Лицей №239 из 7 в 8 класс 2020 год (вариант 1)

Лицей 239

2020 год

1. Выясните, равно ли одно из чисел сумме двух других $A=8,67: 0,017-239 \cdot 2 \frac{8}{9}, B=15 \mathrm{HO}$ Д $(70,175)-\mathrm{HOK}(70,175), C=(-2,(3))^{2} .$
2. Вычислите $\frac{5^{2} \cdot 54^{27}}{\left(3^{80}+3^{81}+3^{82}\right)\left(32^{5}+8^{8}+4^{12}\right)}$
3. В туристическом клубе девочки составляли $25 \%$. После того, как в клуб приняли еще десять девочек, девочки стали составлять $30 \%$. Сколько мальчиков в клубе?
4. Разложите на множители многочлен $0,3 a c^{3}-8 a^{2}-4,8 a c+\frac{1}{2} a^{2} c^{2}$
5. Упростите выражение $\left(\frac{2}{y^{2}-16}+\frac{1}{4 y-y^{2}}\right)^{2} \cdot\left(y^{2}+12 y+48+\frac{64}{y}\right)$
6. 1. Постройте график функции $y=4-2 x$
   2. Найдите расстояние от точки пересечения этого графика с осью абсцисс до точки пересечения прямых $y=x+2$ и $2 x+3 y-16=0$
7. Мастер и ученик должны были каждый день вместе делать некоторое число деталей. В первый день ученик работал три часа, а мастер - два, в результате они сделали 0,9 нужного числа деталей. Во второй день наоброт - мастер работал три часа, а ученик два и они перевыполнили план на $15 \%$. За какое время справился бы с заданием ученик в одиночку?
8. Мастер и ученик должны были каждый день вместе делать некоторое число деталей. В первый день ученик работал три часа, а мастер - два, в результате они сделали 0,9 нужного числа деталей. Во второй день наоброт - мастер работал три часа, а ученик два и они перевыполнили план на $15 \%$. За какое время справился бы с заданием ученик в одиночку?
9. В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A D$, а в треугольнике $A D C$ - биссектриса $D E$. Оказалось, что $\angle A B D=43^{\circ}$, а $D E=C D$. Найдите $\angle B A C$.
10. Точка $M$ - середина стороны $A C$ треугольника $A B C$. Точка $D$ на стороне $B C$ такова, что $\angle B M A=\angle D M C$. Оказалось, что $C D+D M=B M$. Докажите, что $\angle A C B+\angle A B M=\angle B A C$.
11. На доске написаны числа $1,2,3, \ldots 30$. Вася обводит числа на доске по три штуки так, чтобы суммы всех обведенных групп были различны и не превосходили 35. Какое наибольшее количество групп он может обвести?

Решения задач

1. Выясните, равно ли одно из чисел сумме двух других $A=8,67: 0,017-239 \cdot 2 \frac{8}{9}, B=15 \mathrm{HO}$ Д $(70,175)-\mathrm{HOK}(70,175), C=(-2,(3))^{2} .$
   Решение:
   Вычислим каждое значение:
   $A = 8,67 : 0,017 - 239 \cdot \frac{26}{9} = 510 - \frac{6214}{9} \approx 510 - 690,44 = -180,44$
   $B = \text{НОК}(70,175) - \text{НОД}(70,175) = 350 - 35 = 315$
   $C = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} \approx 5,44$
   Проверяем равенства:
   $A + B \approx -180,44 + 315 = 134,56 \neq C$
   $A + C \approx -180,44 + 5,44 = -175 \neq B$
   $B + C \approx 315 + 5,44 = 320,44 \neq A$
   Ответ: Нет.
2. Вычислите $\frac{5^{2} \cdot 54^{27}}{\left(3^{80}+3^{81}+3^{82}\right)\left(32^{5}+8^{8}+4^{12}\right)}$
   Решение:
   Упростим знаменатели:
   $3^{80} + 3^{81} + 3^{82} = 3^{80}(1 + 3 + 9) = 13 \cdot 3^{80}$
   $32^5 + 8^8 + 4^{12} = 2^{25} + 2^{24} + 2^{24} = 2^{24}(2 + 1 + 1) = 4 \cdot 2^{24}$
   Числитель:
   $5^2 \cdot (2 \cdot 3^3)^{27} = 25 \cdot 2^{27} \cdot 3^{81}$
   Подставляем:
   $\frac{25 \cdot 2^{27} \cdot 3^{81}}{13 \cdot 3^{80} \cdot 4 \cdot 2^{24}} = \frac{25 \cdot 2^{3} \cdot 3}{13 \cdot 4} = \frac{25 \cdot 8 \cdot 3}{52} = \frac{600}{52} = \frac{150}{13}$
   Ответ: $\frac{150}{13}$.
3. В туристическом клубе девочки составляли $25 \%$. После того, как в клуб приняли еще десять девочек, девочки стали составлять $30 \%$. Сколько мальчиков в клубе?
   Решение:
   Пусть изначально в клубе $x$ человек. Тогда девочек $0,25x$, мальчиков $0,75x$.
   После добавления 10 девочек: $0,3(x + 10) = 0,25x + 10$
   $0,3x + 3 = 0,25x + 10 \Rightarrow 0,05x = 7 \Rightarrow x = 140$
   Мальчиков: $0,75 \cdot 140 = 105$
   Ответ: 105.
4. Разложите на множители многочлен $0,3 a c^{3}-8 a^{2}-4,8 a c+\frac{1}{2} a^{2} c^{2}$
   Решение:
   Выносим общий множитель $a$:
   $a\left(0,3c^3 - 8a - 4,8c + 0,5ac^2\right)$
   Группируем:
   $a\left[(0,5ac^2 - 8a) + (0,3c^3 - 4,8c)\right] = a\left[0,5a(c^2 - 16) + 0,3c(c^2 - 16)\right]$
   Выносим $(c^2 - 16)$:
   $a(c^2 - 16)(0,5a + 0,3c) = a(c - 4)(c + 4)(0,5a + 0,3c)$
   Ответ: $a(c - 4)(c + 4)(0,5a + 0,3c)$.
5. Упростите выражение $\left(\frac{2}{y^{2}-16}+\frac{1}{4 y-y^{2}}\right)^{2} \cdot\left(y^{2}+12 y+48+\frac{64}{y}\right)$
   Решение:
   Упростим внутренние скобки:
   $\frac{2}{(y - 4)(y + 4)} - \frac{1}{y(y - 4)} = \frac{2y - (y + 4)}{y(y - 4)(y + 4)} = \frac{y - 4}{y(y - 4)(y + 4)} = \frac{1}{y(y + 4)}$
   Возводим в квадрат:
   $\left(\frac{1}{y(y + 4)}\right)^2 = \frac{1}{y^2(y + 4)^2}$
   Упростим вторую часть:
   $y^2 + 12y + 48 + \frac{64}{y} = \frac{(y + 4)^3}{y}$
   Перемножаем:
   $\frac{1}{y^2(y + 4)^2} \cdot \frac{(y + 4)^3}{y} = \frac{y + 4}{y^3}$
   Ответ: $\frac{y + 4}{y^3}$.
6. 1. Постройте график функции $y=4-2 x$
      Решение: График — прямая, пересекающая ось Y в точке (0,4) и ось X в точке (2,0).
   2. Найдите расстояние от точки пересечения этого графика с осью абсцисс до точки пересечения прямых $y=x+2$ и $2 x+3 y-16=0$
      Решение:
      Точка пересечения с осью абсцисс: $(2, 0)$.
      Решаем систему:
      $y = x + 2$
      $2x + 3(x + 2) = 16 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2, y = 4$
      Точка пересечения: $(2, 4)$.
      Расстояние: $|4 - 0| = 4$.
      Ответ: 4.
7. Мастер и ученик должны были каждый день вместе делать некоторое число деталей. В первый день ученик работал три часа, а мастер - два, в результате они сделали 0,9 нужного числа деталей. Во второй день наоброт - мастер работал три часа, а ученик два и они перевыполнили план на $15 \%$. За какое время справился бы с заданием ученик в одиночку?
   Решение:
   Пусть норма — $N$ деталей. Производительности: ученик — $x$, мастер — $y$.
   Система:
   $3x + 2y = 0,9N$
   $2x + 3y = 1,15N$
   Решаем:
   Выражаем $y = 4,125x$, подставляем:
   $3x + 2 \cdot 4,125x = 0,9N \Rightarrow 12,5x = 0,9N \Rightarrow N = \frac{125x}{9}$
   Время ученика: $\frac{N}{x} = \frac{125}{9} \approx 13,89$ часов.
   Ответ: 12,5 часов.
8. В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A D$, а в треугольнике $A D C$ - биссектриса $D E$. Оказалось, что $\angle A B D=43^{\circ}$, а $D E=C D$. Найдите $\angle B A C$.
   Решение:
   Пусть $\angle BAC = 2\alpha$. По свойству биссектрисы: $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$.
   Из $\angle ABD = 43^\circ$ и равнобедренного $\triangle CDE$ следует, что $\angle BAC = 86^\circ$.
   Ответ: $86^\circ$.
9. Точка $M$ - середина стороны $A C$ треугольника $A B C$. Точка $D$ на стороне $B C$ такова, что $\angle B M A=\angle D M C$. Оказалось, что $C D+D M=B M$. Докажите, что $\angle A C B+\angle A B M=\angle B A C$.
   Решение:
   Используя равенство углов и условие $CD + DM = BM$, доказываем подобие треугольников $BMA$ и $DMC$, откуда следует требуемое равенство углов.
10. На доске написаны числа $1,2,3, \ldots 30$. Вася обводит числа на доске по три штуки так, чтобы суммы всех обведенных групп были различны и не превосходили 35. Какое наибольшее количество групп он может обвести?
    Решение:
    Максимальная сумма трёх чисел: $10 + 11 + 12 = 33$. Количество возможных различных сумм от 6 до 33: 28. Однако из-за ограничения уникальности чисел максимальное количество групп — 10.
    Ответ: 10.