Лицей №239 из 7 в 8 класс 2010 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2010 год

1. Вычислите: $\left(7,42 \cdot \frac{5}{9}-(-11,48): 1 \frac{4}{5}\right): 035$.
2. Банковский вклад в мае увеличился на $10 \%$, а в июне уменьшился на $10 \%$, после чего на счете оказалось 10890 рублей. Найдите сумму вклада на конец апреля.
3. Найдите все $x$ и $y$,удовлетворяющие условию $4 x^{2}+y^{2}-4 x+4 y+5=0$
4. Известно, что $x+y=-1$. Найдите $x^{3}+y^{3}-3 x y$.
5. Турист, находящийся в спортивном лагере, должен успеть на железнодорожную станцию. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15 км/ч, то опоздает на 30 мин, а если на мопеде со скоростью 40 км/ч, то приедет за 2 ч до отхода поезда. Чему равно расстояние от лагеря до станции?
6. Упростите выражение $\left(\frac{n+2}{n^{2}-n-6}-\frac{n}{n^{2}-6 n+9}\right) \cdot(2 n-6)^{2} .$
7. Дана функция $y=-1,5 x+4$. А) Запишите уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку $D(7 ;-2,5)$. Постройте найденную прямую. Б) Напишите уравнения каких-либо двух прямых, не совпадающих с осями координат, которые вместе с данной прямой ограничивают на координатной плоскости прямоугольный треугольник.
8. Упростить выражение: $\frac{8 \cdot 100^{n}}{2^{2 n+2} \cdot 5^{2 n-2}}$
9. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с гипотенузой $A C$ угол $A$ равен $60^{\circ}, B C=6 \mathrm{~cm} . A L-$ биссектриса треугольника $A B C$. Найдите высоту $L H$ треугольника $A L C$.
10. Может ли одна из биссектрис треугольника делить другую биссектрису пополам?

Решения задач

1. Вычислите: $\left(7,42 \cdot \frac{5}{9}-(-11,48): 1 \frac{4}{5}\right): 0,35$.
   Решение:
   $1 \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$; $-(-11,48) = 11,48$
   $7,42 \cdot \frac{5}{9} = \frac{37,1}{9} \approx 4,122$
   $11,48 : \frac{9}{5} = 11,48 \cdot \frac{5}{9} = \frac{57,4}{9} \approx 6,378$
   $4,122 - (-6,378) = 4,122 + 6,378 = 10,5$
   $10,5 : 0,35 = 30$
   Ответ: 30.
   
   
2. Банковский вклад в мае увеличился на $10 \%$, а в июне уменьшился на $10 \%$, после чего на счете оказалось 10890 рублей. Найдите сумму вклада на конец апреля.
   Решение:
   Пусть $x$ — сумма на конец апреля. После мая: $1,1x$. После июня: $0,9 \cdot 1,1x = 0,99x$.
   $0,99x = 10890 \Rightarrow x = \frac{10890}{0,99} = 11000$ (руб.)
   Ответ: 11000 рублей.
   
   
3. Найдите все $x$ и $y$, удовлетворяющие условию $4 x^{2}+y^{2}-4 x+4 y+5=0$.
   Решение:
   Выделим полные квадраты:
   $4x^2 -4x + y^2 +4y +5 = 0$
   $4(x^2 -x + 0,25) -1 + (y^2 +4y +4) -4 +5 = 0$
   $4(x - 0,5)^2 + (y +2)^2 = 0$
   Сумма квадратов равна нулю только при:
   $x - 0,5 = 0 \Rightarrow x = 0,5$
   $y +2 = 0 \Rightarrow y = -2$
   Ответ: $x = 0,5$, $y = -2$.
   
   
4. Известно, что $x+y=-1$. Найдите $x^{3}+y^{3}-3 x y$.
   Решение:
   Используем формулу суммы кубов:
   $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 -xy + y^2) = (-1)(x^2 -xy + y^2)$
   Выразим $x^2 + y^2$ через $(x + y)^2$:
   $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 1 - 2xy$
   Тогда:
   $x^3 + y^3 -3xy = (-1)(1 - 3xy) -3xy = -1 +3xy -3xy = -1$
   Ответ: $-1$.
   
   
5. Турист, находящийся в спортивном лагере, должен успеть на железнодорожную станцию. Если он поедет на велосипеде со скоростью 15 км/ч, то опоздает на 30 мин, а если на мопеде со скоростью 40 км/ч, то приедет за 2 ч до отхода поезда. Чему равно расстояние от лагеря до станции?
   Решение:
   Пусть $S$ — расстояние, $t$ — время до отправления поезда.
   $\frac{S}{15} = t + 0,5$ (1)
   $\frac{S}{40} = t - 2$ (2)
   Вычтем (2) из (1):
   $\frac{S}{15} - \frac{S}{40} = 2,5$
   $\frac{8S - 3S}{120} = 2,5 \Rightarrow \frac{5S}{120} = 2,5 \Rightarrow S = 60$ (км)
   Ответ: 60 км.
   
   
6. Упростите выражение $\left(\frac{n+2}{n^{2}-n-6}-\frac{n}{n^{2}-6 n+9}\right) \cdot(2 n-6)^{2}$.
   Решение:
   Разложим знаменатели:
   $n^2 -n -6 = (n-3)(n+2)$; $n^2 -6n +9 = (n-3)^2$
   $\left(\frac{n+2}{(n-3)(n+2)} - \frac{n}{(n-3)^2}\right) \cdot 4(n-3)^2 = \left(\frac{1}{n-3} - \frac{n}{(n-3)^2}\right) \cdot 4(n-3)^2$
   $\frac{n-3 -n}{(n-3)^2} \cdot 4(n-3)^2 = (-3) \cdot 4 = -12$
   Ответ: $-12$.
   
   
7. Дана функция $y=-1,5 x+4$.
   А) Запишите уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку $D(7 ;-2,5)$. Постройте найденную прямую.
   Решение:
   Угловой коэффициент параллельной прямой: $k = -1,5$.
   Уравнение: $y = -1,5x + b$. Подставим $D(7; -2,5)$:
   $-2,5 = -1,5 \cdot 7 + b \Rightarrow b = 10$
   Ответ: $y = -1,5x + 10$.
   Б) Напишите уравнения каких-либо двух прямых, не совпадающих с осями координат, которые вместе с данной прямой ограничивают на координатной плоскости прямоугольный треугольник.
   Решение:
   Примеры:
   1. Вертикальная прямая: $x = 0$ (ось Y)
   2. Горизонтальная прямая: $y = 4$ (константа)
   Или:
   1. $y = \frac{2}{3}x$ (перпендикулярна исходной)
   2. $y = 0$ (ось X)
   Ответ: Например, $x=0$ и $y=4$.
   
   
8. Упростить выражение: $\frac{8 \cdot 100^{n}}{2^{2 n+2} \cdot 5^{2 n-2}}$.
   Решение:
   $100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}$
   $\frac{8 \cdot 2^{2n} \cdot 5^{2n}}{2^{2n+2} \cdot 5^{2n-2}} = \frac{8 \cdot 5^{2}}{2^{2}} = \frac{8 \cdot 25}{4} = 50$
   Ответ: 50.
   
   
9. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с гипотенузой $AC$ угол $A$ равен $60^{\circ}$, $BC=6$ см. $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите высоту $LH$ треугольника $ALC$.
   Решение:
   В треугольнике $ABC$: $\angle B = 30^\circ$, $AB = \frac{BC}{\tan 60^\circ} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см, $AC = 2AB = 4\sqrt{3}$ см.
   Длина биссектрисы $AL$:
   $AL = \frac{2AB \cdot AC \cos 30^\circ}{AB + AC} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}} = \frac{24 \sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = 4$ см.
   Высота $LH$ в треугольнике $ALC$:
   $S_{ALC} = \frac{1}{2} \cdot AL \cdot LC \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$
   $LH = \frac{2S_{ALC}}{AC} = \frac{4\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = 1$ см.
   Ответ: 1 см.
   
   
10. Может ли одна из биссектрис треугольника делить другую биссектрису пополам?
    Решение:
    В общем случае — нет. Однако в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота совпадают. Если рассмотреть треугольник с углами 120°, 30°, 30°, то биссектриса угла 120° может делить биссектрису угла 30° пополам.
    Ответ: Да, может.