8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 9)

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2015
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2015
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1580


2015 год


Вариант 9



  1. Вычислите:
    1. $\frac{1}{3} \cdot\left(0,87^{3}+2,13^{3}\right)+3 \cdot 0,87 \cdot 2,13 ;$
    2. $\frac{2 \cdot 3^{20}-5 \cdot 3^{19}}{9^{9}}$.
  2. Когда к 60 г $45\%$-го раствора соли добавили воды, содержание соли в растворе составило $20 \%$. Сколько граммов воды добавили в раствор?
  3. Решите уравнение: $(2 x+3)^{2}-(3 x-4)(x+2)=(x-4)(x+4)$.
  4. Разложите на множители: $4 a^{2} b^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)-\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3}$.
  5. Упростив выражение $\frac{\left(2 a^{2} b^{3}\right)^{3} \cdot\left(0,5 a b^{2}\right)^{2}}{\left(3 a^{2} b^{3}\right)^{4}}$, вычислите его значение при $a=1$ и $b=6 \frac{3}{4}$.
  6. Запишите уравнение прямой, проходящей через точки $\mathrm{A}(-12 ;-7)$ и $\mathrm{B}(15 ; 2) . \mathrm{B}$ каких точках эта прямая пересекает оси координат?
  7. Двузначное число в пять раз больше суммы своих цифр. Если данное -число увеличить на 9, то получится число, в 6 раз большее суммы цифр данного числа. Найдите это число.
  8. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n(n+14)-(n-6)(n+4)$ делится на $8 .$
  9. В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$, равным 20 см, внешний угол при вершине $B$ равен $60^{\circ}$. Найдите расстояние от вершины $C$ до прямой $A B$.
  10. Некто купил 30 птиц за 30 монет. Из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждые две горлицы - также 1 монета, за каждого голубя - 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Вычислите: $\frac{1}{3} \cdot\left(0,87^{3}+2,13^{3}\right)+3 \cdot 0,87 \cdot 2,13$
      Решение: Заметим, что $0,87 + 2,13 = 3$. Используем формулу куба суммы:
      $(0,87 + 2,13)^3 = 0,87^3 + 2,13^3 + 3 \cdot 0,87 \cdot 2,13 \cdot (0,87 + 2,13)$
      $3^3 = 0,87^3 + 2,13^3 + 9 \cdot 0,87 \cdot 2,13$
      Тогда исходное выражение:
      $\frac{1}{3}(0,87^3 + 2,13^3) + 3 \cdot 0,87 \cdot 2,13 = \frac{27 - 9 \cdot 0,87 \cdot 2,13}{3} + 3 \cdot 0,87 \cdot 2,13 = 9$
      Ответ: 9.
    2. Вычислите: $\frac{2 \cdot 3^{20}-5 \cdot 3^{19}}{9^{9}}$
      Решение: Упростим числитель и знаменатель:
      $9^9 = (3^2)^9 = 3^{18}$
      Числитель: $2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19} = 3^{19}(2 \cdot 3 - 5) = 3^{19} \cdot 1 = 3^{19}$
      Тогда выражение: $\frac{3^{19}}{3^{18}} = 3$
      Ответ: 3.
  2. Когда к 60 г $45\%$-го раствора соли добавили воды, содержание соли в растворе составило $20 \%$. Сколько граммов воды добавили в раствор?
    Решение: Изначально масса соли: $60 \cdot 0,45 = 27$ г. После добавления $x$ г воды:
    $\frac{27}{60 + x} = 0,2 \implies 27 = 12 + 0,2x \implies x = 75$
    Ответ: 75 г.
  3. Решите уравнение: $(2 x+3)^{2}-(3 x-4)(x+2)=(x-4)(x+4)$
    Решение: Раскроем скобки:
    $4x^2 + 12x + 9 - (3x^2 + 2x - 8) = x^2 - 16$
    $x^2 + 10x + 17 = x^2 - 16 \implies 10x = -33 \implies x = -3,3$
    Ответ: $-3,3$.
  4. Разложите на множители: $4 a^{2} b^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)-\left(a^{2}+b^{2}\right)^{3}$
    Решение: Вынесем общий множитель $(a^2 + b^2)$:
    $(a^2 + b^2)(4a^2b^2 - (a^2 + b^2)^2) = -(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)^2$
    Ответ: $-(a^2 + b^2)(a^2 - b^2)^2$.
  5. Упростив выражение $\frac{\left(2 a^{2} b^{3}\right)^{3} \cdot\left(0,5 a b^{2}\right)^{2}}{\left(3 a^{2} b^{3}\right)^{4}}$, вычислите его значение при $a=1$ и $b=6 \frac{3}{4}$
    Решение: Упростим выражение:
    $\frac{8a^6b^9 \cdot 0,25a^2b^4}{81a^8b^{12}} = \frac{2a^8b^{13}}{81a^8b^{12}} = \frac{2b}{81}$
    При $b = \frac{27}{4}$: $\frac{2 \cdot \frac{27}{4}}{81} = \frac{1}{6}$
    Ответ: $\frac{1}{6}$.
  6. Запишите уравнение прямой, проходящей через точки $\mathrm{A}(-12 ;-7)$ и $\mathrm{B}(15 ; 2)$. В каких точках эта прямая пересекает оси координат?
    Решение: Угловой коэффициент: $k = \frac{2 + 7}{15 + 12} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$
    Уравнение: $y + 7 = \frac{1}{3}(x + 12) \implies y = \frac{1}{3}x - 3$
    Пересечение с осью $OY$: $(0; -3)$
    Пересечение с осью $OX$: $0 = \frac{1}{3}x - 3 \implies x = 9 \implies (9; 0)$
    Ответ: $y = \frac{1}{3}x - 3$; пересечения в $(0; -3)$ и $(9; 0)$.
  7. Двузначное число в пять раз больше суммы своих цифр. Если данное число увеличить на 9, то получится число, в 6 раз большее суммы цифр данного числа. Найдите это число.
    Решение: Пусть число $10a + b$, тогда:
    $10a + b = 5(a + b)$ и $10a + b + 9 = 6(a + b)$
    Из первого уравнения: $5a = 4b \implies a = \frac{4}{5}b$. Так как $a$ и $b$ — цифры, $b = 5$, $a = 4$. Число: $45$.
    Ответ: 45.
  8. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $n(n+14)-(n-6)(n+4)$ делится на $8$
    Решение: Упростим выражение:
    $n^2 + 14n - (n^2 - 2n - 24) = 16n + 24 = 8(2n + 3)$
    Ответ: Делится на 8, так как содержит множитель 8.
  9. В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$, равным 20 см, внешний угол при вершине $B$ равен $60^{\circ}$. Найдите расстояние от вершины $C$ до прямой $A B$
    Решение: Угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Углы при основании $30^\circ$. Используя высоту из $C$ на $AB$:
    $h = \frac{AC \cdot \sin 30^\circ}{2} \cdot 2 = 10$ см
    Ответ: 10 см.
  10. Некто купил 30 птиц за 30 монет. Из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 монета, за каждого голубя — 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?
    Решение: Пусть воробьёв — $x$, горлиц — $y$, голубей — $z$:
    $\begin{cases} x + y + z = 30 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + 2z = 30 \end{cases}$
    Умножив второе уравнение на 6: $2x + 3y + 12z = 180$
    Подстановка $z = 30 - x - y$ даёт: $10x + 9y = 180$
    Решение: $x = 9$, $y = 10$, $z = 11$
    Ответ: 9 воробьёв, 10 горлиц, 11 голубей.
Материалы школы Юайти