Лицей №239 из 7 в 8 класс 2019 год (вариант 1)

Лицей 239

2019 год

1. Вычислите : $\frac{1,7 \cdot 9,6+3,5 \cdot 1,7-1,7 \cdot 3,1}{12 \frac{3}{4}:\left(1 \frac{8}{15}+0,25-3 \frac{1}{30}-1 \frac{3}{4}\right)}$. Попробуйте сделать
2. Сколько воды нужно добавить к 750 г $15 \%$ раствора сахара, чтобы процентное содержание сахара стало $5 \%$ ?
3. Вычислите:
   1. $\frac{135^{2}-135 \cdot 150+75^{2}}{135^{2}-15^{2}+45^{2}-105^{2}}$;
   2. $\frac{4^{10}-4^{9}-4^{7}}{2^{20}+2^{17}+11 \cdot 2^{15}}$.
4. Упростите: $\left(\frac{1}{2-4 b}+\frac{b+1}{8 b^{3}-1} \cdot \frac{4 b^{2}+2 b+1}{1+2 b}\right): \frac{1}{4 b-2}$.
5. Решите уравнение: $2 x^{2}+4 y^{2}-4 x y-6 x+9=0$
6. Напишите уравнение прямой, параллельной прямой $y=-\frac{1}{2} x+11$ и проходящей через точку пересечения прямых, заданных уравнениями $y=2 x-5$ и $y=-x+4$. Постройте график найденной функции.
7. На стороне $A B$ квадрата $A B C D$ построен равносторонний треугольник $M A B$, причем точка $M$ лежит вне квадрата. Найдите углы треугольника $D M C$.
8. Острый угол прямоугольного треугольника равен $30^{\circ}$, гипотенуза равна 8 . Найдите отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого угла.
9. Агата добиралась от дома до института на своем автомобиле с постоянной скоростью 100 км/ч. Обратно она ехала с постоянной скоростью, которая измерялась целым числом километров в час, причем путь до дома занял у нее больше времени, чем путь до института.
   1. Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки составить 90 км/ч?
   2. Могла ли ее средняя скорость за эти две поездки оказаться равной целому числу километров в час?
10. В школе была проведена контрольная по математике для всех восьмиклассников. Треть всех участников и еще 20 учеников получили двойки; четверть участников и еще 30 учеников получили тройки, а некоторые даже получили четверки. Кого оказалось больше: получивших двойку или получивших тройку?

Решения задач

1. Вычислите : $\frac{1,7 \cdot 9,6+3,5 \cdot 1,7-1,7 \cdot 3,1}{12 \frac{3}{4}:\left(1 \frac{8}{15}+0,25-3 \frac{1}{30}-1 \frac{3}{4}\right)}$.
   Решение:
   Числитель: $1,7(9,6 + 3,5 - 3,1) = 1,7 \cdot 10 = 17$.
   Знаменатель: преобразуем смешанные числа:
   $12\frac{3}{4} = \frac{51}{4}$; $1\frac{8}{15} = \frac{23}{15}$; $3\frac{1}{30} = \frac{91}{30}$; $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.
   Вычислим выражение в скобках:
   $\frac{23}{15} + 0,25 - \frac{91}{30} - \frac{7}{4} = \frac{23}{15} + \frac{1}{4} - \frac{91}{30} - \frac{7}{4} = \left(\frac{23}{15} - \frac{91}{30}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{7}{4}\right) = \left(-\frac{45}{30}\right) + \left(-\frac{6}{4}\right) = -1,5 - 1,5 = -3$.
   Тогда знаменатель: $\frac{51}{4} : (-3) = -\frac{51}{12} = -4,25$.
   Итог: $\frac{17}{-4,25} = -4$.
   Ответ: $-4$.
   
   
2. Сколько воды нужно добавить к 750 г $15 \%$ раствора сахара, чтобы процентное содержание сахара стало $5 \%$?
   Решение:
   Масса сахара: $750 \cdot 0,15 = 112,5$ г.
   Пусть добавили $x$ г воды. Новая масса раствора: $750 + x$ г.
   Уравнение: $112,5 = 0,05(750 + x)$
   $112,5 = 37,5 + 0,05x \Rightarrow 0,05x = 75 \Rightarrow x = 1500$ г.
   Ответ: 1500 г.
   
   
3. Вычислите:
   1. $\frac{135^{2}-135 \cdot 150+75^{2}}{135^{2}-15^{2}+45^{2}-105^{2}}$
      Решение:
      Числитель: $(135 - 75)^2 = 60^2 = 3600$.
      Знаменатель: $(135^2 - 105^2) + (45^2 - 15^2) = (135 - 105)(135 + 105) + (45 - 15)(45 + 15) = 30 \cdot 240 + 30 \cdot 60 = 30(240 + 60) = 30 \cdot 300 = 9000$.
      Результат: $\frac{3600}{9000} = 0,4$.
      Ответ: 0,4.
      
      
   2. $\frac{4^{10}-4^{9}-4^{7}}{2^{20}+2^{17}+11 \cdot 2^{15}}$
      Решение:
      Преобразуем степени:
      Числитель: $4^{7}(4^3 - 4^2 - 1) = 2^{14}(64 - 16 - 1) = 2^{14} \cdot 47$.
      Знаменатель: $2^{15}(2^5 + 2^2 + 11) = 2^{15}(32 + 4 + 11) = 2^{15} \cdot 47$.
      Сокращаем: $\frac{2^{14} \cdot 47}{2^{15} \cdot 47} = \frac{1}{2}$.
      Ответ: 0,5.
   
   
   
4. Упростите: $\left(\frac{1}{2-4 b}+\frac{b+1}{8 b^{3}-1} \cdot \frac{4 b^{2}+2 b+1}{1+2 b}\right): \frac{1}{4 b-2}$.
   Решение:
   Разложим знаменатели:
   $8b^3 - 1 = (2b - 1)(4b^2 + 2b + 1)$; $1 + 2b = 2b + 1$.
   Упростим вторую дробь:
   $\frac{b+1}{(2b-1)(4b^2 + 2b + 1)} \cdot \frac{4b^2 + 2b + 1}{2b + 1} = \frac{b+1}{(2b - 1)(2b + 1)}$.
   Общее выражение:
   $\left(\frac{1}{2(1 - 2b)} + \frac{b+1}{(2b - 1)(2b + 1)}\right) \cdot (4b - 2)$.
   Приведем к общему знаменателю:
   $\frac{-(2b + 1) + 2(b + 1)}{2(2b - 1)(2b + 1)} \cdot 2(2b - 1) = \frac{1}{2(2b + 1)} \cdot 2(2b - 1) = \frac{2b - 1}{2b + 1}$.
   Ответ: $\frac{2b - 1}{2b + 1}$.
   
   
5. Решите уравнение: $2 x^{2}+4 y^{2}-4 x y-6 x+9=0$
   Решение:
   Перепишем уравнение:
   $(x^2 - 4xy + 4y^2) + (x^2 - 6x + 9) = 0$
   $(x - 2y)^2 + (x - 3)^2 = 0$
   Сумма квадратов равна нулю только при:
   $\begin{cases} x - 2y = 0 \\ x - 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow x = 3, y = \frac{3}{2}$.
   Ответ: $(3; 1,5)$.
   
   
6. Напишите уравнение прямой, параллельной прямой $y=-\frac{1}{2} x+11$ и проходящей через точку пересечения прямых $y=2 x-5$ и $y=-x+4$.
   Решение:
   Точка пересечения:
   $2x - 5 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3, y = 1$.
   Уравнение параллельной прямой: $y = -\frac{1}{2}x + b$.
   Подставляем точку $(3, 1)$: $1 = -\frac{3}{2} + b \Rightarrow b = \frac{5}{2}$.
   Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
   
   
7. На стороне $A B$ квадрата $A B C D$ построен равносторонний треугольник $M A B$, причем точка $M$ лежит вне квадрата. Найдите углы треугольника $D M C$.
   Решение:
   Пусть сторона квадрата $AB = a$. Треугольник $MAB$ равносторонний, значит $AM = AB = a$, $\angle MAB = 60^\circ$.
   Рассмотрим координаты: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(0,a)$, $C(a,a)$. Точка $M$ имеет координаты $(a/2, a\sqrt{3}/2)$ вне квадрата.
   Найдем векторы $DM$ и $CM$, вычислим углы:
   $\triangle DMC$ — равносторонний, все углы по $60^\circ$.
   Ответ: Все углы по $60^\circ$.
   
   
8. Острый угол прямоугольного треугольника равен $30^{\circ}$, гипотенуза равна 8. Найдите отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого угла.
   Решение:
   Катеты: $4$ (против $30^\circ$) и $4\sqrt{3}$.
   Высота $h = \frac{4 \cdot 4\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3}$.
   Отрезки гипотенузы: $4\cos30^\circ = 2\sqrt{3}$ и $8 - 2\sqrt{3}$.
   Ответ: $2\sqrt{3}$ см и $(8 - 2\sqrt{3})$ см.
   
   
9. Агата ехала туда со скоростью 100 км/ч, обратно — со скоростью $v$ км/ч ($v < 100$).
   1. Средняя скорость: $\frac{2S}{S/100 + S/v} = \frac{2}{1/100 + 1/v} = 90$.
      Решаем уравнение: $\frac{2}{1/100 + 1/v} = 90 \Rightarrow v = 81,81...$ — не целое.
      Ответ: Нет.
      
      
   2. Пусть средняя скорость целая. Пример: $v = 80$ км/ч. Средняя скорость: $\frac{2}{1/100 + 1/80} = \frac{2}{9/400} = \frac{800}{9} \approx 88,89$ — не целая. При $v = 75$: $\frac{2}{0,01 + 0,01333} = \frac{2}{0,02333} \approx 85,71$ — не целое.
      Ответ: Нет.
   
   
   
10. Пусть участников $N$. Двоек: $\frac{N}{3} + 20$, троек: $\frac{N}{4} + 30$.
    Сравним: $\frac{N}{3} + 20 > \frac{N}{4} + 30 \Rightarrow \frac{N}{12} > 10 \Rightarrow N > 120$.
    Но общее количество оценок: $\frac{N}{3} + 20 + \frac{N}{4} + 30 \leq N \Rightarrow \frac{7N}{12} + 50 \leq N \Rightarrow N \geq 120$.
    При $N = 120$: двоек $60$, троек $60$ — поровну. При $N > 120$ двоек больше.
    Ответ: Зависит от N. При N > 120 — двоек больше, при N = 120 — поровну.