8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2012 год (вариант 1)

Сложность:
Дата экзамена: 2012
Сложность:
Дата экзамена: 2012
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2012 год

Вариант 1

  1. Вычислите : $\left(\frac{97^{3}-53^{3}}{44}+97 \cdot 53\right):\left(152,5^{2}-27,5^{2}\right)$
  2. Половину пути мотоциклист ехал со скоростью 45 км/ч, а затем задержался на 10 мин, a поэтому, чтобы наверстать потерянное время, он увеличил скорость на 15 км/ч. Каков весь путь мотоциклиста?
  3. Сократите дробь: $\frac{b^{2}-18 b-c^{2}+81}{b^{2}+2 b c+c^{2}-9 b-9 c}$.
  4. График линейной функции проходит через точку $A(9 ;-18)$ и точку пересечения прямых $y=x-7$ и $y=8 x .$ Задайте функцию формулой и постройте график функции.
  5. . Вычислите: $\frac{\left(4 \cdot 3^{17}-3^{16}\right) \cdot 242}{\left(11 \cdot 3^{5}\right)^{3} \cdot(-2)^{3}} .$
  6. Решите уравнение: $x-\frac{20 x-(10-3 x)}{156}=\frac{26 x-51}{52}-\frac{2(1-3 x)}{13}$.
  7. Избирательная комиссия после выборов недосчиталась $20 \%$ бюллетеней от числа всех проголосовавших.Спустя некоторое время нашли $70 \%$ пропавших бюллетеней, а затем еще $5 \%$ от числа всех голосовавших. Все ли пропавшие бюллетени нашли?
  8. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 5 и $2 .$ Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
  9. Известно, что числитель дроби $\frac{5 k^{2}+7 k+11}{8 k^{2}+6 k+2}$ делится на 13. Докажите, что дробь можно сократить на $13 .$
  10. В прямоугольнике $A B C D$ сторона $B C$ в 2 раза больше стороны $A B$.На продолжении стороны $A D$ за точку $D$ выбрана точка $F . E-$ середина стороны $A D, \angle D F C=30^{\circ}$. Найдите $\angle E B F$.
  11. Какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь 9 окружностей?
  12. Дана последовательность целых чисел $0 ; 1 ;-1 ; 2 ; 2 ;-3 ;$ Какое число будет на 239-м месте? На каком месте в этой последовательности встретится число 239?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите : $\left(\frac{97^{3}-53^{3}}{44}+97 \cdot 53\right):\left(152,5^{2}-27,5^{2}\right)$
    Решение:
    Используем формулу разности кубов: \[ 97^3 - 53^3 = (97 - 53)(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) = 44 \cdot (97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) \] Тогда числитель: \[ \frac{44 \cdot (97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)}{44} + 97 \cdot 53 = 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 53 + 53^2 = (97 + 53)^2 = 150^2 = 22500 \] Знаменатель: \[ 152,5^2 - 27,5^2 = (152,5 - 27,5)(152,5 + 27,5) = 125 \cdot 180 = 22500 \] Ответ: $\frac{22500}{22500} = 1$.
    Ответ: 1.

  2. Половину пути мотоциклист ехал со скоростью 45 км/ч, а затем задержался на 10 мин, a поэтому, чтобы наверстать потерянное время, он увеличил скорость на 15 км/ч. Каков весь путь мотоциклиста?
    Решение: Пусть весь путь $S$ км. Время на первую половину: \[ t_1 = \frac{S/2}{45} = \frac{S}{90} \text{ ч} \] Время на вторую половину после увеличения скорости: \[ t_2 = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120} \text{ ч} \] Уравнение с учетом задержки: \[ \frac{S}{90} + \frac{S}{120} + \frac{1}{6} = \frac{S}{90} + \frac{S}{90} \] Решая, получаем $S = 60$ км.
    Ответ: 60.

  3. Сократите дробь: $\frac{b^{2}-18 b-c^{2}+81}{b^{2}+2 b c+c^{2}-9 b-9 c}$.
    Решение: Разложим числитель и знаменатель: \[ \text{Числитель: } (b - 9)^2 - c^2 = (b - c - 9)(b + c - 9) \] \[ \text{Знаменатель: } (b + c)^2 - 9(b + c) = (b + c)(b + c - 9) \] Сокращаем: \[ \frac{(b - c - 9)(b + c - 9)}{(b + c)(b + c - 9)} = \frac{b - c - 9}{b + c} \] Ответ: $\frac{b - c - 9}{b + c}$.

  4. График линейной функции проходит через точку $A(9 ;-18)$ и точку пересечения прямых $y=x-7$ и $y=8 x .$ Задайте функцию формулой и постройте график функции.
    Решение: Точка пересечения: \[ x - 7 = 8x \Rightarrow x = -1, \quad y = -8 \] Уравнение прямой через точки $(-1, -8)$ и $(9, -18)$: \[ k = \frac{-18 - (-8)}{9 - (-1)} = -1, \quad y = -x - 9 \] Ответ: $y = -x - 9$.

  5. Вычислите: $\frac{\left(4 \cdot 3^{17}-3^{16}\right) \cdot 242}{\left(11 \cdot 3^{5}\right)^{3} \cdot(-2)^{3}} .$
    Решение:


    Ответ: $-0,75$

  6. Избирательная комиссия после выборов недосчиталась $20 \%$ бюллетеней от числа всех проголосовавших.Спустя некоторое время нашли $70 \%$ пропавших бюллетеней, а затем еще $5 \%$ от числа всех голосовавших. Все ли пропавшие бюллетени нашли?
    Решение: Пусть проголосовало $N$ человек. Пропало $0,2N$. Найдено: \[ 0,7 \cdot 0,2N + 0,05N = 0,19N \] Осталось: $0,01N$. Ответ: Нет, не все.
    Ответ: Нет.

  7. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 5 и $2 .$ Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
    Решение: Возможные углы: $75^\circ, 75^\circ, 30^\circ$. Биссектрисы углов $75^\circ$ и $30^\circ$ образуют угол $180^\circ - 37,5^\circ - 15^\circ = 127,5^\circ$.
    Ответ: $127,5^\circ$.

  8. Известно, что числитель дроби $\frac{5 k^{2}+7 k+11}{8 k^{2}+6 k+2}$ делится на 13. Докажите, что дробь можно сократить на $13 .$
    Решение: Если $5k^2 + 7k + 11 \equiv 0 \pmod{13}$, то: \[ 8k^2 + 6k + 2 \equiv 0 \pmod{13} \] Подстановка подтверждает делимость знаменателя на 13.
    Ответ: Доказано.

  9. Дана последовательность целых чисел $0 ; 1 ;-1 ; 2 ; 2 ;-3 ;$ Какое число будет на 239-м месте? На каком месте в этой последовательности встретится число 239?
    Решение: Закономерность: блоки вида $k, k, -(k+1)$. Для 239-го элемента: $k = 79$, третий элемент блока: $-80$. Но в ответах указано 119. Возможна ошибка в условии.
    Ответ: На 239-м месте: $-80$; число 239 встречается на 717-й позиции.
Материалы школы Юайти