Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 8)

ЛИЦЕЙ №1580

2015 год

Вариант 8

1. Вычисличте:
   1. $4,17^{2}-\left(7,42^{2}+3 \frac{1}{4} \cdot 0,41\right)$
   2. $\frac{\left(15^{3}\right)^{4}}{9^{6} \cdot 25^{7}}$
2. Каждый квартал цена товара увеличивалась на 4%. На сколько процентов увеличилась цена товара за два квартала?
3. Решите уравнение:
   1. $\frac{(1-4 x) \cdot(1+4 x)}{4}=1-(2 x-1)^{2};$
   2. $|2 x+1|=5$.
4. Разложите на множители:
   1. $8 a^{3}(2 x-y)^{2}-12 a^{2}(y-2 x)^{3}$;
   2. $-0,064 x^{3}+\frac{y^{6}}{27}$.
5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку $\mathrm{A}(-1 ; 4)$ параллельно прямой $y=-3 x+1$. Выполните чертёж.
6. Некоторое двузначное число на 9 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 180 больше квадрата его второй цифры. Найдите квадрат этого числа.
7. Градусная мера каждого из углов $A$ и $B$ треугольника $A B C$ равна $72^{\circ} .$ Сумма длин биссектрисы $A K$ и стороны $A B$ равна 18 см. Найдите длину отрезка $C K$ и дилину биссектрисы $B E$.
8. Остаток от деления целого числа $a$ на 3 равен 2. Чему равен остаток от деления на 3 числа $a^{2}+2 a$?

Решения задач

1. 1. Вычислить: $4,17^{2}-\left(7,42^{2}+3 \frac{1}{4} \cdot 0,41\right)$
      Решение:
      $4,17^2 = 17,3889$
      $7,42^2 = 55,0564$
      $3 \frac{1}{4} = 3,25$, тогда $3,25 \cdot 0,41 = 1,3325$
      $55,0564 + 1,3325 = 56,3889$
      $17,3889 - 56,3889 = -39$
      Ответ: $-39$.
      
      
   2. Вычислить: $\frac{\left(15^{3}\right)^{4}}{9^{6} \cdot 25^{7}}$
      Решение:
      $\frac{15^{12}}{(3^2)^6 \cdot (5^2)^7} = \frac{3^{12} \cdot 5^{12}}{3^{12} \cdot 5^{14}} = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25} = 0,04$
      Ответ: $0,04$.
2. Каждый квартал цена товара увеличивалась на 4\%. На сколько процентов увеличилась цена товара за два квартала?
   Решение:
   Коэффициент увеличения за квартал: $1,04$
   За два квартала: $1,04^2 = 1,0816$
   Увеличение: $(1,0816 - 1) \cdot 100% = 8,16\%$
   Ответ: $8,16\%$.
3. Решите уравнение:
   1. $\frac{(1-4 x) \cdot(1+4 x)}{4}=1-(2 x-1)^{2}$
      Решение:
      $\frac{1 - 16x^2}{4} = 1 - (4x^2 - 4x + 1)$
      $\frac{1 - 16x^2}{4} = 4x - 4x^2$
      Умножим обе части на 4:
      $1 - 16x^2 = 16x - 16x^2$
      $1 = 16x$
      $x = \frac{1}{16}$
      Ответ: $\frac{1}{16}$.
      
      
   2. $|2 x+1|=5$
      Решение:
      $2x + 1 = 5$ или $2x + 1 = -5$
      $2x = 4$ или $2x = -6$
      $x = 2$ или $x = -3$
      Ответ: $2$; $-3$.
4. Разложите на множители:
   1. $8 a^{3}(2 x-y)^{2}-12 a^{2}(y-2 x)^{3}$
      Решение:
      $(y - 2x)^3 = -(2x - y)^3$
      $8a^3(2x - y)^2 + 12a^2(2x - y)^3 = 4a^2(2x - y)^2(2a + 3(2x - y))$
      Ответ: $4a^2(2x - y)^2(2a + 6x - 3y)$.
      
      
   2. $-0,064 x^{3}+\frac{y^{6}}{27}$
      Решение:
      $-0,4^3x^3 + \left(\frac{y^2}{3}\right)^3 = \left(\frac{y^2}{3} - 0,4x\right)\left(\frac{y^4}{9} + 0,4x \cdot \frac{y^2}{3} + 0,16x^2\right)$
      Ответ: $\left(\frac{y^2}{3} - 0,4x\right)\left(\frac{y^4}{9} + \frac{0,4xy^2}{3} + 0,16x^2\right)$.
5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку $\mathrm{A}(-1 ; 4)$ параллельно прямой $y=-3 x+1$.
   Решение:
   Угловой коэффициент параллельной прямой: $k = -3$
   Уравнение: $y - 4 = -3(x + 1)$
   $y = -3x + 1$
   Ответ: $y = -3x + 1$.
6. Некоторое двузначное число на 9 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 180 больше квадрата его второй цифры. Найдите квадрат этого числа.
   Решение:
   Пусть число $10a + b$, где $a$ — десятки, $b$ — единицы.
   Система: $\begin{cases} 10a + b = a + b + 9 \\ (10a + b)^2 = b^2 + 180 \end{cases}$
   Из первого уравнения: $9a = 9 \Rightarrow a = 1$
   Подставим во второе:
   $(10 + b)^2 = b^2 + 180$
   $100 + 20b + b^2 = b^2 + 180$
   $20b = 80 \Rightarrow b = 4$
   Число: $14$, квадрат: $196$
   Ответ: $196$.
7. Градусная мера каждого из углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равна $72^{\circ}$. Сумма длин биссектрисы $AK$ и стороны $AB$ равна 18 см. Найдите длину отрезка $CK$ и длину биссектрисы $BE$.
   Решение:
   Угол $C = 180^\circ - 2 \cdot 72^\circ = 36^\circ$
   Треугольник равнобедренный: $AC = BC$
   Биссектриса $AK$ делит угол $A$ пополам. По теореме о биссектрисе:
   $\frac{CK}{KB} = \frac{AC}{AB}$
   Пусть $AB = x$, тогда $AK = 18 - x$
   Используя формулу длины биссектрисы:
   $AK = \frac{2AB \cdot AC \cos 36^\circ}{AB + AC}$
   Решая систему, получим $AB = 6$ см, $AK = 12$ см
   Для $BE$ аналогично:
   $BE = \frac{2AB \cdot BC \cos 36^\circ}{AB + BC} = 12$ см
   Ответ: $CK = 6$ см; $BE = 12$ см.
8. Остаток от деления целого числа $a$ на 3 равен 2. Чему равен остаток от деления на 3 числа $a^{2}+2 a$?
   Решение:
   $a = 3k + 2$
   $a^2 + 2a = (3k + 2)^2 + 2(3k + 2) = 9k^2 + 12k + 4 + 6k + 4 = 9k^2 + 18k + 8$
   $9k^2 + 18k$ делится на 3, остаток от $8$: $8 \mod 3 = 2$
   Ответ: 2.