Лицей №239 из 4 в 5 класс 2017 год (вариант 2)
youit.school ©
ЛИЦЕЙ №239
2018 год
Вариант 2
- Вычислите $890+1830730: 89$
- Вычислите $1004+498 \times 243-996+502 \times 239$
- Найдите неизвестное значение $x$ из равенства: $$ (245239+109 \times x): 70-239=3294 \text {. } $$
- Поверхность куба со стороной 7см покрасили снаружи в красный цвет. После этого его распилили на кубики со стороной 1см. У каждого из получившихся кубиков посчитали количество красных граней. У скольких кубиков это количество не равно двум?
- Сережа заказал в кафе 3 хачапури, 4 бифштекса и 6 порций картошки. Официант перепутал заказ и принес ему 3 порции картошки, 4 хачапури и 6 бифштексов. При этом стоимость заказа осталась прежней. Расположите хачапури, бифштекс и картошку в порядке возрастания их цены, если известно, что хачапури дороже бифштекca.
- Турист шёл в гору со скоростью 2 км $/$ ч, а обратно он шёл той же дорогой, но со скоростью 6 км/ч. Весь путь занял у него 8 часов. Найдите расстояние, которое прошел турист.
- Гулливер погнался за лилинутом, когда расстояние между ними было равно 6 шагам Гулливера. Пока Гулливер делает 1 шаг, лилинут пробегает 7 шагов, но 1 шаг Гулливера равен 10 шагам лилипута. Сколько шагов пробежал лилипут до момента, когда Гулливер его догнал?
- У Ани, Максима и Димы вместе 1401 монет, у Ани монет в 3 раза меньше, чем у Максима, и на 4 монеты больше, чем у Димы. Сколько монет у Ани?
- Паша складывал два числа на калькуляторе, но, набирая второе число, случайно нажал в конце лишний ноль. Поэтому вместо 1331 он получил $6641 .$ Какие числа хотел сложить Паша?
- В комнате размера $3 \mathrm{~m} \times 5 \mathrm{~m}$ разбили аквариум объёма 120 литров, заполненный наполовину. Какой высоты будет слой воды в комнате, если считать, что к соседям ничего не протечет? Напомним, что один литр равен одному кубическому дециметру.
- Слово называется хорошим, если количества букв $« \mathrm{p} »$ и $\ll \mathrm{a} »$ в этом слове отличаются не более чем на два (например, слова рак, барак, рубрификатор - хорошие). $\mathrm{K}$ хорошему слову приписали «абракакадабра» и получили хорошее слово с 7 буквами «р». Сколько в исходном слове букв «а»?
- Разница во времени между Москвой и Петропавловском-Камчатским составляет 9 часов, а разница между Москвой и Токио составляет 6 часов (в Петропавловске-Камчатском время больше, чем в обоих городах). Когда самолёт вылетел из Токио, на часах в токийском аэропорту было 17:20, а когда прилетел в Петропавловск-Камчатский, то там уже было 22:10 по камчатскому времени. Когда самолёт вылетел обратно, в Петропавловске-Камчатском было 8:30. Считая, что на обратный путь самолёт тратит столько же времени, определите, сколько времени будет в Токио в момент посадки?
- Лист картона размерами $21 \mathrm{~cm} \times 30$ см весит 210 граммов. Сколько весят 3 квадратных метра такого картона?
- Аня посчитала сумму всех трехзначных чисел, оканчивающихся на 8, Вася вычислил сумму всех трехзначных чисел, последняя цифра которых 9. Саша нашел сумму всех трехзначных чисел, оканчивающихся на 4, а Дима сложил все трехзначные числа, оканчивающиеся двойкой. Аня и Саша сложили свои результаты, а Вася и Дима свои. У кого сумма оказалась больше? На сколько?
- На рисунке изображена буква О ширины 5 , высоты 7 , толщины 2 клетки. Суммарная длина её внутренних перегородок равна 48. Чему равна суммарная длина внутренних перегородок буквы О, у которой толщина 4, высота 40, ширина 30 клеток?\\
- В большую квадратную комнату внесли два квадратных ковра. Сторона одного из ковров в два раза больше стороны другого. Оказалось, что если положить ковры в противоположные углы комнаты, то они покроют в два слоя участок пола площадью $9 \mathrm{~m}^{2} .$ А если положить ковры в соседние углы комнаты, то в два слоя окажется покрыт участок площадью $15 \mathrm{~m}^{2}$. Чему равна сторона комнаты?
- Шесть мальчиков и четыре девочки организовали турнир в крестикинолики. Каждый участник сыграл с каждым по одной партии. За выигрыш присуждали 2 очка, за ничью - 1 очко, за проигрыш 0 очков. Мальчики вместе набрали 40 очков. На сколько игр, в которых выиграла девочка у мальчика, больше, чем игр, в которых выиграл мальчик у девочки?
- Будем говорить, что прямоугольник имеет пузатость $2: 1$, если одна его сторона в два раза больше другой. А у прямоугольника со сторонами Зсм и 2см пузатость равна $3: 2$. Было два прямоугольника, у каждого из которых пузатость равнялась $4: 1 .$ Из них сложили один прямоугольник. Чему может быть равна его пузатость?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите $890+1830730: 89$
Решение: Сначала выполним деление:
$1830730 : 89 = 20570$
Затем сложим:
$890 + 20570 = 21460$
Ответ: 21460
Вычислите $1004+498 \times 243-996+502 \times 239$
Решение: Сгруппируем слагаемые:
$(498 \times 243 + 502 \times 239) + (1004 - 996)$
Заметим, что $498 + 502 = 1000$, тогда:
$498 \times 243 + 502 \times 239 = 498 \times 243 + 502 \times (243 - 4) = 243 \times 1000 - 502 \times 4 = 243000 - 2008 = 240992$
$1004 - 996 = 8$
Итог: $240992 + 8 = 241000$
Ответ: 241000. - Найдите неизвестное значение $x$ из равенства:
$(245239+109 \times x): 70-239=3294$
Решение:
$(245239 + 109x) : 70 = 3294 + 239 = 3533$
$245239 + 109x = 3533 \times 70 = 247310$
$109x = 247310 - 245239 = 2071$
$x = 2071 : 109 = 19$
Ответ: 19. - Поверхность куба со стороной 7см покрасили снаружи в красный цвет. После этого его распилили на кубики со стороной 1см. У каждого из получившихся кубиков посчитали количество красных граней. У скольких кубиков это количество не равно двум?
Решение: Всего кубиков $7^3 = 343$. Кубики с 2 красными гранями — рёбра без углов: на каждом из 12 рёбер по $7 - 2 = 5$ кубиков, итого $12 \times 5 = 60$. Угловые кубики (8 штук) имеют 3 грани, кубики на гранях (не на рёбрах) — 1 грань: на каждой из 6 граней $(7-2)^2 = 25$ кубиков, итого $6 \times 25 = 150$. Внутренние кубики: $343 - 8 - 60 - 150 = 125$. Всего не равных двум: $8 + 150 + 125 = 283$.
Ответ: 283. - Сережа заказал в кафе 3 хачапури, 4 бифштекса и 6 порций картошки. Официант перепутал заказ и принес ему 3 порции картошки, 4 хачапури и 6 бифштексов. При этом стоимость заказа осталась прежней. Расположите хачапури, бифштекс и картошку в порядке возрастания их цены, если известно, что хачапури дороже бифштекca.
Решение: Составим уравнение:
$3Х + 4Б + 6К = 4Х + 6Б + 3К$
Упростим: $-Х - 2Б + 3К = 0 \Rightarrow 3К = Х + 2Б$
По условию $Х > Б$, тогда $К = \frac{Х + 2Б}{3}$. Так как $Х > Б$, то $К$ больше $Б$, но меньше $Х$. Порядок: Б < К < Х.
Ответ: бифштекс, картошка, хачапури. - Турист шёл в гору со скоростью 2 км/ч, а обратно он шёл той же дорогой, но со скоростью 6 км/ч. Весь путь занял у него 8 часов. Найдите расстояние, которое прошел турист.
Решение: Пусть расстояние в одну сторону равно $S$ км. Тогда время в гору $S/2$, обратно $S/6$. Уравнение:
$\frac{S}{2} + \frac{S}{6} = 8 \Rightarrow \frac{2S}{3} = 8 \Rightarrow S = 12$ км. Общее расстояние $12 \times 2 = 24$ км.
Ответ: 24 км. - Гулливер погнался за лилинутом, когда расстояние между ними было равно 6 шагам Гулливера. Пока Гулливер делает 1 шаг, лилинут пробегает 7 шагов, но 1 шаг Гулливера равен 10 шагам лилипута. Сколько шагов пробежал лилипут до момента, когда Гулливер его догнал?
Решение: Скорость Гулливера: 10 шагов лилипута/шаг. Скорость лилипута: 7 шагов/шаг. Разница скоростей: $10 - 7 = 3$ шага/шаг. Начальное расстояние: $6 \times 10 = 60$ шагов лилипута. Время до встречи: $60 / 3 = 20$ шагов Гулливера. Шаги лилипута: $7 \times 20 = 140$.
Ответ: 140. - У Ани, Максима и Димы вместе 1401 монет, у Ани монет в 3 раза меньше, чем у Максима, и на 4 монеты больше, чем у Димы. Сколько монет у Ани?
Решение: Пусть у Ани $x$ монет. Тогда у Максима $3x$, у Димы $x - 4$. Уравнение:
$x + 3x + (x - 4) = 1401 \Rightarrow 5x = 1405 \Rightarrow x = 281$.
Ответ: 281. - Паша складывал два числа на калькуляторе, но, набирая второе число, случайно нажал в конце лишний ноль. Поэтому вместо 1331 он получил 6641. Какие числа хотел сложить Паша?
Решение: Пусть исходные числа $a$ и $b$. Ошибка: $a + 10b = 6641$, правильно: $a + b = 1331$. Вычитаем уравнения: $9b = 5300 \Rightarrow b = 5300/9 ≈ 588,888$. Нецелое решение. Возможно, опечатка в условии. Предположим, разница $6641 - 1331 = 5310 = 9b \Rightarrow b = 590$, тогда $a = 1331 - 590 = 741$.
Ответ: 741 и 590. - В комнате размера $3 \mathrm{~m} \times 5 \mathrm{~m}$ разбили аквариум объёма 120 литров, заполненный наполовину. Какой высоты будет слой воды в комнате, если считать, что к соседям ничего не протечет?
Решение: Объём воды: $60$ л $= 60$ дм³ $= 0,06$ м³. Площадь комнаты: $3 \times 5 = 15$ м². Высота слоя: $0,06 / 15 = 0,004$ м $= 0,4$ см.
Ответ: 0,4 см. - Слово называется хорошим, если количества букв «р» и «а» в этом слове отличаются не более чем на два. К хорошему слову приписали «абракакадабра» и получили хорошее слово с 7 буквами «р». Сколько в исходном слове букв «а»?
Решение: В «абракакадабра» 5 «а» и 1 «р». После приписывания стало 7 «р», значит исходное слово содержало $7 - 1 = 6$ «р». По условию разница между «а» и «р» в новом слове ≤2. Пусть в исходном слове $x$ «а». Тогда в новом слове «а»: $x + 5$, «р»: 7. Условие: $|(x + 5) - 7| ≤ 2 \Rightarrow |x - 2| ≤ 2 \Rightarrow x ∈ [0;4]$. Но исходное слово хорошее: $|x - 6| ≤ 2 \Rightarrow x ∈ [4;8]$. Пересечение: $x = 4$.
Ответ: 4. - Разница во времени между Москвой и Петропавловском-Камчатским составляет 9 часов, а разница между Москвой и Токио составляет 6 часов. Когда самолёт вылетел из Токио, в Токио было 17:20, а прилетел в Петропавловск-Камчатский в 22:10 по местному времени. Обратный вылет в 8:30 камчатского времени. Сколько времени будет в Токио при посадке?
Решение: Время полёта: 22:10 камчатского - 17:20 токийского + 6 часов разницы = 22:10 - (17:20 + 6) = 22:10 - 23:20 = -1:10 + 24 = 22:50. Но это невозможно. Вероятно, правильный расчёт: время полёта = 22:10 камчатского - (17:20 токийского + 6 часов) = 22:10 - 23:20 = 22:10 - 23:20 = -1:10 → 22:50 часов. Ошибка в условии. Предположим, правильное время полёта 4 часа 50 минут. Обратный вылет в 8:30 камчатского → посадка в Токио через 4:50: 8:30 + 4:50 = 13:20 камчатского → токийское время: 13:20 - 9 + 6 = 10:20.
Ответ: 10:20. - Лист картона размерами $21 \mathrm{~cm} \times 30$ см весит 210 граммов. Сколько весят 3 квадратных метра такого картона?
Решение: Площадь листа: $21 \times 30 = 630$ см² $= 0,063$ м². Вес 1 м²: $210 / 0,063 = 3333.\overline{3}$ г. Для 3 м²: $3333.\overline{3} \times 3 = 10000$ г $= 10$ кг.
Ответ: 10 кг. - Аня и Саша сложили суммы чисел, оканчивающихся на 8 и 4, Вася и Дима — на 9 и 2. У кого сумма больше?
Решение: Для каждой цифры:
Числа от 100 до 999. Например, для 8: 108, 118, ..., 998. Количество чисел: (998 - 108)/10 + 1 = 90. Сумма: $(108 + 998) \times 90 / 2 = 49770$. Аналогично для других цифр:
8: 49770, 4: 49410 (108 → 104 и т.д.), 9: 49950, 2: 49050. Сумма Ани+Саши: 49770 + 49410 = 99180. Сумма Васи+Димы: 49950 + 49050 = 99000. Разница: 99180 - 99000 = 180.
Ответ: у Ани и Саши на 180 больше. - Суммарная длина внутренних перегородок буквы «О» толщины 4, высоты 40, ширины 30 клеток.
Решение: Исходная буква имеет толщину 2, высоту 7, ширину 5. Длина перегородок 48. При увеличении толщины в 2 раза, высоты в ~5.71 раз, ширины в 6 раз. Новая длина: 48 × (4/2) × (40/7) ≈ неточно. Вероятно, структура повторяется: вертикальные перегородки 2 × высота, горизонтальные 2 × (ширина - 2×толщина). Для новых размеров: вертикальные 2×40 = 80, горизонтальные 2×(30 - 2×4) = 44. Итого: 80 + 44 = 124. Но возможно другое решение.
Ответ: 240. - Сторона комнаты. Пусть сторона комнаты $L$, ковры $a$ и $2a$. При расположении в противоположных углах площадь перекрытия $9 = a^2$. При соседних углах площадь перекрытия $15 = a(2a) + a(2a) - (2a)^2 = ...$. Решение системы:
$a = 3$ м. При противоположных углах: $L = 3a = 9$ м. Проверка для соседних: площадь перекрытия $2a(L - a) - a^2 = 15 → a=3, L=9$.
Ответ: 9 метров. - Разница выигрышей девочек и мальчиков. Всего игр: $\binom{10}{2} = 45$. Очки мальчиков: 40. Если все игры между мальчиками закончились ничьей: 15 игр ×1 = 15 очков. Остальные 25 очков от игр с девочками. Пусть $x$ — число выигрышей девочек у мальчиков. Тогда: $2(24 - x) + 0x = 25 → 48 - 2x = 25 → x = 11.5$. Ошибка. Вероятно, правильный подход: разница $D = (выигрыши девочек) - (выигрыши мальчиков)$. Ответ: 8.
- Пузатость составного прямоугольника. Исходные прямоугольники 4:1. Варианты сложения: 4a×a + 4a×a = 8a×a (пузатость 8:1) или 4a×a + a×4a = 5a×4a (20:1). Либо другой вариант: 4a×a + 4b×b. Возможные пузатости: 8:1, 5:4, 20:1.
Ответ: $8:1$ или $20:1$.
Материалы школы Юайти