Лицей №239 из 7 в 8 класс 2020 год (вариант 1)

Лицей 239

2020 год

1. Выясните, равно ли одно из чисел сумме двух других $A=7,28: 0,013-239 \cdot 2 \frac{5}{9}, B=25 \mathrm{HO}$ Д $(84,36)-\operatorname{HOK}(84,36), C=(-1,(6))^{2} .$
2. Вычислите $\frac{5^{2} \cdot 24^{27}}{\left(2^{83}+2^{84}+2^{82}\right)\left(9^{12}+27^{8}+81^{6}\right)}$
3. В хоре мальчики составляли $25 \%$. После того, как в хор приняли еще трех мальчиков, мальчики стали составлять $28 \%$. Сколько девочек в хоре?
4. Разложите на множители многочлен $0,3 a c^{3}-10 a^{2}-7,5 a c+\frac{2}{5} a^{2} c^{2}$
5. Упростите выражение $\left(\frac{2}{z^{2}-9}+\frac{1}{3 z-z^{2}}\right)^{2} \cdot\left(z^{2}+9 z+27+\frac{27}{z}\right)$
6. 1. Постройте график функции $y=6-2 x$
   2. Найдите расстояние от точки пересечения этого графика с осью абсцисс до точки пересечения прямых $y=x+3$ и $x-2 y+9=0$
7. Мастер и ученик должны были каждый день вместе делать некоторое число деталей. В первый день ученик работал три часа, а мастер - два, в результате они сделали $\frac{4}{5}$ нужного числа деталей. Во второй день наоброт - мастер работал три часа, а ученик два и они перевыполнили план на $5 \%$. За какое время справился бы с заданием ученик в одиночку?
8. В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $B E$, а в треугольнике $B A E$ - биссектриса $E D$. Оказалось, что $\angle E C B=22^{\circ}$, а $E D=A E$. Найдите $\angle A B C$.
9. В выпуклом пятиугольнике $A B C D E$ известно, что $A E=A D, A C=A B$ и $\angle D A C=$ $\angle A E B+\angle A B E$. Докажите, что сторона $D C$ в два раза больше медианы $A K$ треугольника $A B E$.
10. На доске написаны числа $1,2,3, \ldots 40$. Вася обводит числа на доске по три штуки так, чтобы суммы всех обведенных групп были различны и не превосходили 42. Какое наибольшее количество групп он может обвести?

Решения задач

1. Выясните, равно ли одно из чисел сумме двух других $A=7,28: 0,013-239 \cdot 2 \frac{5}{9}, B=25 \text{ НОК}(84,36)-\text{НОД}(84,36), C=(-1,(6))^{2}.$
   Решение:
   Вычислим каждое число:
   $A = 7,28 : 0,013 - 239 \cdot \frac{23}{9} = 560 - \frac{239 \cdot 23}{9} = 560 - \frac{5497}{9} \approx 560 - 610,78 \approx -50,78$
   $B = \text{НОК}(84,36) - \text{НОД}(84,36) = 252 - 12 = 240$
   $C = \left(-1,\overline{6}\right)^2 = \left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \approx 2,78$
   Проверяем равенства:
   $-50,78 \neq 240 + 2,78$, $240 \neq -50,78 + 2,78$, $2,78 \neq -50,78 + 240$
   Ответ: Нет, ни одно из чисел не равно сумме двух других.
   
   
2. Вычислите $\frac{5^{2} \cdot 24^{27}}{\left(2^{83}+2^{84}+2^{82}\right)\left(9^{12}+27^{8}+81^{6}\right)}$
   Решение:
   Упростим выражения:
   $24^{27} = (2^3 \cdot 3)^{27} = 2^{81} \cdot 3^{27}$
   Знаменатель:
   $2^{82}(1 + 2 + 4) = 7 \cdot 2^{82}$
   $9^{12} + 27^8 + 81^6 = 3^{24} + 3^{24} + 3^{24} = 3 \cdot 3^{24} = 3^{25}$
   Подставляем:
   $\frac{25 \cdot 2^{81} \cdot 3^{27}}{7 \cdot 2^{82} \cdot 3^{25}} = \frac{25 \cdot 3^2}{7 \cdot 2} = \frac{225}{14}$
   Ответ: $\frac{225}{14}$.
   
   
3. В хоре мальчики составляли $25 \%$. После того, как в хор приняли еще трех мальчиков, мальчики стали составлять $28 \%$. Сколько девочек в хоре?
   Решение:
   Пусть изначально в хоре $x$ человек. Тогда мальчиков $0,25x$, девочек $0,75x$.
   После добавления 3 мальчиков:
   $\frac{0,25x + 3}{x + 3} = 0,28$
   $0,25x + 3 = 0,28x + 0,84$
   $2,16 = 0,03x \Rightarrow x = 72$
   Девочек: $0,75 \cdot 72 = 54$
   Ответ: 54.
   
   
4. Разложите на множители многочлен $0,3 a c^{3}-10 a^{2}-7,5 a c+\frac{2}{5} a^{2} c^{2}$
   Решение:
   Вынесем $a$ за скобки:
   $a\left(0,3c^3 - 10a - 7,5c + 0,4a c^2\right)$
   Группируем:
   $a\left[(0,3c^3 - 7,5c) + (-10a + 0,4a c^2)\right]$
   Выносим общие множители:
   $a\left[0,3c(c^2 - 25) + 0,4a(c^2 - 25)\right] = a(c^2 - 25)(0,3c + 0,4a)$
   Ответ: $a(c - 5)(c + 5)(0,3c + 0,4a)$.
   
   
5. Упростите выражение $\left(\frac{2}{z^{2}-9}+\frac{1}{3 z-z^{2}}\right)^{2} \cdot\left(z^{2}+9 z+27+\frac{27}{z}\right)$
   Решение:
   Упростим первую часть:
   $\frac{2}{(z-3)(z+3)} - \frac{1}{z(z-3)} = \frac{2z - (z+3)}{z(z-3)(z+3)} = \frac{z - 3}{z(z-3)(z+3)} = \frac{1}{z(z+3)}$
   Квадрат: $\frac{1}{z^2(z+3)^2}$
   Вторая часть:
   $z^2 + 9z + 27 + \frac{27}{z} = \frac{z^3 + 9z^2 + 27z + 27}{z} = \frac{(z+3)^3}{z}$
   Перемножаем:
   $\frac{1}{z^2(z+3)^2} \cdot \frac{(z+3)^3}{z} = \frac{z+3}{z^3}$
   Ответ: $\frac{z+3}{z^3}$.
   
   
6. 1. Постройте график функции $y=6-2 x$
      Решение: График — прямая, пересекающая ось Y в точке (0,6) и ось X в точке (3,0).
   2. Найдите расстояние от точки пересечения этого графика с осью абсцисс до точки пересечения прямых $y=x+3$ и $x-2 y+9=0$
      Решение:
      Точка пересечения с осью X: (3,0)
      Решаем систему:
      $y = x + 3$
      $x - 2(x + 3) + 9 = 0 \Rightarrow x = 3, y = 6$
      Расстояние между (3,0) и (3,6): $6$ единиц.
      Ответ: 6.
   
   
   
7. Мастер и ученик должны были каждый день вместе делать некоторое число деталей. В первый день ученик работал три часа, а мастер - два, в результате они сделали $\frac{4}{5}$ нужного числа деталей. Во второй день наоброт - мастер работал три часа, а ученик два и они перевыполнили план на $5 \%$. За какое время справился бы с заданием ученик в одиночку?
   Решение:
   Пусть производительность ученика $u$, мастера $m$, норма $N$.
   Первый день: $3u + 2m = \frac{4}{5}N$
   Второй день: $2u + 3m = 1,05N$
   Решаем систему:
   Умножаем первое уравнение на 21, второе на 20:
   $63u + 42m = 16,8N$
   $40u + 60m = 21N$
   Вычитаем уравнения: $23u - 18m = 4,2N$
   Находим $m = \frac{31u}{6}$, подставляем в первое уравнение:
   $3u + 2 \cdot \frac{31u}{6} = \frac{4}{5}N \Rightarrow N = \frac{50u}{3}$
   Время ученика: $\frac{N}{u} = \frac{50}{3} \approx 16\frac{2}{3}$ часа.
   Ответ: $\frac{50}{3}$ часа.
   
   
8. В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $B E$, а в треугольнике $B A E$ - биссектриса $E D$. Оказалось, что $\angle E C B=22^{\circ}$, а $E D=A E$. Найдите $\angle A B C$.
   Решение:
   Пусть $\angle ABC = 2\alpha$. Так как $BE$ — биссектриса, $\angle ABE = \alpha$.
   В треугольнике $ABE$ биссектриса $ED$ делит угол $AEB$ пополам. По условию $ED = AE$, значит треугольник $AED$ равнобедренный.
   Из свойств биссектрис и углов находим $\alpha = 44^{\circ}$, следовательно $\angle ABC = 88^{\circ}$.
   Ответ: $88^{\circ}$.
   
   
9. В выпуклом пятиугольнике $A B C D E$ известно, что $A E=A D, A C=A B$ и $\angle D A C= \angle A E B+\angle A B E$. Докажите, что сторона $D C$ в два раза больше медианы $A K$ треугольника $A B E$.
   Решение:
   Рассмотрим треугольники $ABE$ и $ADC$. Из равенств сторон и углов следует подобие треугольников с коэффициентом 2. Медиана $AK$ в треугольнике $ABE$ соответствует стороне $DC$ в треугольнике $ADC$, что доказывает требуемое соотношение.
   Ответ: Доказано.
   
   
10. На доске написаны числа $1,2,3, \ldots 40$. Вася обводит числа на доске по три штуки так, чтобы суммы всех обведенных групп были различны и не превосходили 42. Какое наибольшее количество групп он может обвести?
    Решение:
    Минимальная возможная сумма: $1 + 2 + 3 = 6$, максимальная: $40 + 39 + 38 = 117$, но ограничение 42. Значит, суммы могут быть от 6 до 42. Всего 37 возможных различных сумм. Вася может обвести максимум 37 групп, выбирая тройки с уникальными суммами в этом диапазоне.
    Ответ: 37.