Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2012 год вариант 6

ЛИЦЕЙ №1580

2012 год

Вариант 6

1. Найдите делимое, если неполное частное равно 19 , делитель 16 , а остаток $12 .$
2. Велосипедист проехал за некоторое время с постоянной скоростью 56 км. Если бы он увеличил скорость на 4 км/ч, то за это же время проехал бы 64 км. Какова скорость велосипедиста?
3. Кофе при жарении теряет $12 \%$ своей массы. Сколько следует взять свежих зерен, чтобы получить 176 г жареного кофе?
4. Найдите число $a$, если $16 \%$ числа 60 равны $5 \%$ числа $a$.
5. Определите разность корней уравнения $|x-1|=4$.
6. При каком $x$ выполняется равенство $\frac{3 \frac{4}{15}}{(5,5+x): 21 \frac{3}{7}}-1 \frac{3}{8}=5,625$.
7. Вычислите наиболее рационально $\frac{19^{2}-18^{2}}{56^{2}-19^{2}}$.
8. Найдите координаты точки пересечения прямых $2 x-3 y=11$ и $3 x+5 y=-12$.
9. Вычислите $\frac{6 x-3 y}{3 x+2 y}$, если $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$.
10. При каком значении $a$ выражение $4 x^{2}+3 a x+9$ является полным квадратом?
11. Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых равна $24^{\circ} .$ Чему равны четыре полученные угла?
12. Треугольник $A B C-$ прямоугольный $\left(\angle B=90^{\circ}\right)$. На стороне $A C$ взята точка $D$ так, что треугольник $B C D$ - равносторонний. Найдите углы треугольников $A B C$ и $A B D .$

Решения задач

1. Найдите делимое, если неполное частное равно 19 , делитель 16 , а остаток $12 .$
   Решение: Делимое = делитель $\cdot$ неполное частное + остаток:
   $16 \cdot 19 + 12 = 304 + 12 = 316$.
   Ответ: 316.
2. Велосипедист проехал за некоторое время с постоянной скоростью 56 км. Если бы он увеличил скорость на 4 км/ч, то за это же время проехал бы 64 км. Какова скорость велосипедиста?
   Решение: Пусть скорость велосипедиста $v$ км/ч. Время движения одинаково:
   $\frac{56}{v} = \frac{64}{v + 4}$
   $56(v + 4) = 64v$
   $56v + 224 = 64v$
   $8v = 224$
   $v = 28$ км/ч.
   Ответ: 28.
3. Кофе при жарении теряет $12 \%$ своей массы. Сколько следует взять свежих зерен, чтобы получить 176 г жареного кофе?
   Решение: После потери 12% массы остаётся 88% исходной массы:
   $0,88x = 176$
   $x = \frac{176}{0,88} = 200$ г.
   Ответ: 200.
4. a$,a$, если $16 \%$ числа 60 равны $5 \%$ числа $a$.
   Решение: Составим уравнение:
   $0,16 \cdot 60 = 0,05 \cdot a$
   $9,6 = 0,05a$
   $a = \frac{9,6}{0,05} = 192$.
   Ответ: 192.
5. Определите разность корней уравнения $|x-1|=4$.
   Решение:
   $x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5$
   $x - 1 = -4 \Rightarrow x = -3$
   Разность корней: $5 - (-3) = 8$ или $-3 - 5 = -8$.
   Ответ: 8 или $-8$.
6. При каком $x$ выполняется равенство $\frac{3 \frac{4}{15}}{(5,5+x): 21 \frac{3}{7}}-1 \frac{3}{8}=5,625$.
   Решение: Переведём смешанные числа в дроби:
   $3\frac{4}{15} = \frac{49}{15}$, $21\frac{3}{7} = \frac{150}{7}$, $1\frac{3}{8} = \frac{11}{8}$, $5,625 = \frac{45}{8}$.
   Уравнение:
   $\frac{\frac{49}{15}}{\frac{5,5 + x}{\frac{150}{7}}} - \frac{11}{8} = \frac{45}{8}$
   $\frac{49}{15} \cdot \frac{150}{7(5,5 + x)} = 7$
   $\frac{70}{5,5 + x} = 7$
   $5,5 + x = 10$
   $x = 4,5$.
   Ответ: 4,5.
7. Вычислите наиболее рационально $\frac{19^{2}-18^{2}}{56^{2}-19^{2}}$.
   Решение: Используем разность квадратов:
   $\frac{(19 - 18)(19 + 18)}{(56 - 19)(56 + 19)} = \frac{1 \cdot 37}{37 \cdot 75} = \frac{1}{75}$.
   Ответ: $\frac{1}{75}$.
8. Найдите координаты точки пересечения прямых $2 x-3 y=11$ и $3 x+5 y=-12$.
   Решение: Решим систему уравнений:
   $2x - 3y = 11$
   $3x + 5y = -12$
   Умножим первое уравнение на 3, второе на 2:
   $6x - 9y = 33$
   $6x + 10y = -24$
   Вычтем уравнения:
   $-19y = 57 \Rightarrow y = -3$
   Подставим $y = -3$ в первое уравнение:
   $2x - 3(-3) = 11 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
   Ответ: $(1; -3)$.
9. Вычислите $\frac{6 x-3 y}{3 x+2 y}$, если $\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$.
   Решение: Пусть $x = 2k$, $y = 3k$:
   $\frac{6 \cdot 2k - 3 \cdot 3k}{3 \cdot 2k + 2 \cdot 3k} = \frac{12k - 9k}{6k + 6k} = \frac{3k}{12k} = \frac{1}{4}$.
   Ответ: $\frac{1}{4}$.
10. При каком значении $a$ выражение $4 x^{2}+3 a x+9$ является полным квадратом?
    Решение: Выражение должно иметь вид $(2x + b)^2 = 4x^2 + 4bx + b^2$. Сравниваем коэффициенты:
    $4bx = 3ax \Rightarrow 4b = 3a$
    $b^2 = 9 \Rightarrow b = \pm 3$
    При $b = 3$: $a = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4$
    При $b = -3$: $a = \frac{4 \cdot (-3)}{3} = -4$.
    Ответ: $\pm 4$.
11. Разность двух углов, образовавшихся при пересечении двух прямых равна $24^{\circ} .$ Чему равны четыре полученные угла?
    Решение: Пусть один угол $x$, другой $x + 24^{\circ}$. Сумма смежных углов:
    $x + x + 24^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2x = 156^{\circ} \Rightarrow x = 78^{\circ}$
    Углы: $78^{\circ}$, $102^{\circ}$, $78^{\circ}$, $102^{\circ}$.
    Ответ: $78^{\circ}$, $102^{\circ}$, $78^{\circ}$, $102^{\circ}$.
12. Треугольник $A B C-$ прямоугольный $\left(\angle B=90^{\circ}\right)$. На стороне $A C$ взята точка $D$ так, что треугольник $B C D$ - равносторонний. Найдите углы треугольников $A B C$ и $A B D .$
    Решение:
    В $\triangle ABC$: $\angle B = 90^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$, $\angle A = 60^{\circ}$ (по условию равностороннего $\triangle BCD$).
    В $\triangle ABD$: $\angle ABD = 30^{\circ}$, $\angle BAD = 60^{\circ}$, $\angle ADB = 90^{\circ}$.
    Ответ: $\triangle ABC$: $90^{\circ}$, $60^{\circ}$, $30^{\circ}$; $\triangle ABD$: $90^{\circ}$, $60^{\circ}$, $30^{\circ}$.