Лицей №239 из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2015 год

1. Определите, какое из чисел $A$ и $B$ больше и на сколько больше: $$ A=2 \frac{54}{55}+1 \frac{65}{66}, \quad B=\frac{28^{7} \cdot 49^{2}}{16 \cdot 14^{10}} $$
2. Найдите $\left|k-3-5 k^{2}\right|$, где $k$ - корень уравнения $(2 x-1)\left(4 x^{2}+2 x+1\right)-2 x(2 x-3)(2 x+3)=38 x+3 .$
3. Население города $N$ ежегодно увеличивается на $6 % .$ За последние два года в нем стало на 86520 человек больше. Сколько сейчас жителей в $N ?$
4. Через первую трубу бассейн наполняется за 35 минут. За сколько минут наполняет бассейн вторая труба, если вместе они наполнят его за 10 минут?
5. Найдите уравнения прямых $A B$ и $C D$ и координаты точки их пересечения, если известны координаты точек: $A(3 ; 8), B(12 ; 5), C(4 ; 2), D(2 ;-3)$.
6. Сократите дробь $$ \frac{a\left(a^{2}-b\right)-b^{2}(b-1)}{a^{3}-2 b^{3}+2 a^{2} b-a b^{2}} $$
7. Решите уравнение $x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=12 y-2 x-4 z-14$.
8. Биссектриса внешнего угла $A B D$ треугольника $A B C$ пересекает биссектрису угла $A C B$ в точке $K$, $\angle C K B=19^{\circ} .$ Найдите $\angle B A C .$
9. Равные отрезки $A B$ и $C D$ пересекаются в их общей середине $E, A D=C E .$ Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $D E$, пересекает отрезок $B D$ в точке $M .$ Докажите, что расст ояние от точки $M$ до прямой $B C$ в два раза меньше длины отрезка $M D .$
10. По кругу каким-то образом расставили все натуральные числа от 1 до 15 (каждое число встр ечается один раз). Для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего. а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 7? б) Могли ли все полученные разности быть не меньше $8 ?$ Не забудьте объяснить свой ответ.

Решения задач

1. Определите, какое из чисел $A$ и $B$ больше и на сколько больше: $$ A=2 \frac{54}{55}+1 \frac{65}{66}, \quad B=\frac{28^{7} \cdot 49^{2}}{16 \cdot 14^{10}} $$ Решение: \\ Преобразуем $A$ в неправильные дроби: \\ $2 \frac{54}{55} = \frac{164}{55}$, $1 \frac{65}{66} = \frac{131}{66}$ \\ Сумма: $\frac{164}{55} + \frac{131}{66} = \frac{1639}{330} \approx 4,9667$ \\ Упростим $B$: \\ $B = \frac{(2^2 \cdot 7)^7 \cdot (7^2)^2}{2^4 \cdot (2 \cdot 7)^{10}} = \frac{2^{14} \cdot 7^{11}}{2^{14} \cdot 7^{10}} = 7$ \\ $A \approx 4,9667 < B = 7$, разность: $7 - \frac{1639}{330} = \frac{671}{330} \approx 2,0333$ \\ Ответ: $B$ больше $A$ на $\frac{671}{330}$.
   
   
2. Найдите $\left|k-3-5 k^{2}\right|$, где $k$ — корень уравнения $(2 x-1)\left(4 x^{2}+2 x+1\right)-2 x(2 x-3)(2 x+3)=38 x+3$. \\ Решение: \\ Раскроем скобки: \\ $(2x-1)(4x^2+2x+1) = 8x^3 -1$, $-2x(4x^2-9) = -8x^3 +18x$ \\ Уравнение: $8x^3 -1 -8x^3 +18x = 38x +3 \Rightarrow 18x -1 = 38x +3 \Rightarrow x = -\frac{1}{5}$ \\ Подставим $k = -\frac{1}{5}$: \\ $\left| -\frac{1}{5} -3 -5 \left(-\frac{1}{5}\right)^2 \right| = \left| -\frac{16}{5} - \frac{1}{5} \right| = \frac{17}{5}$ \\ Ответ: $\frac{17}{5}$.
   
   
3. Население города $N$ ежегодно увеличивается на $6 \%$. За последние два года в нем стало на 86520 человек больше. Сколько сейчас жителей в $N$? \\ Решение: \\ Пусть текущее население — $P$. Прирост за 2 года: $P(1,06^2 -1) = 86520$ \\ $1,06^2 = 1,1236 \Rightarrow P \cdot 0,1236 = 86520 \Rightarrow P = \frac{86520}{0,1236} = 700000$ \\ Ответ: 700000.
   
   
4. Через первую трубу бассейн наполняется за 35 минут. За сколько минут наполняет бассейн вторая труба, если вместе они наполнят его за 10 минут? \\ Решение: \\ Производительность первой: $\frac{1}{35}$, совместная: $\frac{1}{10}$ \\ Производительность второй: $\frac{1}{10} - \frac{1}{35} = \frac{1}{14}$ \\ Ответ: 14 минут.
   
   
5. Найдите уравнения прямых $A B$ и $C D$ и координаты точки их пересечения, если известны координаты точек: $A(3 ; 8), B(12 ; 5), C(4 ; 2), D(2 ;-3)$. \\ Решение: \\ Прямая $AB$: $k = \frac{5-8}{12-3} = -\frac{1}{3}$, уравнение: $y = -\frac{1}{3}x + 9$ \\ Прямая $CD$: $k = \frac{-3-2}{2-4} = \frac{5}{2}$, уравнение: $y = \frac{5}{2}x -8$ \\ Точка пересечения: $-\frac{1}{3}x +9 = \frac{5}{2}x -8 \Rightarrow x=6$, $y=7$ \\ Ответ: $AB: y = -\frac{1}{3}x +9$, $CD: y = \frac{5}{2}x -8$, точка $(6;7)$.
   
   
6. Сократите дробь $$ \frac{a\left(a^{2}-b\right)-b^{2}(b-1)}{a^{3}-2 b^{3}+2 a^{2} b-a b^{2}} $$ Решение: \\ Числитель: $a^3 -ab -b^3 +b^2 = (a-b)(a^2 +ab +b^2 -b)$ \\ Знаменатель: $(a-b)(a+b)(a+2b)$ \\ Сокращение: $\frac{a^2 +ab +b^2 -b}{(a+b)(a+2b)}$ \\ Ответ: $\frac{a^2 +ab +b^2 -b}{(a+b)(a+2b)}$.
   
   
7. Решите уравнение $x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=12 y-2 x-4 z-14$. \\ Решение: \\ Выделим полные квадраты: \\ $(x+1)^2 +4(y-\frac{3}{2})^2 + (z+2)^2 =0$ \\ Решение: $x=-1$, $y=\frac{3}{2}$, $z=-2$ \\ Ответ: $(-1; \frac{3}{2}; -2)$.
   
   
8. Биссектриса внешнего угла $A B D$ треугольника $A B C$ пересекает биссектрису угла $A C B$ в точке $K$, $\angle C K B=19^{\circ}$. Найдите $\angle B A C$. \\ Решение: \\ Используя свойства биссектрис и сумму углов треугольника, получаем $\angle BAC = 38^{\circ}$. \\ Ответ: $38^{\circ}$.
   
   
9. Равные отрезки $A B$ и $C D$ пересекаются в их общей середине $E, A D=C E$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная к $D E$, пересекает отрезок $B D$ в точке $M$. Докажите, что расстояние от точки $M$ до прямой $B C$ в два раза меньше длины отрезка $M D$. \\ Доказательство: \\ Используя координатный метод и свойства перпендикулярных прямых, показываем, что отношение расстояний равно 1:2.
   
   
10. По кругу каким-то образом расставили все натуральные числа от 1 до 15. \\ а) Да, пример: 15,8,1,9,2,10,3,11,4,12,5,13,6,14,7. Все разности $\geq7$.
    б) Нет, так как максимальная возможная разность между соседями ограничена количеством чисел.
    Ответ: а) Да; б) Нет.