Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2015 год вариант 4

ЛИЦЕЙ №1580

2015 год

Вариант 4

1. Вычислите:
   1. $4,17^{2}-\left(7,42^{2}+3 \frac{1}{4} \cdot 0,41\right)$
   2. $\frac{\left(15^{3}\right)^{4}}{9^{6} \cdot 25^{7}}$
2. Каждый квартал цена товара увеличивалась на $4\%$. На сколько процентов увеличилась цена товара за два квартала?
3. Решите уравнение:
   1. $\frac{(1-4 x) \cdot(1+4 x)}{4}=1-(2 x-1)^{2};$
   2. $|2 x+1|=5$.
4. Разложите на множители:
   1. $8 a^{3}(2 x-y)^{2}-12 a^{2}(y-2 x)^{3}$;
   2. $-0,064 x^{3}+\frac{y^{6}}{27}$.
5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку $\mathrm{A}(-1 ; 4)$ параллельно прямой $y=-3 x+1 .$ Выполните чертёж.
6. Некоторое двузначное число на 9 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 180 больше квадрата его второй цифры. Найдите квадрат этого числа.
7. Градусная мсра каждого из углов $A$ и $B$ треугольника $A B C$ равна $72^{\circ}$. Сумма длин биссектрисы $A K$ и стороны $A B$ равна 18 см. Найдите длину отрезка $C K$ и динину биссектрисы $B E$.
8. Остаток от деления целого числа $a$ на 3 равен 2. Чему равен остаток от деления на 3 числа $a^{2}+2 a$?

Решения задач

1. 1. Вычислите: $4,17^{2}-\left(7,42^{2}+3 \frac{1}{4} \cdot 0,41\right)$
      Решение:
      $4,17^2 = 17,3889$; $7,42^2 = 55,0564$; $3\frac{1}{4} = 3,25$;
      $3,25 \cdot 0,41 = 1,3325$; $55,0564 + 1,3325 = 56,3889$;
      $17,3889 - 56,3889 = -39$.
      Ответ: $-39$.
      
      
   2. Вычислите: $\frac{\left(15^{3}\right)^{4}}{9^{6} \cdot 25^{7}}$
      Решение:
      $\frac{(3^3 \cdot 5^3)^4}{(3^2)^6 \cdot (5^2)^7} = \frac{3^{12} \cdot 5^{12}}{3^{12} \cdot 5^{14}} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} = 0,04$.
      Ответ: $0,04$.
   
   
   
2. Каждый квартал цена товара увеличивалась на $4\%$. На сколько процентов увеличилась цена товара за два квартала?
   Решение:
   После первого квартала: $1 \cdot 1,04 = 1,04$.
   После второго квартала: $1,04 \cdot 1,04 = 1,0816$.
   Увеличение на $1,0816 - 1 = 0,0816 = 8,16\%$.
   Ответ: $8,16\%$.
   
   
3. Решите уравнение:
   1. $\frac{(1-4 x) \cdot(1+4 x)}{4}=1-(2 x-1)^{2}$
      Решение:
      $\frac{1 - 16x^2}{4} = 1 - (4x^2 - 4x + 1)$
      $\frac{1 - 16x^2}{4} = 4x - 4x^2$
      $1 - 16x^2 = 16x - 16x^2$
      $1 = 16x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{16}$.
      Ответ: $\frac{1}{16}$.
      
      
   2. $|2 x+1|=5$
      Решение:
      $2x + 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 2$;
      $2x + 1 = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -3$.
      Ответ: $2$; $-3$.
   
   
   
4. Разложите на множители:
   1. $8 a^{3}(2 x-y)^{2}-12 a^{2}(y-2 x)^{3}$
      Решение:
      $4a^2(2x - y)^2[2a + 3(2x - y)] = 4a^2(2x - y)^2(2a + 6x - 3y)$.
      Ответ: $4a^2(2x - y)^2(2a + 6x - 3y)$.
      
      
   2. $-0,064 x^{3}+\frac{y^{6}}{27}$
      Решение:
      $-\left(0,4x\right)^3 + \left(\frac{y^2}{3}\right)^3 = -\left(0,4x - \frac{y^2}{3}\right)\left(0,16x^2 + \frac{0,4xy^2}{3} + \frac{y^4}{9}\right)$.
      Ответ: $-\left(0,4x - \frac{y^2}{3}\right)\left(0,16x^2 + \frac{0,4xy^2}{3} + \frac{y^4}{9}\right)$.
   
   
   
5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку $\mathrm{A}(-1 ; 4)$ параллельно прямой $y=-3 x+1 .$
   Решение:
   Угловой коэффициент параллельной прямой: $k = -3$.
   Уравнение: $y - 4 = -3(x + 1) \quad \Rightarrow \quad y = -3x + 1$.
   Ответ: $y = -3x + 1$.
   
   
6. Некоторое двузначное число на 9 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 180 больше квадрата его второй цифры. Найдите квадрат этого числа.
   Решение:
   Пусть число $10a + b$, где $a$ и $b$ — цифры.
   $10a + b = a + b + 9 \quad \Rightarrow \quad 9a = 9 \quad \Rightarrow \quad a = 1$.
   $(10 + b)^2 = b^2 + 180 \quad \Rightarrow \quad 100 + 20b = 180 \quad \Rightarrow \quad b = 4$.
   Число: $14$, квадрат: $196$.
   Ответ: $196$.
   
   
7. Градусная мера каждого из углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равна $72^{\circ}$. Сумма длин биссектрисы $AK$ и стороны $AB$ равна 18 см. Найдите длину отрезка $CK$ и длину биссектрисы $BE$.
   Решение:
   Треугольник равнобедренный с углами $A = B = 72^\circ$, $C = 36^\circ$.
   По теореме биссектрисы: $\frac{CK}{KB} = \frac{AC}{AB}$.
   Пусть $AB = x$, тогда $AK = 18 - x$.
   Используя формулу длины биссектрисы: $AK = \frac{2AB \cdot AC \cos 36^\circ}{AB + AC}$.
   Решая систему, получаем $CK = 9$ см, $BE = 9$ см.
   Ответ: $CK = 9$ см, $BE = 9$ см.
   
   
8. Остаток от деления целого числа $a$ на 3 равен 2. Чему равен остаток от деления на 3 числа $a^{2}+2 a$?
   Решение:
   $a \equiv 2 \pmod{3}$.
   $a^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$; $2a \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
   $a^2 + 2a \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{3}$.
   Ответ: $2$.