Лицей №239 из 5 в 6 класс 2009 год (вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ №239

2009 год

Вариант 1

1. Выполните действия:
   (16386-396): $78+402 \cdot 306$
2. Решите уравнение:
   $191919:(3 \mathrm{x}-6)=19$
3. Вычислите рациональным способом:
   $385 \cdot 403-86 \cdot 403+299 \cdot 597$
4. Скорый поезд догонит товарный через 5 часов. Найдите расстояние между ними, если скорость товарного равна 72 км/час, а скорого 90 - км/час.
5. Ширина прямоугольника $12$ см, и она на $9$ см больше длины. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника.
6. В библиотеке 7500 книг. Из них $84 \%$ - на русском языке. Среди книг на иностранном языке 35 - на английском. Сколько процентов всех книг, имеющихся в библиотеке, составляют книги на английском языке?
7. Брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а вместе у нас 1000 долларов. Сколько у меня долларов?
8. Количество воды в бочке каждую минуту удваивается. Бочку можно заполнить за 10 минут. За сколько минут можно заполнить половину бочки?
9. У Анфисы и Акулины денег поровну. Сколько денег должна отдать Акулина Анфисе, чтобы у неё стало на 10 рублей меньше, чем у Анфисы?
10. Какой цифрой оканчивается сумма $239^{2009}+5?$ Ответ обоснуйте.

Решения задач

1. Выполните действия: $(16386 - 396) : 78 + 402 \cdot 306$
   Решение:
   $(16386 - 396) : 78 + 402 \cdot 306 = 15990 : 78 + 123012 = 205 + 123012 = 123217$
   Ответ: 123217.
2. Решите уравнение: $191919 : (3x - 6) = 19$
   Решение:
   $191919 : (3x - 6) = 19$
   $3x - 6 = 191919 : 19 = 10101$
   $3x = 10101 + 6 = 10107$
   $x = \frac{10107}{3} = 3369$
   Ответ: 3369.
3. Вычислите рациональным способом: $385 \cdot 403 - 86 \cdot 403 + 299 \cdot 597$
   Решение:
   $385 \cdot 403 - 86 \cdot 403 + 299 \cdot 597 = (385 - 86) \cdot 403 + 299 \cdot 597 = 299 \cdot 403 + 299 \cdot 597 = 299 \cdot (403 + 597) = 299 \cdot 1000 = 299000$
   Ответ: 299000.
4. Скорый поезд догонит товарный через 5 часов. Найдите расстояние между ними, если скорость товарного равна 72 км/ч, а скорого 90 км/ч.
   Решение:
   Разность скоростей: $90 - 72 = 18$ км/ч
   Расстояние между поездами: $18 \cdot 5 = 90$ км
   Ответ: 90 км.
5. Ширина прямоугольника 12 см, и она на 9 см больше длины. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника.
   Решение:
   Длина прямоугольника: $12 - 9 = 3$ см
   Площадь прямоугольника: $12 \cdot 3 = 36$ см²
   Сторона квадрата: $\sqrt{36} = 6$ см
   Ответ: 6 см.
6. В библиотеке 7500 книг. Из них 84% — на русском языке. Среди книг на иностранном языке 35 — на английском. Сколько процентов всех книг, имеющихся в библиотеке, составляют книги на английском языке?
   Решение:
   Книг на иностранных языках: $7500 \cdot (100\ 84\%) = 7500 \cdot 0,16 = 1200$
   Процент английских книг: $\frac{35}{7500} \cdot 100% = 0,466...% \approx 0,47\%$ (в условии возможна опечатка, предполагая 35% иностранных книг: $1200 \cdot 0,35 = 420$; $\frac{420}{7500} \cdot 100% = 5,6\%$)
   Ответ: 5,6.
7. Брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата, дед втрое богаче отца, а вместе у нас 1000 долларовшение: шение: шение: шение: шение:
   Пусть у меня $x$ долларов. Тогда:
   Брат: $3x$, отец: $9x$, дед: $27x$
   Сумма: $x + 3x + 9x + 27x = 40x = 1000$
   $x = \frac{1000}{40} = 25$
   Ответ: 25.
8. Количество воды в бочке каждую минуту удваивается. Бочку можно заполнить за 10 минут. За сколько минут можно заполнить половину бочки?
   Решение:
   За 10 минут бочка полная. На 9-й минуте она была наполовину полной, так как за 10-ю минуту количество воды удвоилось.
   Ответ: 9 минут.
9. У Анфисы и Акулины денег поровну. Сколько денег должна отдать Акулина Анфисе, чтобы у неё стало на 10 рублей меньше, чем у Анфисы?
   Решение:
   Пусть у каждой по $x$ рублей. После передачи $y$ рублей:
   У Анфисы: $x + y$, у Акулины: $x - y$
   Разность: $(x + y) - (x - y) = 2y = 10 \Rightarrow y = 5$
   Ответ: 5 рублей.
10. Какой цифрой оканчивается сумма $239^{2009} + 5$? Ответ обоснуйте.
    Решение:
    Последняя цифра $239$ — 9. Цикл последних цифр степеней 9, 1, 9, 1...
    Так как $2009$ нечётное, последняя цифра $239^{2009}$ — 9.
    Сумма: $9 + 5 = 14$. Последняя цифра — 4.
    Ответ: 4.