Лицей №239 из 7 в 8 класс 2018 год (вариант 1)

Лицей 239

2018 год

1. Пусть $A=3 \frac{23}{38}+2 \frac{35}{38}:\left(24,175-28 \frac{4}{5}\right), P=856 \cdot 858-859 \cdot 855, K=2 \frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{2}{27}+\frac{2}{81}+\frac{1}{243} .$ Определите, какое из этих чисел самое большое: $A, P$ или $K .$
2. Пусть $n$ - некоторое натуральное число. Упростите: $\left(3^{3 n+1}-4 \cdot 3^{3 n+2}\right)\left(7 \cdot 2^{n}+2^{n+1}\right): 54^{n+1} .$
3. Решите уравнение: $5(x+2)-(2-3 x)^{3}=(3 x-1)\left(9 x^{2}+3 x+1\right)-(2 x-1)(27 x-1)$.
4. Найдите все значения $\underset{x}{m}$, при каждом из которых прямая $y=(2 m+1) x+1-4 m$ проходит через точку пересечения прямых $y=\frac{x}{3}-8,5$ и $y=-6 x+20$.
5. Упростите: $\left(1-\frac{3}{2-a}\right)^{2}+\left(\frac{2 a+1}{a^{2}-6 a+5}-\frac{11}{4 a-20}\right): \frac{a^{2}-4 a+4}{4 a^{2}-4} .$
6. Точка $K$ лежит на отрезке $A B$, а точка $M$ - на отрезке $B C$. Отрезки $A M$ и $C K$ пересекаются в точке $P$. Оказалось, что $\angle A B C=37^{\circ}, \angle B A M: \angle C A M=4: 7, \angle A C K: \angle B C K=7: 4 .$ Найдите величину угла $A P C .$
7. У Васи есть своя коллекция фантиков, у Пети - своя. Как-то раз они решили поменяться фантиками. Сначала Вася отдал Пете $10 \%$ своих фантиков. Затем Петя перемешал свою новую коллекцию, выбрал $10 \%$ фантиков и отдал их Васе, который с изумлением обнаружил, что теперь у него стало сколько же фантиков, сколько было сначала. Наконец, Вася передал Пете $36 \%$ число фантиков в коллекции Пети после всех обменов.
8. Два зайца и пять кроликов съедают тарелку моркови за восемь секунд, а семь зайцев и четыре кролика съедают такую же тарелку моркови за четыре секунды. Определите, за сколько секунд с этим же количеством моркови справятся заяц и два кролика (все зайцы едят одинаково быстро, все кролики - тоже).
9. У Васи есть своя коллекция фантиков, у Пети - своя. Как-то раз они решили поменяться фантиками. Сначала Вася отдал Пете $10 \%$ своих фантиков. Затем Петя перемешал свою новую коллекцию, выбрал $10 \%$ фантиков и отдал их Васе, который с изумлением обнаружил, что теперь у него стало сколько же фантиков, сколько было сначала. Наконец, Вася передал Пете $36 \%$ фантиков. Определите, во сколько раз увеличилось число фантиков в коллекции Пети после всех обменов.
10. Два зайца и пять кроликов съедают тарелку моркови за восемь секунд, а семь зайцев и четыре кролика съедают такую же тарелку моркови за четыре секунды. Определите, за сколько секунд с этим же количеством моркови справятся заяц и два кролика (все зайцы едят одинаково быстро, все кролики - тоже).
11. У Васи есть мишень для игры в "Дартс", в которой есть два центральных сект ора (синий и черный) и 20 наружных секторов, пр онумерованных числами от 1 до $20 .$ За попадание в синий центральный сектор игрок получает 25 очков, за попадание в черный центральный сектор - 50 очков. За попадание в наружный сект ор игрок получает количество очков, равное номеру этого сектора, при этом в каждом из наружных секторов есть зоны удвоения и утроения, которые, соответственно, удваивают или утраивают номинал сектора. Например, за попадание в сектор 7 (не в зоны удв оения или утроения) игрок получает 7 очков, за попадание в зону удвоения сектора 7 игрок получает 14 очков, а за попадание в зону утроения сектора 7 - 21 очко. В центральных секторах зон удвоения и утроения нет. Вася хочет за неско очко. Какое наименьшее количество бросков ему потребуется для этого?
12. Точка $M$ - середина стороны $A C$ треугольника $A B C$, в котором $\angle B=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ} .$ На стороне $A B$ от мечена такая точка $D$, что $A D=B C$. Пусть $D P$ - высота треугольника $M B D$. Докажите, что удвоенный периметр треугольника $M D P$ больше периметра треугольника $M D B .$

Решения задач

1. Определим значения $A$, $P$ и $K$:
   • $A = 3\frac{23}{38} + 2\frac{35}{38} : (24,175 - 28\frac{4}{5}) = 3\frac{23}{38} + \frac{111}{38} : (-4,625) \approx 2,974$
   • $P = 856 \cdot 858 - 859 \cdot 855 = 734448 - 725855 = 8593$
   • $K = 2\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{2}{27} + \frac{2}{81} + \frac{1}{243} \approx 2,547$
   Наибольшее значение: $P = 8593$.
   Ответ: $P$.
   
   
2. Упростим выражение: \[ \left(3^{3n+1} - 4 \cdot 3^{3n+2}\right)\left(7 \cdot 2^n + 2^{n+1}\right) : 54^{n+1} = \frac{-11 \cdot 3^{3n+1} \cdot 9 \cdot 2^n}{2^{n+1} \cdot 3^{3n+3}} = -\frac{11}{2} \] Ответ: $-\frac{11}{2}$.
   
   
3. Решим уравнение: \[ 5(x+2) - (2-3x)^3 = (3x-1)(9x^2 + 3x + 1) - (2x-1)(27x-1) \] После раскрытия скобок и упрощения: \[ 12x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{1}{3} \] Ответ: $-\frac{1}{3}$.
   
   
4. Найдём точку пересечения прямых: \[ \frac{x}{3} - 8,5 = -6x + 20 \quad \Rightarrow \quad x = 4,5; \quad y = -7 \] Подставим в уравнение прямой: \[ -7 = (2m+1) \cdot 4,5 + 1 - 4m \quad \Rightarrow \quad m = -2,5 \] Ответ: $-2,5$.
   
   
5. Упростим выражение: \[ \left(1 - \frac{3}{2-a}\right)^2 + \left(\frac{2a+1}{a^2-6a+5} - \frac{11}{4a-20}\right) : \frac{a^2-4a+4}{4a^2-4} = \frac{(a+1)^2}{(2-a)^2} - \frac{3(a+1)}{(a-2)^2} = \frac{a+1}{a-2} \] Ответ: $\frac{a+1}{a-2}$.
   
   
6. Используя соотношения углов и теорему Чевы: \[ \angle APC = 180^\circ - 7(x + y) = 180^\circ - 7 \cdot 13 = 89^\circ \] Ответ: $89^\circ$.
   
   
7. Пусть у Васи $V$ фантиков, у Пети $P = 0,9V$. После обменов: \[ \text{Увеличение: } \frac{1,224V}{0,9V} = 1,36 \] Ответ: в $1,36$ раза.
   
   
8. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2h + 5k = \frac{1}{8} \\ 7h + 4k = \frac{1}{4} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1}{36}, \quad k = \frac{1}{72} \] Время для зайца и двух кроликов: \[ \frac{1}{h + 2k} = 18 \text{ сек.} \] Ответ: $18$ секунд.
   
   
9. Минимальное количество бросков: \[ 14 \times 60 + 1 \times 48 = 888 \quad \Rightarrow \quad 15 \text{ бросков} \] Ответ: $15$.