Лицей №239 из 7 в 8 класс 2014 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2014 год

1. Вычислите: $19 \frac{1}{3}: 4,75-\left(5 \frac{1}{3}-3,5 \cdot\left(-\frac{4}{19}\right)\right)$.
2. Упростите: $\frac{45^{2 n+1}}{(-15)^{2 n \cdot 9^{n-1} \cdot 25}}$, где $\mathrm{n}$ - натуральное число.
3. Длину прямоугольного участка земли увеличили на $30 \%$, а ширину - на $20 \%$, в результате чего его площадь увеличилась на 28 м². Определите площадь исходного участка.
4. Автомобилист преодолел расстояние от города до поселка за 1 ч 12 мин, двигаясь с постоянной скоростью. Когда он поехал обратно, пошел дождь, поэтому автомобилист снизил скорость на 20 км/ч и ехал на 24 мин дольше. Найдите расстояние между городом и поселком.
5. Определите линейную функцию, если ее график удовлетворяет условиям: он параллелен графику функции $y=-3 x-7$ он проходит через точку пересечения прямых, заданных уравнениями $y=-2 x+2$ и $y=3 x-13$. Постройте график этой функции. Укажите координаты точек пересечения этого графика с осями координат.
6. Сократите дробь: $\frac{b(b-2)-c(c-2)}{b^{3}-c^{3}}$.
7. Докажите, что выражение $9 x^{2}+8 y-6 x y+y^{2}+18-24 x$ принимает положительные значения при любых значениях переменных х и $y$.
8. Какие-то две стороны равнобедренного треугольника отличаются на 8 см, а какие-то две составляют в сумме 20 см. Определите все значения, которые может принимать длина основания такого треугольника.
9. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с углом $A$, равным $30^{\circ}$, к гипотенузе $A C$ проведена высота $B H .$ На стороне $B C$ выбрана точка $K$ так, что $K C=H C .$ Лучи $A B$ и $H K$ пересекаются в точке $N .$ Найдите отношение отрезков $A H$ и $K N$.
10. На складе имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки разложили в два штабеля. Обозначим за $S_{1}$ и $S_{2}$ суммарные массы коробок в первом и втором штабеле соответственно, и пусть $A=\left|S_{1}-S_{2}\right|$. а) Найдите наименьшее возможное значение числа $A$, если в каждом штабеле находится 30 коробок. б) Может ли $A$ равняться нулю, если коробки распределены по штабелям не обязательно поровну?

Решения задач

1. Вычислите: $19 \frac{1}{3}: 4,75-\left(5 \frac{1}{3}-3,5 \cdot\left(-\frac{4}{19}\right)\right)$.
   Решение:
   $19\frac{1}{3} = \frac{58}{3}$, $4,75 = \frac{19}{4}$
   $\frac{58}{3} : \frac{19}{4} = \frac{58}{3} \cdot \frac{4}{19} = \frac{232}{57} = 4\frac{4}{57}$
   $3,5 = \frac{7}{2}$, тогда $3,5 \cdot (-\frac{4}{19}) = -\frac{14}{19}$
   $5\frac{1}{3} - (-\frac{14}{19}) = \frac{16}{3} + \frac{14}{19} = \frac{304 + 42}{57} = \frac{346}{57} = 6\frac{4}{57}$
   Итог: $4\frac{4}{57} - 6\frac{4}{57} = -2$
   Ответ: $-2$.
   
   
2. Упростите: $\frac{45^{2 n+1}}{(-15)^{2 n} \cdot 9^{n-1} \cdot 25}$, где $\mathrm{n}$ - натуральное число.
   Решение:
   $45 = 9 \cdot 5$, $-15 = -3 \cdot 5$
   $\frac{(9 \cdot 5)^{2n+1}}{(-3 \cdot 5)^{2n} \cdot 9^{n-1} \cdot 25} = \frac{9^{2n+1} \cdot 5^{2n+1}}{(-3)^{2n} \cdot 5^{2n} \cdot 9^{n-1} \cdot 25}$
   Упростим степени:
   $\frac{9^{2n+1}}{9^{n-1}} = 9^{n+2} = 3^{2n+4}$
   $\frac{5^{2n+1}}{5^{2n}} = 5$
   $(-3)^{2n} = 3^{2n}$, $25 = 5^2$
   Итог: $\frac{3^{2n+4} \cdot 5}{3^{2n} \cdot 5^2} = \frac{3^4}{5} = \frac{81}{5} = 16,2$
   Ответ: $16,2$.
   
   
3. Длину прямоугольного участка земли увеличили на $30 \%$, а ширину - на $20 \%$, в результате чего его площадь увеличилась на 28 м². Определите площадь исходного участка.
   Решение:
   Пусть исходные длина $x$, ширина $y$. Новая площадь: $1,3x \cdot 1,2y = 1,56xy$
   Разница площадей: $1,56xy - xy = 0,56xy = 28$
   $xy = \frac{28}{0,56} = 50$
   Ответ: 50 м².
   
   
4. Автомобилист преодолел расстояние от города до поселка за 1 ч 12 мин, двигаясь с постоянной скоростью. Когда он поехал обратно, пошел дождь, поэтому автомобилист снизил скорость на 20 км/ч и ехал на 24 мин дольше. Найдите расстояние между городом и поселком.
   Решение:
   Пусть расстояние $S$ км, скорость туда $v$ км/ч. Время туда: $1,2$ ч.
   Обратно: скорость $v-20$ км/ч, время $1,2 + 0,4 = 1,6$ ч.
   Уравнение: $\frac{S}{v-20} = 1,6$
   Из первого: $S = 1,2v$
   Подставим: $\frac{1,2v}{v-20} = 1,6 \Rightarrow 1,2v = 1,6v - 32 \Rightarrow 0,4v = 32 \Rightarrow v = 80$ км/ч
   $S = 1,2 \cdot 80 = 96$ км
   Ответ: 96 км.
   
   
5. Определите линейную функцию, если ее график удовлетворяет условиям: он параллелен графику функции $y=-3 x-7$ он проходит через точку пересечения прямых, заданных уравнениями $y=-2 x+2$ и $y=3 x-13$.
   Решение:
   Угловой коэффициент $k = -3$. Точка пересечения:
   $-2x + 2 = 3x - 13 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$, $y = -4$
   Уравнение: $y = -3x + b$. Подставим $(3, -4)$:
   $-4 = -9 + b \Rightarrow b = 5$
   Функция: $y = -3x + 5$
   Пересечение с осями: $(0; 5)$ и $(\frac{5}{3}; 0)$
   Ответ: $y = -3x + 5$; точки $(0; 5)$ и $(\frac{5}{3}; 0)$.
   
   
6. Сократите дробь: $\frac{b(b-2)-c(c-2)}{b^{3}-c^{3}}$.
   Решение:
   Числитель: $b^2 - 2b - c^2 + 2c = (b - c)(b + c) - 2(b - c) = (b - c)(b + c - 2)$
   Знаменатель: $b^3 - c^3 = (b - c)(b^2 + bc + c^2)$
   Сокращаем: $\frac{b + c - 2}{b^2 + bc + c^2}$
   Ответ: $\frac{b + c - 2}{b^2 + bc + c^2}$.
   
   
7. Докажите, что выражение $9 x^{2}+8 y-6 x y+y^{2}+18-24 x$ принимает положительные значения при любых значениях переменных х и $y$.
   Решение:
   Перегруппируем: $9x^2 - 6xy + y^2 -24x +8y +18 = (3x - y)^2 -24x +8y +18$
   Дополним квадраты: $(3x - y -4)^2 + (8y +18 -16) = (3x - y -4)^2 +8y +2$
   Альтернативный подход: $9x^2 -24x +16 + y^2 -6xy +8y +2 = (3x -4)^2 + (y -3x +4)^2 -14 \geq -14$? Не подходит.
   Верный метод: $9x^2 -6xy + y^2 +8y -24x +18 = (3x - y)^2 +8y -24x +18$
   Выделим полный квадрат для $y$: $(3x - y)^2 +8(y -3x) +18 = (3x - y)^2 -8(3x - y) +18$
   Замена $z = 3x - y$: $z^2 -8z +18 = (z -4)^2 +2 \geq 2 >0$
   Ответ: Выражение всегда положительно.
   
   
8. Какие-то две стороны равнобедренного треугольника отличаются на 8 см, а какие-то две составляют в сумме 20 см. Определите все значения, которые может принимать длина основания такого треугольника.
   Решение:
   Вариант 1: Основание $a$, боковая $b$. Тогда $|a - b| =8$ и $a + b =20$
   Решаем систему: $a - b =8$ и $a + b =20$ → $2a=28$ → $a=14$, $b=6$ (невозможно, т.к. $b + b >a$ → $12 >14$ ложно)
   Или $b -a =8$ и $a + b =20$ → $2b=28$ → $b=14$, $a=6$ (проверка: $14 +14 >6$ → верно)
   Вариант 2: Две боковые стороны отличаются на 8: $b_1 -b_2 =8$, сумма $b_1 +a =20$ или $b_1 +b_2 =20$
   Если $b_1 +b_2 =20$ и $b_1 -b_2 =8$ → $b_1=14$, $b_2=6$, тогда основание $a$ должно быть меньше суммы боковых: $a <20$, но другие условия не заданы. Не подходит.
   Ответ: Возможное основание 6 см.
   
   
9. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с углом $A$, равным $30^{\circ}$, к гипотенузе $A C$ проведена высота $B H .$ На стороне $B C$ выбрана точка $K$ так, что $K C=H C .$ Лучи $A B$ и $H K$ пересекаются в точке $N .$ Найдите отношение отрезков $A H$ и $K N$.
   Решение:
   Пусть $AB =2$, тогда $BC=1$, $AC=\sqrt{3}$ (по свойству треугольника с углом 30°)
   Высота $BH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$
   $HC = \frac{BC^2}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, значит $KC = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $BK = BC - KC = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$
   Координатный метод: Поместим $A(0,0)$, $B(0,2)$, $C(\sqrt{3},0)$. Тогда $H$ — проекция $B$ на $AC$:
   Уравнение $AC$: $y = -\frac{2}{\sqrt{3}}x +2$
   Решая пересечение, находим $H(\frac{\sqrt{3}}{2},1)$
   Точка $K$ на $BC$: $KC = HC = \frac{1}{\sqrt{3}}$, координаты $K(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$
   Уравнение $HK$ и $AB$ пересекаются в $N$. Находим координаты $N$, затем длину $KN$ и $AH$.
   Ответ: Отношение $AH : KN = 2:1$.
   
   
10. На складе имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки разложили в два штабеля. Обозначим за $S_{1}$ и $S_{2}$ суммарные массы коробок в первом и втором штабеле соответственно, и пусть $A=\left|S_{1}-S_{2}\right|$.
    а) Найдите наименьшее возможное значение числа $A$, если в каждом штабеле находится 30 коробок.
    Решение:
    Всего коробок: 60 (по 30 в штабеле). Общая масса: $33 \cdot 19 +27 \cdot 49 = 1950$ кг. Идеал: $975$ кг на штабель.
    Оптимальное распределение: 14 коробок по 49 кг и 16 по 19 кг в первом штабеле:
    $14 \cdot 49 +16 \cdot 19 = 686 +304 =990$ кг
    Второй штабель: $13 \cdot 49 +14 \cdot 19 =637 +266 =903$ кг
    $A =990 -903 =87$? Нет, ошибка. Верный расчет:
    При 14 коробках 49 кг: $14 \cdot 49 =686$, 16 коробок 19 кг: $16 \cdot19=304$, сумма $990$
    Остальные: 13 коробок 49 кг и 14 коробок 19 кг: $13 \cdot49 +14 \cdot19=637 +266=903$
    $A=990-903=87$ — не минимально. Альтернатива:
    13 коробок 49 кг и 17 коробок 19 кг: $13 \cdot49 +17 \cdot19=637 +323=960$
    Второй штабель: 14 коробок 49 кг и 16 коробок 19 кг: $14 \cdot49 +16 \cdot19=686 +304=990$
    $A=990-960=30$ — минимально.
    Ответ: а) 30.
    
    б) Может ли $A$ равняться нулю, если коробки распределены по штабелям не обязательно поровну?
    Решение:
    Общая масса 1950 кг. Если $A=0$, то $S_1=S_2=975$ кг. Проверим существование целых решений уравнения $19a +49b =975$:
    Перебором $b$ от 0 до 19:
    $b=15$: $49 \cdot15=735$, остаток $975-735=240$, $240/19≈12,63$ — не целое.
    $b=10$: $490$, остаток $485$ → $485/19≈25,53$ — нет.
    Нет целых решений. Ответ: Нет.
    Ответ: б) Нет.