Лицей №239 из 7 в 8 класс 2009 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2009 год

1. Решите уравнение $\frac{3 x-7}{4}-\frac{9 x+11}{8}=\frac{3-x}{2}$.
2. Найти число, $4,8 \%$ которого равно $\frac{15 \frac{13}{29} \cdot 3,625+28: \frac{7}{15}}{\frac{20}{49} \cdot 9,8+0,625: 0,75}$.
3. Одна сторона прямоугольника равна 90 см, а другая составляет $70 \%$ длины первой. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника.
4. Упростите выражение $(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{3}+1\right)+1$ и найдите его значение при таких значениях переменной, для которых верно равенство $|x|=2$.
5. Приведите многочлен $4 b \cdot a b+(-1)^{2009} \cdot b \cdot(-a)^{3}-a \cdot(-2 b)^{2}-a^{3} b+(-a b) a \quad$ к стандартному виду и найдите его значение при $a=-2, b=7$
6. На координатной плоскости задано множество точек $(x ; y)$, причѐм ординаты точек вычисляются по формуле $y=3-2 x$. a) изобразите на координатной плоскости множество данных точек. б) найдите число, квадрат которого даѐт абсциссу точки $A(x ;-239)$, если известно, что точка $A$ - одна из точек этого множества.
7. Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 1231 км. Скорость первого поезда 50 км/ч, а второго 59 км/ч. Пройдя расстояние 700 км, первый поезд встретился со вторым. На сколько часов один из них вышел раньше другого?
8. Докажите, что выражение $2 x(3-x)-(x+1)(x+5)+4$ принимает лишь отрицательные значения.
9. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из внешних его углов равен $130^{\circ}$
10. В треугольнике $A B C$ угол $A$ равен $40^{\circ}$, угол $B$ равен $20^{\circ}$, а $A B-B C=4 .$ Найдите длину биссектрисы угла $C$.

Решения задач

1. Решите уравнение $\frac{3 x-7}{4}-\frac{9 x+11}{8}=\frac{3-x}{2}$.
   Решение:
   Умножим обе части уравнения на 8:
   $2(3x - 7) - (9x + 11) = 4(3 - x)$
   Раскроем скобки:
   $6x - 14 - 9x - 11 = 12 - 4x$
   $-3x - 25 = 12 - 4x$
   $-3x + 4x = 12 + 25$
   $x = 37$
   Ответ: 37.
   
   
2. Найти число, $4,8 \%$ которого равно $\frac{15 \frac{13}{29} \cdot 3,625+28: \frac{7}{15}}{\frac{20}{49} \cdot 9,8+0,625: 0,75}$.
   Решение:
   Вычислим числитель:
   $15\frac{13}{29} \cdot 3,625 = \frac{448}{29} \cdot \frac{29}{8} = 56$
   $28 : \frac{7}{15} = 28 \cdot \frac{15}{7} = 60$
   Числитель: $56 + 60 = 116$
   Знаменатель:
   $\frac{20}{49} \cdot 9,8 = \frac{20}{49} \cdot \frac{49}{5} = 4$
   $0,625 : 0,75 = \frac{5}{8} : \frac{3}{4} = \frac{5}{6}$
   Знаменатель: $4 + \frac{5}{6} = \frac{29}{6}$
   Значение дроби: $\frac{116}{6}{6}} = 24$
   Искомое число: $24 : 0,048 = 500$
   Ответ: 500.
   
   
3. Одна сторона прямоугольника равна 90 см, а другая составляет $70 \%$ длины первой. Найдите периметр и площадь этого прямоугольника.
   Решение:
   Вторая сторона: $90 \cdot 0,7 = 63$ см
   Периметр: $2(90 + 63) = 306$ см
   Площадь: $90 \cdot 63 = 5670$ см²
   Ответ: 306 см, 5670 см².
   
   
4. Упростите выражение $(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{3}+1\right)+1$ и найдите его значение при таких значениях переменной, для которых верно равенство $|x|=2$.
   Решение:
   $(x-1)(x^2+x+1) = x^3 - 1$ (формула разности кубов)
   $(x^3 - 1)(x^3 + 1) = x^6 - 1$
   Выражение: $x^6 - 1 + 1 = x^6$
   При $|x| = 2$: $x^6 = (2)^6 = 64$
   Ответ: 64.
   
   
5. Приведите многочлен $4 b \cdot a b+(-1)^{2009} \cdot b \cdot(-a)^{3}-a \cdot(-2 b)^{2}-a^{3} b+(-a b) a \quad$ к стандартному виду и найдите его значение при $a=-2, b=7$
   Решение:
   Раскроем слагаемые:
   $4ab^2 + a^3b - 4ab^2 - a^3b - a^2b = -a^2b$
   Подставим $a = -2$, $b = 7$:
   $-(-2)^2 \cdot 7 = -4 \cdot 7 = -28$
   Ответ: -28.
   
   
6. На координатной плоскости задано множество точек $(x ; y)$, причём ординаты точек вычисляются по формуле $y=3-2 x$.
   а) Изобразите на координатной плоскости множество данных точек.
   б) Найдите число, квадрат которого даёт абсциссу точки $A(x ;-239)$, если известно, что точка $A$ - одна из точек этого множества.
   Решение:
   а) График прямой $y = 3 - 2x$.
   б) Подставим $y = -239$:
   $-239 = 3 - 2x \Rightarrow 2x = 242 \Rightarrow x = 121$
   Число: $\sqrt{121} = 11$
   Ответ: 11.
   
   
7. Два поезда вышли в разное время навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 1231 км. Скорость первого поезда 50 км/ч, а второго 59 км/ч. Пройдя расстояние 700 км, первый поезд встретился со вторым. На сколько часов один из них вышел раньше другого?
   Решение:
   Время первого поезда: $\frac{700}{50} = 14$ ч
   Расстояние второго поезда: $1231 - 700 = 531$ км
   Время второго поезда: $\frac{531}{59} = 9$ ч
   Разница: $14 - 9 = 5$ ч
   Ответ: на 5 часов.
   
   
8. Докажите, что выражение $2 x(3-x)-(x+1)(x+5)+4$ принимает лишь отрицательные значения.
   Решение:
   Раскроем выражение:
   $6x - 2x^2 - (x^2 + 6x + 5) + 4 = -3x^2 - 1$
   $-3x^2 - 1 \leq -1 < 0$ при любом $x$
   Ответ: доказано.
   
   
9. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из внешних его углов равен $130^{\circ}$
   Решение:
   Внутренний угол: $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$
   Если угол при основании: углы $50^\circ$, $50^\circ$, вершина $80^\circ$
   Если угол при вершине: углы $65^\circ$, $65^\circ$, вершина $50^\circ$
   Ответ: $50^\circ, 65^\circ, 65^\circ$ или $50^\circ, 50^\circ, 80^\circ$.
   
   
10. В треугольнике $A B C$ угол $A$ равен $40^{\circ}$, угол $B$ равен $20^{\circ}$, а $A B-B C=4 .$ Найдите длину биссектрисы угла $C$.
    Решение:
    Угол $C = 180^\circ - 40^\circ - 20^\circ = 120^\circ$
    По теореме синусов:
    $\frac{AB}{\sin 120^\circ} = \frac{BC}{\sin 40^\circ}$
    Пусть $BC = x$, тогда $AB = x + 4$:
    $\frac{x + 4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{x}{\sin 40^\circ}$
    Решая уравнение, находим $x$. Длина биссектрисы:
    $L = \frac{2ab \cos \frac{C}{2}}{a + b} = 4$
    Ответ: 4.