Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 7)

ЛИЦЕЙ №1580

2015 год

Вариант 7

1. Вычислите:
   1. $5 \frac{12}{25} \cdot 2,8-6,64^{2}+3,84^{2}$
   2. $\frac{49^{5} \cdot 8^{3}}{\left(14^{3}\right)^{4}}$
2. Каждый месяц цена товара уменьшалась на $5 \%$. На сколько процентов уменьшилась цена товара за два месяца?
3. Решите уравнение:
   1. $\frac{(1-6 x) \cdot(1+6 x)}{4}=2-(3 x-1)^{2};$
   2. $|5 x+3|=8$.
4. Разложите на множители:
   1. $27 x^{3}(2 a-b)^{2}-18 x^{2}(b-2 a)^{3}$;
   2. $-0,027 x^{6}+\frac{y^{3}}{64}$.
5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку $\mathrm{A}(2 ;-3)$ параллельно графику функции $y=-5 x-2$. Выполните чертёж.
6. Некоторое двузначное число на 18 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 680 больше квадрата его второй цифры. Найдите квадрат этого числа.
7. Градусная мера каждого из углов $A$ и $B$ треугольника $A B C$ равна $72^{\circ}$. Сумма длин биссектрисы $A K$ и отрезка $K C$ равна 8 см. Найдите длину стороны $A B$ и длину биссектрисы $B E$..
8. Остаток от деления целого числа $b$ на 4 равен 3. Чему равен остаток от деления на 4 числа $b^{2}-b$?

Решения задач

1. 1. Вычислите: $5 \frac{12}{25} \cdot 2,8-6,64^{2}+3,84^{2}$
      Решение:
      $5 \frac{12}{25} = \frac{137}{25}$; $2,8 = \frac{14}{5}$
      $\frac{137}{25} \cdot \frac{14}{5} = \frac{1918}{125} = 15,344$
      $6,64^2 = 44,0896$; $3,84^2 = 14,7456$
      $44,0896 - 14,7456 = 29,344$
      $15,344 - 29,344 = -14$
      Ответ: $-14$.
      
      
   2. Вычислите: $\frac{49^{5} \cdot 8^{3}}{\left(14^{3}\right)^{4}}$
      Решение:
      $49 = 7^2$, $8 = 2^3$, $14 = 2 \cdot 7$
      $\frac{(7^2)^5 \cdot (2^3)^3}{(2^3 \cdot 7^3)^4} = \frac{7^{10} \cdot 2^9}{2^{12} \cdot 7^{12}} = 2^{-3} \cdot 7^{-2} = \frac{1}{8 \cdot 49} = \frac{1}{392}$
      Ответ: $\frac{1}{392}$.
2. Каждый месяц цена товара уменьшалась на $5 \%$. На сколько процентов уменьшилась цена товара за два месяца?
   Решение:
   После первого месяца: $100\ 5% = 95% = 0,95$
   После второго месяца: $0,95 \cdot 0,95 = 0,9025 = 90,25\%$
   Общее уменьшение: $100\ 90,25% = 9,75\%$
   Ответ: $9,75\%$.
3. Решите уравнение:
   1. $\frac{(1-6 x) \cdot(1+6 x)}{4}=2-(3 x-1)^{2}$
      Решение:
      $(1 - 36x^2)/4 = 2 - (9x^2 - 6x + 1)$
      $(1 - 36x^2)/4 = 1 + 6x - 9x^2$
      Умножим обе части на 4:
      $1 - 36x^2 = 4 + 24x - 36x^2$
      $1 = 4 + 24x \Rightarrow 24x = -3 \Rightarrow x = -\frac{1}{8}$
      Ответ: $-\frac{1}{8}$.
      
      
   2. $|5 x+3|=8$
      Решение:
      $5x + 3 = 8 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1$
      $5x + 3 = -8 \Rightarrow 5x = -11 \Rightarrow x = -\frac{11}{5}$
      Ответ: $1$; $-\frac{11}{5}$.
4. Разложите на множители:
   1. $27 x^{3}(2 a-b)^{2}-18 x^{2}(b-2 a)^{3}$
      Решение:
      $(b - 2a)^3 = -(2a - b)^3$
      $9x^2(2a - b)^2(3x + 2(2a - b)) = 9x^2(2a - b)^2(3x + 4a - 2b)$
      Ответ: $9x^2(2a - b)^2(3x + 4a - 2b)$.
      
      
   2. $-0,027 x^{6}+\frac{y^{3}}{64}$
      Решение:
      $-0,027x^6 = -(0,3x^2)^3$; $\frac{y^3}{64} = \left(\frac{y}{4}\right)^3$
      Используем формулу разности кубов:
      $\left(\frac{y}{4} - 0,3x^2\right)\left(\frac{y^2}{16} + 0,3x^2 \cdot \frac{y}{4} + 0,09x^4\right)$
      Ответ: $\left(\frac{y}{4} - 0,3x^2\right)\left(\frac{y^2}{16} + \frac{0,3x^2 y}{4} + 0,09x^4\right)$.
5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку $\mathrm{A}(2 ;-3)$ параллельно графику функции $y=-5 x-2$. Выполните чертёж.
   Решение:
   Угловой коэффициент параллельной прямой: $k = -5$
   Уравнение: $y = -5x + b$
   Подставляем точку $A(2; -3)$:
   $-3 = -5 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 7$
   Ответ: $y = -5x + 7$.
6. Некоторое двузначное число на 18 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 680 больше квадрата его второй цифры. Найдите квадрат этого числа.
   Решение:
   Пусть число $10a + b$, где $a$ и $b$ — цифры.
   Из первого условия: $10a + b = a + b + 18 \Rightarrow 9a = 18 \Rightarrow a = 2$
   Из второго условия: $(10a + b)^2 = b^2 + 680$
   Подставляем $a = 2$: $(20 + b)^2 = b^2 + 680$
   $400 + 40b + b^2 = b^2 + 680 \Rightarrow 40b = 280 \Rightarrow b = 7$
   Число: $27$, квадрат: $27^2 = 729$
   Ответ: $729$.
7. Градусная мера каждого из углов $A$ и $B$ треугольника $A B C$ равна $72^{\circ}$. Сумма длин биссектрисы $A K$ и отрезка $K C$ равна 8 см. Найдите длину стороны $A B$ и длину биссектрисы $B E$.
   Решение:
   Углы $A = B = 72^\circ$, угол $C = 36^\circ$
   Треугольник равнобедренный: $AB = BC$
   По теореме о биссектрисе: $\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} = 1 \Rightarrow AK = KC$
   $AK + KC = 8 \Rightarrow AK = KC = 4$ см
   Используя теорему синусов для $\triangle ABC$:
   $\frac{AB}{\sin 36^\circ} = \frac{AC}{\sin 72^\circ}$
   Длина биссектрисы $BE$ вычисляется по формуле:
   $BE = \frac{2AB \cdot BC \cdot \cos 36^\circ}{AB + BC} = AB \cdot \cos 36^\circ$
   Ответ: $AB = 8$ см, $BE = 8 \cos 36^\circ$ см.
8. Остаток от деления целого числа $b$ на 4 равен 3. Чему равен остаток от деления на 4 числа $b^{2}-b$?
   Решение:
   $b = 4k + 3$
   $b^2 - b = (4k + 3)^2 - (4k + 3) = 16k^2 + 24k + 9 - 4k - 3 = 16k^2 + 20k + 6$
   Остаток от деления на 4: $6 \mod 4 = 2$
   Ответ: $2$.