8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2008 год (вариант 6)

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2008
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1580


2008 год


Вариант 6



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}-\frac{2 a-2 b}{a b} \cdot \frac{2}{a-b}\right) \cdot \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2}-4 b^{2}}$.
  2. Упростите выражение, разложив числитель и знаменатель на множители, и вычислите его при $c=-1$: $$ \frac{a c-3 b c+2 a-6 b}{a-3 b-a c+3 b c} . $$
  3. Ученик делает за рабочий день на $10 \%$ деталей меньше, чем мастер, однако на прошедшей неделе мастер работал с понедельника по пятницу, а ученик - с понедельника по субботу. На сколько процентов деталей больше сделал ученик по сравнению с мастером?
  4. Лодка прошла по озеру на 12 км меньше, чем затем против течения реки, затратив на весь путь 6 часов. Какое общее расстояние прошла лодка, если её скорость по озеру равна 12 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч.
  5. Решите уравнение: $\frac{x}{4}+\frac{2 x-1}{9}-2=\frac{x-9}{6}$.
  6. Дан прямой угол $A B C$. Прямая $\boldsymbol{k}$ пересекает луч $B A$ и составляет с ним угол $39^{\circ} .$ Прямая $\boldsymbol{m}$ пересекает луч $B C$ и параллельна $\boldsymbol{k}$. Какой угол составляет $\boldsymbol{m}$ с $B C$?
  7. На одной стороне угла величиной $36^{\circ}$ с вершиной $A$ выбраны точки $A_{1}$ и $A_{3}$, а на другой точки $A_{2}$ и $A_{4}$, так что $A A_{1}=A_{1} A_{2}=A_{2} A_{3}=A_{3} A_{4}$. Найти угол $A A_{4} A_{3} .$
  8. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются его стороны? Признак равенства прямоугольных треугольников. Сумма острых углов прямоугольного треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}-\frac{2 a-2 b}{a b} \cdot \frac{2}{a-b}\right) \cdot \frac{a^{2} b^{2}}{a^{2}-4 b^{2}}$.
    Решение:
    Упростим выражение в скобках:
    $\frac{2a - 2b}{ab} \cdot \frac{2}{a - b} = \frac{2(a - b)}{ab} \cdot \frac{2}{a - b} = \frac{4}{ab}$
    Теперь исходное выражение:
    $\left(\frac{4}{a^2} + \frac{1}{b^2} - \frac{4}{ab}\right) \cdot \frac{a^2b^2}{a^2 - 4b^2} = \left(\frac{4b^2 + a^2 - 4ab}{a^2b^2}\right) \cdot \frac{a^2b^2}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{(a - 2b)^2}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{a - 2b}{a + 2b}$
    Ответ: $\frac{a - 2b}{a + 2b}$.

  2. Упростите выражение, разложив числитель и знаменатель на множители, и вычислите его при $c=-1$: $\frac{a c-3 b c+2 a-6 b}{a-3 b-a c+3 b c}$
    Решение:
    Разложим числитель и знаменатель:
    Числитель: $ac - 3bc + 2a - 6b = a(c + 2) - 3b(c + 2) = (a - 3b)(c + 2)$
    Знаменатель: $a - 3b - ac + 3bc = (a - 3b) - c(a - 3b) = (a - 3b)(1 - c)$
    Упростим дробь:
    $\frac{(a - 3b)(c + 2)}{(a - 3b)(1 - c)} = \frac{c + 2}{1 - c}$
    Подставим $c = -1$:
    $\frac{-1 + 2}{1 - (-1)} = \frac{1}{2} = 0,5$
    Ответ: 0,5.

  3. Ученик делает за рабочий день на $10 \%$ деталей меньше, чем мастер, однако на прошедшей неделе мастер работал с понедельника по пятницу, а ученик - с понедельника по субботу. На сколько процентов деталей больше сделал ученик по сравнению с мастером?
    Решение:
    Пусть мастер делает $x$ деталей в день, тогда ученик делает $0,9x$ деталей.
    За неделю мастер сделал $5x$ деталей, ученик — $6 \cdot 0,9x = 5,4x$ деталей.
    Разница: $5,4x - 5x = 0,4x$. Процентное отношение:
    $\frac{0,4x}{5x} \cdot 100% = 8\%$
    Ответ: на 8%.

  4. Лодка прошла по озеру на 12 км меньше, чем затем против течения реки, затратив на весь путь 6 часов. Какое общее расстояние прошла лодка, если её скорость по озеру равна 12 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч.
    Решение:
    Пусть путь по озеру — $S$ км, тогда против течения — $S + 12$ км.
    Скорость против течения: $12 - 3 = 9$ км/ч.
    Время движения:
    $\frac{S}{12} + \frac{S + 12}{9} = 6$
    Умножим на 36:
    $3S + 4(S + 12) = 216 \Rightarrow 7S + 48 = 216 \Rightarrow S = 24$ км
    Общее расстояние: $24 + (24 + 12) = 60$ км
    Ответ: 60 км.

  5. Решите уравнение: $\frac{x}{4}+\frac{2 x-1}{9}-2=\frac{x-9}{6}$.
    Решение:
    Умножим все части на 36:
    $9x + 4(2x - 1) - 72 = 6(x - 9)$
    Раскроем скобки:
    $9x + 8x - 4 - 72 = 6x - 54 \Rightarrow 17x - 76 = 6x - 54 \Rightarrow 11x = 22 \Rightarrow x = 2$
    Ответ: 2.

  6. Дан прямой угол $A B C$. Прямая $\boldsymbol{k}$ пересекает луч $B A$ и составляет с ним угол $39^{\circ} .$ Прямая $\boldsymbol{m}$ пересекает луч $B C$ и параллельна $\boldsymbol{k}$. Какой угол составляет $\boldsymbol{m}$ с $B C$?
    Решение:
    Угол между $k$ и $BA$ — $39^\circ$. Так как $m \parallel k$, соответственный угол между $m$ и $BC$ равен $90^\circ - 39^\circ = 51^\circ$.
    Ответ: $51^\circ$.

  7. На одной стороне угла величиной $36^{\circ}$ с вершиной $A$ выбраны точки $A_{1}$ и $A_{3}$, а на другой точки $A_{2}$ и $A_{4}$, так что $A A_{1}=A_{1} A_{2}=A_{2} A_{3}=A_{3} A_{4}$. Найти угол $A A_{4} A_{3} .$
    Решение:
    Каждый следующий треугольник образует равнобедренные фигуры. Угол при вершине $A$ — $36^\circ$, углы при основании — $72^\circ$. После четырёх шагов угол $A A_4 A_3$ будет равен $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.
    Ответ: $108^\circ$.

  8. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются его стороны? Признак равенства прямоугольных треугольников. Сумма острых углов прямоугольного треугольника.
    Ответ:
    • Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один из углов прямой ($90^\circ$).
    • Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, сторона против прямого угла — гипотенузой.
    • Признаки равенства: по двум катетам; по катету и гипотенузе; по гипотенузе и острому углу.
    • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$.
Материалы школы Юайти