Лицей №214 из 7 в 8 класс 2017 год

ЛИЦЕЙ №214 СПБ

2017 год

Вариант 1

1. Вычислить $\frac{0,2 \cdot 1,8+0,8 \cdot 1,8}{1,3^{2}-0,5^{2}}=$
2. Линейная функция. Построить график функции $\mathrm{y}=1,5 \mathrm{x}+4$. Ответить на вопросы: а) Принадлежит графику функции точка А(-18; 23); б) Используя график функции, найдите множество значений х, для которых данная функция принимает положительные, отрицательные, неположительные, не отрицательные значения.
3. Алгебраические дроби. Упростить выражение $\left(\frac{2 m^{2}}{m^{2}-n^{2}}-\frac{m}{m-n}\right): \frac{m^{3}}{m n+n^{2}}$
4. Решить систему уравнений (любым способом) $\left\{\begin{array}{l}2 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}=5 \\ 3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}=2\end{array}\right.$
5. Геометрия (проверка знаний основных утверждений и теорем) Например: Укажите верные утверждения.
   1. Если два угла прямые то они смежные.
   2. Сумма углов тупоугольного треугольника равна $180^{\circ}$.
   3. Все медианы треугольника равны.
   4. Любая высота равнобедренного треугольника является его медианой
   5. Если сторона и три угла одного треугольника равны стороне и трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

1. 1,25
2. нет
3. $n/m^2$
4. 26/17;-11/17
5. 125;25

Решения задач

1. Вычислить $\frac{0,2 \cdot 1,8+0,8 \cdot 1,8}{1,3^{2}-0,5^{2}}$
   Решение:
   Числитель: $0,2 \cdot 1,8 + 0,8 \cdot 1,8 = 1,8 \cdot (0,2 + 0,8) = 1,8 \cdot 1 = 1,8$
   Знаменатель: $1,3^{2} - 0,5^{2} = (1,3 - 0,5)(1,3 + 0,5) = 0,8 \cdot 1,8 = 1,44$
   $\frac{1,8}{1,44} = \frac{1,8}{1,44} = 1,25$
   Ответ: 1,25.
   
   
2. Построить график функции $y = 1,5x + 4$. Ответить на вопросы:
   1. Принадлежит ли графику функции точка А(-18; 23)?
      Решение: Подставим $x = -18$ в уравнение:
      $y = 1,5 \cdot (-18) + 4 = -27 + 4 = -23 \neq 23$
      Ответ: нет.
   2. Найти множество значений $x$, для которых функция принимает:
      - Положительные значения: $1,5x + 4 > 0 \Rightarrow x > -\frac{8}{3}$ ($x > -2\frac{2}{3}$)
      - Отрицательные значения: $1,5x + 4 < 0 \Rightarrow x < -\frac{8}{3}$
      - Неположительные значения: $x \leq -\frac{8}{3}$
      - Неотрицательные значения: $x \geq -\frac{8}{3}$
   
   
   
3. Упростить выражение $\left(\frac{2m^{2}}{m^{2}-n^{2}}-\frac{m}{m-n}\right): \frac{m^{3}}{mn+n^{2}}$
   Решение:
   $\left(\frac{2m^{2}}{(m-n)(m+n)} - \frac{m}{m-n}\right) \cdot \frac{n(m+n)}{m^{3}} = \left(\frac{2m^{2} - m(m+n)}{(m-n)(m+n)}\right) \cdot \frac{n(m+n)}{m^{3}} = \frac{m^{2} - mn}{(m-n)(m+n)} \cdot \frac{n(m+n)}{m^{3}} = \frac{m(m-n)}{(m-n)(m+n)} \cdot \frac{n}{m^{2}} = \frac{n}{m^{2}}$
   Ответ: $\frac{n}{m^{2}}$.
   
   
4. Решить систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}2x - 3y = 5 \\ 3x + 4y = 2\end{array}\right.$
   Решение (метод сложения):
   Умножим первое уравнение на 4, второе на 3:
   $\left\{\begin{array}{l}8x - 12y = 20 \\ 9x + 12y = 6\end{array}\right.$
   Сложим уравнения:
   $17x = 26 \Rightarrow x = \frac{26}{17}$
   Подставим $x$ в первое уравнение:
   $2 \cdot \frac{26}{17} - 3y = 5 \Rightarrow \frac{52}{17} - 3y = \frac{85}{17} \Rightarrow -3y = \frac{33}{17} \Rightarrow y = -\frac{11}{17}$
   Ответ: $\left(\frac{26}{17}; -\frac{11}{17}\right)$.
   
   
5. Укажите верные утверждения:
   1. Неверно (прямые углы могут быть несмежными).
   2. Верно (сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$).
   3. Неверно (медианы равны только в равностороннем треугольнике).
   4. Неверно (высота к боковой стороне не является медианой).
   5. Верно (равенство по стороне и двум прилежащим углам).
   
   Ответ: верные утверждения 2 и 5.