Лицей №239 из 7 в 8 класс 2011 год(вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2011 год

1. Решите уравнение $(3 x-1)^{2}-8(x+1)^{2}=(x+2)(x-2)$.
2. Сократите дробь: $\frac{x^{2}-7 x+12}{x^{3}-27}$.
3. Леша на 20 % умнее Вадика , а Костя на 10 % умнее Леши. На сколько процентов Костя умнее Вадика?
4. Скорость катера п. о течению реки равна 45,2 км/ч, а против- 36,2 км/ч.Найти скорость течения реки.
5. Вычислите: $\frac{3^{15}-3 \cdot 27^{4}}{3^{9} \cdot 6^{4}}$.
6. Постройте график функции $y=k x+b$, если он параллелен прямой $y=2 x$ и проходит через точку $A(2 ; 7) .$ Укажите три точки, принадлежащие данному графику.
7. Упростите выражение: $\frac{36-y^{2}}{y-8} \cdot\left(\frac{y}{y-6}-\frac{2 y}{y^{2}-12 y+36}\right)+\frac{12 y}{y-6}$.
8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4 см, а острый угол $-30^{\circ}$. Высота, проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка. Найдите длины этих отрезков.
9. Существуют ли такие значения $x$ и $y$ при которых многочлены $2 x^{2}+5 x y-8$ и $3 y^{2}-5 x y+10$ одновременно принимали бы отрицательные значения?
10. Известно , что $a^{2}+3 b^{2}=1$. Найдите $a^{4}+9 b^{4}-3 a^{2}+6 a^{2} b^{2}-9 b^{2}+1$.
11. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размером $239 \times 566 ?$

Решения задач

1. Решите уравнение $(3 x-1)^{2}-8(x+1)^{2}=(x+2)(x-2)$.
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $(9x^2 - 6x + 1) - 8(x^2 + 2x + 1) = x^2 - 4$
   $9x^2 - 6x + 1 - 8x^2 - 16x - 8 = x^2 - 4$
   $x^2 - 22x - 7 = x^2 - 4$
   $-22x - 7 = -4$
   $-22x = 3$
   $x = -\frac{3}{22}$
   Ответ: $-\frac{3}{22}$.
   
   
2. Сократите дробь: $\frac{x^{2}-7 x+12}{x^{3}-27}$.
   Решение:
   Разложим числитель и знаменатель на множители:
   Числитель: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$
   Знаменатель: $x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$
   Сократим общий множитель $(x - 3)$:
   $\frac{(x - 3)(x - 4)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = \frac{x - 4}{x^2 + 3x + 9}$
   Ответ: $\frac{x - 4}{x^2 + 3x + 9}$.
   
   
3. Леша на 20 % умнее Вадика, а Костя на 10 % умнее Леши. На сколько процентов Костя умнее Вадика?
   Решение:
   Пусть ум Вадика равен 100\%, тогда:
   Ум Леши: $100% \cdot 1,2 = 120\%$
   Ум Кости: $120% \cdot 1,1 = 132\%$
   Разница: $132\ 100% = 32\%$
   Ответ: на 32\%.
   
   
4. Скорость катера по течению реки равна 45,2 км/ч, а против течения — 36,2 км/ч. Найти скорость течения реки.
   Решение:
   Пусть $v$ — скорость катера, $u$ — скорость течения:
   $\begin{cases} v + u = 45,2 \\ v - u = 36,2 \end{cases}$
   Сложим уравнения: $2v = 81,4 \Rightarrow v = 40,7$ км/ч
   Скорость течения: $u = 45,2 - 40,7 = 4,5$ км/ч
   Ответ: 4,5 км/ч.
   
   
5. Вычислите: $\frac{3^{15}-3 \cdot 27^{4}}{3^{9} \cdot 6^{4}}$.
   Решение:
   Преобразуем степени:
   $27^4 = (3^3)^4 = 3^{12}$
   $6^4 = (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4$
   Числитель: $3^{15} - 3 \cdot 3^{12} = 3^{12}(3^3 - 3) = 3^{12} \cdot 24$
   Знаменатель: $3^9 \cdot 2^4 \cdot 3^4 = 3^{13} \cdot 16$
   Сократим: $\frac{3^{12} \cdot 24}{3^{13} \cdot 16} = \frac{24}{3 \cdot 16} = \frac{24}{48} = 0,5$
   Ответ: 0,5.
   
   
6. Постройте график функции $y=k x+b$, если он параллелен прямой $y=2 x$ и проходит через точку $A(2 ; 7)$. Укажите три точки, принадлежащие данному графику.
   Решение:
   Параллельность означает $k = 2$. Подставим точку $A(2;7)$:
   $7 = 2 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 3$
   Уравнение: $y = 2x + 3$
   Точки: $(0; 3)$, $(1; 5)$, $(2; 7)$
   Ответ: $y = 2x + 3$; точки: $(0; 3)$, $(1; 5)$, $(2; 7)$.
   
   
7. Упростите выражение: $\frac{36-y^{2}}{y-8} \cdot\left(\frac{y}{y-6}-\frac{2 y}{y^{2}-12 y+36}\right)+\frac{12 y}{y-6}$.
   Решение:
   Преобразуем множители:
   $\frac{36 - y^2}{y - 8} = -\frac{(y - 6)(y + 6)}{y - 8}$
   Внутри скобок: $\frac{y}{y - 6} - \frac{2y}{(y - 6)^2} = \frac{y(y - 6) - 2y}{(y - 6)^2} = \frac{y^2 - 8y}{(y - 6)^2}$
   Умножим множители:
   $-\frac{(y - 6)(y + 6)}{y - 8} \cdot \frac{y(y - 8)}{(y - 6)^2} = -\frac{y(y + 6)}{y - 6}$
   Добавим последний член:
   $-\frac{y(y + 6)}{y - 6} + \frac{12y}{y - 6} = \frac{-y^2 - 6y + 12y}{y - 6} = \frac{-y^2 + 6y}{y - 6} = -y$
   Ответ: $-y$.
   
   
8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4 см, а острый угол $-30^{\circ}$. Высота, проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка. Найдите длины этих отрезков.
   Решение:
   Катеты: $2$ см (против $30^\circ$) и $2\sqrt{3}$ см
   Высота: $h = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см
   Проекции катетов на гипотенузу:
   $a^2/c = \frac{2^2}{4} = 1$ см
   $b^2/c = \frac{(2\sqrt{3})^2}{4} = 3$ см
   Ответ: 1 см и 3 см.
   
   
9. Существуют ли такие значения $x$ и $y$ при которых многочлены $2 x^{2}+5 x y-8$ и $3 y^{2}-5 x y+10$ одновременно принимали бы отрицательные значения?
   Решение:
   Рассмотрим систему:
   $\begin{cases} 2x^2 + 5xy < 8 \\ 3y^2 - 5xy < -10 \end{cases}$
   Сложим неравенства:
   $2x^2 + 3y^2 < -2$ — невозможно, так как сумма квадратов неотрицательна
   Ответ: не существуют.
   
   
10. Известно, что $a^{2}+3 b^{2}=1$. Найдите $a^{4}+9 b^{4}-3 a^{2}+6 a^{2} b^{2}-9 b^{2}+1$.
    Решение:
    Преобразуем выражение:
    $(a^4 + 9b^4 + 6a^2b^2) - 3(a^2 + 3b^2) + 1 = (a^2 + 3b^2)^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$
    Ответ: $-1$.
    
    
11. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размером $239 \times 566$?
    Решение:
    Формула: $m + n - \text{НОД}(m, n)$
    $\text{НОД}(239, 566) = 1$ (239 — простое число)
    Количество клеток: $239 + 566 - 1 = 804$
    Ответ: 804.