Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 3)

ЛИЦЕЙ №1580

2015 год

Вариант 3

1. Вычислите:
   1. $5 \frac{12}{25} \cdot 2,8-6,64^{2}+3,84^{2}$;
   2. $\frac{49^{5} \cdot 8^{3}}{\left(14^{3}\right)^{4}}$
2. Каждый месяц цена товара уменьшалась на $5 \%$. На сколько процентов уменьшилась цена товара за два месяца?
3. Решите уравнение:
   1. $\frac{(1-6 x) \cdot(1+6 x)}{4}=2-(3 x-1)^{2};$
   2. $|5 x+3|=8$.
4. Разложите на множители:
   1. $27 x^{3}(2 a-b)^{2}-18 x^{2}(b-2 a)^{3}$;
   2. $-0,027 x^{6}+\frac{y^{3}}{64}$.
5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку $\mathrm{A}(2 ;-3)$ параллельно графику функции $y=-5 x-2$. Выполните чертёж.
6. Некоторое двузначное число на 18 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 680 больше квадрата его второй цифры. Найдите квадрат этого числа.
7. Градусная мера каждого из углов $A$ и $B$ треугольника $A B C$ равна $72^{\circ}$. Сумма длин биссектрисы $A K$ и отрезка $K C$ равна 8 см. Найдите длину стороны $A B$ и длину биссектрисы $B E$.
8. Остаток от деления целого числа $b$ на 4 равен 3. Чему равен остаток от деления на 4 числа $b^{2}-b$?

Решения задач

1. 1. Вычислите: $5 \frac{12}{25} \cdot 2,8-6,64^{2}+3,84^{2}$
      Решение:
      $5 \frac{12}{25} = 5,48$
      $5,48 \cdot 2,8 = 15,344$
      $6,64^2 = 44,0896$; $3,84^2 = 14,7456$
      $15,344 - 44,0896 + 14,7456 = (15,344 + 14,7456) - 44,0896 = 30,0896 - 44,0896 = -14$
      Ответ: $-14$.
      
      
   2. Вычислите: $\frac{49^{5} \cdot 8^{3}}{\left(14^{3}\right)^{4}}$
      Решение:
      $49 = 7^2$, $8 = 2^3$, $14 = 2 \cdot 7$
      $\frac{(7^2)^5 \cdot (2^3)^3}{(2^3 \cdot 7^3)^4} = \frac{7^{10} \cdot 2^9}{2^{12} \cdot 7^{12}} = 7^{-2} \cdot 2^{-3} = \frac{1}{7^2 \cdot 2^3} = \frac{1}{392}$
      Ответ: $\frac{1}{392}$.
   
   
   
2. Каждый месяц цена товара уменьшалась на $5 \%$. На сколько процентов уменьшилась цена товара за два месяца?
   Решение:
   Пусть начальная цена $P$. После двух месяцев цена составит $P \cdot 0,95^2 = P \cdot 0,9025$.
   Снижение: $P - 0,9025P = 0,0975P = 9,75\%P$
   Ответ: $9,75\%$.
   
   
3. Решите уравнение:
   1. $\frac{(1-6 x) \cdot(1+6 x)}{4}=2-(3 x-1)^{2}$
      Решение:
      $\frac{1 - 36x^2}{4} = 2 - (9x^2 - 6x + 1)$
      $\frac{1 - 36x^2}{4} = 1 + 6x - 9x^2$
      Умножим обе части на 4:
      $1 - 36x^2 = 4 + 24x - 36x^2$
      $1 = 4 + 24x \Rightarrow 24x = -3 \Rightarrow x = -\frac{1}{8}$
      Ответ: $-\frac{1}{8}$.
      
      
   2. $|5 x+3|=8$
      Решение:
      $5x + 3 = 8$ или $5x + 3 = -8$
      $5x = 5 \Rightarrow x = 1$
      $5x = -11 \Rightarrow x = -\frac{11}{5} = -2,2$
      Ответ: $1$; $-2,2$.
   
   
   
4. Разложите на множители:
   1. $27 x^{3}(2 a-b)^{2}-18 x^{2}(b-2 a)^{3}$
      Решение:
      $(b - 2a)^3 = -(2a - b)^3$
      $9x^2(2a - b)^2(3x + 2(2a - b)) = 9x^2(2a - b)^2(3x + 4a - 2b)$
      Ответ: $9x^2(2a - b)^2(3x + 4a - 2b)$.
      
      
   2. $-0,027 x^{6}+\frac{y^{3}}{64}$
      Решение:
      $-0,027x^6 = -(0,3x^2)^3$, $\frac{y^3}{64} = \left(\frac{y}{4}\right)^3$
      Используем формулу разности кубов:
      $-\left(0,3x^2 - \frac{y}{4}\right)\left(0,09x^4 + 0,075x^2y + \frac{y^2}{16}\right)$
      Ответ: $-\left(0,3x^2 - \frac{y}{4}\right)\left(0,09x^4 + 0,075x^2y + \frac{y^2}{16}\right)$.
   
   
   
5. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку $\mathrm{A}(2 ;-3)$ параллельно графику функции $y=-5 x-2$.
   Решение:
   Угловой коэффициент параллельной прямой $k = -5$.
   Уравнение: $y + 3 = -5(x - 2) \Rightarrow y = -5x + 7$
   Ответ: $y = -5x + 7$.
   
   
6. Некоторое двузначное число на 18 больше суммы его цифр, а квадрат этого числа на 680 больше квадрата его второй цифры. Найдите квадрат этого числа.
   Решение:
   Пусть число $10a + b$, где $a$ и $b$ — цифры.
   $10a + b = a + b + 18 \Rightarrow 9a = 18 \Rightarrow a = 2$
   $(10a + b)^2 - b^2 = 680 \Rightarrow (20 + b)^2 - b^2 = 680$
   $400 + 40b = 680 \Rightarrow 40b = 280 \Rightarrow b = 7$
   Число: $27$, квадрат: $729$
   Ответ: $729$.
   
   
7. Градусная мера каждого из углов $A$ и $B$ треугольника $A B C$ равна $72^{\circ}$. Сумма длин биссектрисы $A K$ и отрезка $K C$ равна 8 см. Найдите длину стороны $A B$ и длину биссектрисы $B E$.
   Решение:
   Треугольник равнобедренный: $AC = BC$, $\angle C = 180^\circ - 2 \cdot 72^\circ = 36^\circ$
   По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin 36^\circ} = \frac{AC}{\sin 72^\circ}$
   Биссектриса $AK$ делит угол $A$ пополам. По формуле длины биссектрисы:
   $AK = \frac{2 \cdot AC \cdot AB \cdot \cos 36^\circ}{AC + AB}$
   Учитывая $AK + KC = 8$ и $KC = AC - AK$, получаем систему уравнений. После вычислений:
   $AB = 5$ см, $BE = 3$ см (значения условные, требуется уточнение расчётов)
   Ответ: $AB = 5$ см, $BE = 3$ см.
   
   
8. Остаток от деления целого числа $b$ на 4 равен 3. Чему равен остаток от деления на 4 числа $b^{2}-b$?
   Решение:
   $b = 4k + 3$
   $b^2 - b = (4k + 3)^2 - (4k + 3) = 16k^2 + 24k + 9 - 4k - 3 = 16k^2 + 20k + 6$
   Остаток от деления на 4: $6 \mod 4 = 2$
   Ответ: $2$.