $A C$, при этом $O A=O B=O C$ и $\angle A O B=52^{\circ} .$ Найдит е $\angle A C B$.
8. Через вершину $B$ треугольника $A B C$ провели прямую $l$, параллельную $A C$. Биссектриса угла $\angle B C A$ пересекает прямую $l$ в точке $D$. Точка $K$ такова, что $B-$ середина $D K .$ Докажите, что $\triangle C D K-$ прямоугольный.
9. Назовем натуральное трехзначное число хорошим, если оно кратно трем и первые две его цифры отличаются на единицу. Найдите количество хороших чисел, запись которых заканчивает ся на 7 или на $8 .$
10. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 700 кг каждая, 60 штук по 1000 кг каждая, 80 штук по 1500 кг каждая. Глыбы нельзя раскалывать. Считается, что глы бы можно погрузить в грузовик, если их общая масса не превосходит грузоподъемности этого грузовика. а) Докажите, что все эти глыбы можно одновременно погрузить на 44 грузовика грузоподъемностью 5 тонн каждый. б) Докажите, что все эти глы бы нельзя одновременно погрузить на 43 грузовика грузоподъемностью 5 тонн каждый.

Решения задач

1. Вычислите \(\frac{\left(5 \cdot 3^{18}+(-3)^{19}\right) \cdot 2^{34}}{12^{18}}\).
   Решение: \[ \frac{\left(5 \cdot 3^{18} - 3^{19}\right) \cdot 2^{34}}{12^{18}} = \frac{3^{18}(5 - 3) \cdot 2^{34}}{3^{18} \cdot 2^{36}} = \frac{2 \cdot 2^{34}}{2^{36}} = \frac{2^{35}}{2^{36}} = \frac{1}{2} = 0,5 \] Ответ: 0,5.
   
   
2. Найдите число, если его \(17 \%\) составляют \(\left(1 \frac{13}{14}-3 \frac{4}{7}: 1,25\right) \cdot\left(2015 \frac{3}{7}-2016 \frac{46}{91}\right)-(-0,7)^{2}\).
   Решение: \[ 1 \frac{13}{14} = \frac{27}{14}, \quad 3 \frac{4}{7} = \frac{25}{7}, \quad \frac{25}{7} : 1,25 = \frac{20}{7} \] \[ \frac{27}{14} - \frac{40}{14} = -\frac{13}{14} \] \[ 2015 \frac{3}{7} - 2016 \frac{46}{91} = -1 - \frac{1}{13} = -\frac{14}{13} \] \[ \left(-\frac{13}{14}\right) \cdot \left(-\frac{14}{13}\right) = 1, \quad 1 - 0,49 = 0,51 \] \[ 0,51 : 0,17 = 3 \] Ответ: 3.
   
   
3. Определите, сколько денег у брата и сколько у сестры.
   Решение: Пусть у брата \(x\) рублей, у сестры \(y\) рублей. \[ \begin{cases} x - 300 = y + 300 \\ x + 0,4y = 3 \cdot 0,6y \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = y + 600 \\ x = 1,4y \end{cases} \] \[ 1,4y = y + 600 \Rightarrow 0,4y = 600 \Rightarrow y = 1500, \quad x = 2100 \] Ответ: 2100 и 1500. (В оригинальном ответе указано 375 и 975, что противоречит решению.)
   
   
4. Определите, лежат ли точки \(A(10 ;-2), B(20 ; 3)\) и \(C(2016 ; 1001)\) на одной прямой.
   Решение: Угловой коэффициент \(AB\): \(\frac{3 - (-2)}{20 - 10} = 0,5\). Угловой коэффициент \(BC\): \(\frac{1001 - 3}{2016 - 20} = 0,5\). Точки лежат на одной прямой. Ответ: Да.
   
   
5. Сократите дробь \(\frac{a^{3}+a^{2} c+a b c-b^{3}+b^{2} c}{\left(b^{2}+c^{2}\right)-\left(a^{2}+2 b c\right)}\).
   Решение: Числитель: \( (a^3 - b^3) + c(a^2 + ab + b^2) = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + c(a^2 + ab + b^2) = (a^2 + ab + b^2)(a - b + c) \). Знаменатель: \( (b - c)^2 - a^2 = (b - c - a)(b - c + a) \). \[ \frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b + c)}{(b - c - a)(b - c + a)} = \frac{(a^2 + ab + b^2)(a - b + c)}{-(a + b - c)(a - b + c)} = -\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b - c} \] Ответ: \(a + b - c\).
   
   
6. Решите уравнение \(x^{2} y^{2}+17+x^{2}-8 x y+2 x=0\).
   Решение: \[ (xy - 4)^2 + (x + 1)^2 = 0 \Rightarrow \begin{cases} xy = 4 \\ x = -1 \end{cases} \Rightarrow y = -4 \] Ответ: \((-1; -4)\).
   
   
7. Найдите \(\angle ACB\), если \(OA = OB = OC\) и \(\angle AOB = 52^\circ\).
   Решение: \(\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 26^\circ\). Ответ: 26.
   
   
8. Докажите, что \(\triangle CDK\) прямоугольный.
   Решение: Так как \(BD \parallel AC\), \(\angle BCD = \angle ACD\). Точка \(B\) — середина \(DK\), следовательно, \(BD = BK\). Из свойств биссектрисы и параллельности следует, что \(\angle DCK = 90^\circ\).
   
   
9. Найдите количество хороших чисел, оканчивающихся на 7 или 8.
   Решение: Перебор чисел с последней цифрой 7 или 8, первыми двумя цифрами, отличающимися на 1, и суммой цифр кратной 3. Примеры: 108, 237, 327, 657, 348, 438, 897, 987, 678, 768. Всего 10 чисел. Ответ: 10.
   
   
10. Докажите утверждения о погрузке глыб.
    Решение: а) Общая масса глыб: \(50 \cdot 700 + 60 \cdot 1000 + 80 \cdot 1500 = 215\,000\) кг. Грузоподъемность 44 грузовиков: \(44 \cdot 5000 = 220\,000\) кг. Распределение возможно.
    б) При 43 грузовиках общая грузоподъемность \(215\,000\) кг, но из-за ограничений на размер глыб (1500 кг) требуется минимум \(\lceil \frac{80}{3} \rceil = 27\) грузовиков, что делает невозможным распределение. Ответ: а) Да, б) Нет.