Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2008 год (вариант 2-6)

ЛИЦЕЙ №1580

2008 год

Вариант 6

1. Сначала цена изделия была 40 рублей, затем цена была повышена на $20 \%$, а затем еще на $25 \%$. Найдите на сколько процентов повысилась цена по сравнению с первоначальной? Определите окончательную цену товара.
2. Упростите выражение: $\left(2 \frac{1}{3}(-a)^{4}\left(-b^{8}\right)\right)^{3} \cdot\left(-1 \frac{2}{7} \cdot a^{5} \cdot b^{12}\right)^{2}$.
3. Точка $A$ - точка пересечения прямых $y=4 x-7$ и $y=11-2 x$. Точка $B(0 ; 2)$.
   1. Найдите координаты точки $A$;
   2. напишите уравнение прямой $l$, проходящей через точку с координатами $(-1 ;-1)$ и параллельной прямой $A B$;
   3. постройте прямые $A B$ и $l$.
4. Вычислите значение выражения: $\frac{6,3^{2}-2 \cdot 6,3 \cdot 3,4+3,4^{2}}{29}$.
5. Решите уравнение: $x^{2}-5 x+3-\frac{3 x^{2}-5 x-7}{3}=\frac{1}{3}$.
6. На рисунке найдите пары равных треугольников.
   
7. Периметр равнобедренного треугольника $A B C$ равен 43 см. Из вершины $C$ его основания $A C$ проведена медиана $C M$. Найдите стороны данного треугольника, если периметр треугольника $B C M$ на 8 см больше периметра треугольника $A C M$.
8. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются его стороны? Признак равенства прямоугольных треугольников. Сумма острых углов прямоугольного треугольника.

Решения задач

1. Сначала цена изделия была 40 рублей, затем цена была повышена на $20 \%$, а затем еще на $25 \%$. Найдите на сколько процентов повысилась цена по сравнению с первоначальной? Определите окончательную цену товара.
   Решение:
   Первое повышение: $40 \cdot 1,2 = 48$ руб.
   Второе повышение: $48 \cdot 1,25 = 60$ руб.
   Общее повышение: $\frac{60 - 40}{40} \cdot 100% = 50\%$.
   Ответ: повышение на 50\%, окончательная цена 60 руб.
   
   
2. Упростите выражение: $\left(2 \frac{1}{3}(-a)^{4}\left(-b^{8}\right)\right)^{3} \cdot\left(-1 \frac{2}{7} \cdot a^{5} \cdot b^{12}\right)^{2}$.
   Решение:
   Преобразуем смешанные числа:
   $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$; $-1\frac{2}{7} = -\frac{9}{7}$
   Упростим выражение по действиям:
   $\left(\frac{7}{3} \cdot a^4 \cdot (-b^8)\right)^3 = \left(-\frac{7}{3}a^4b^8\right)^3 = -\frac{343}{27}a^{12}b^{24}$
   $\left(-\frac{9}{7}a^5b^{12}\right)^2 = \frac{81}{49}a^{10}b^{24}$
   Перемножим результаты:
   $-\frac{343}{27} \cdot \frac{81}{49} = -21$; $a^{12} \cdot a^{10} = a^{22}$; $b^{24} \cdot b b^{48 b^{48}$
   Ответ: $-21a^{22}b^{48}$.
   
   
3. Точка $A$ - точка пересечения прямых $y=4 x-7$ и $y=11-2 x$. Точка $B(0 ; 2)$.
   1. Найдите координаты точки $A$;
      Решение:
      $4x - 7 = 11 - 2x$
      $6x = 18 \Rightarrow x = 3$
      $y = 4 \cdot 3 - 7 = 5$
      Ответ: $A(3;5)$.
      
      
   2. напишите уравнение прямой $l$, проходящей через точку с координатами $(-1 ;-1)$ и параллельной прямой $A B$;
      Решение:
      Угловой коэффициент $AB$: $k = \frac{5-2}{3-0} = 1$
      Уравнение прямой: $y + 1 = 1 \cdot (x + 1) \Rightarrow y = x$
      Ответ: $y = x$.
      
      
   3. постройте прямые $A B$ и $l$.
      Ответ: Графическое построение выполняется по найденным уравнениям.
   
   
   
4. Вычислите значение выражения: $\frac{6,3^{2}-2 \cdot 6,3 \cdot 3,4+3,4^{2}}{29}$.
   Решение:
   Числитель: $(6,3 - 3,4)^2 = 2,9^2 = 8,41$
   $\frac{8,41}{29} = 0,29$
   Ответ: 0,29.
   
   
5. Решите уравнение: $x^{2}-5 x+3-\frac{3 x^{2}-5 x-7}{3}=\frac{1}{3}$.
   Решение:
   Умножим все части на 3:
   $3x^2 - 15x + 9 - 3x^2 + 5x + 7 = 1$
   $-10x + 16 = 1 \Rightarrow -15 \15 \Rightarrow x = 1,5$
   Ответ: 1,5.
   
   
6. На рисунке найдите пары равных треугольников.
   Ответ: На рисунке равны треугольники по признакам равенства (например, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по стороне и двум прилежащим углам).
   
   
7. Периметр равренного треугольникаренного треугольника $A B C$ равен 43 см. Из вершины $C$ его основания $A C$ проведена медиана $C M$. Найдите стороны данного треугольника, если периметр треугольника $B C M$ на 8 см больше периметра треугольника $A C M$.
   Решение:
   Пусть $AB = BC = x$, $AC = y$. Тогда:
   $2x + y = 43$
   Периметр $\triangle BCM$: $x + \frac{y}{2} + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2} + \frac{y}{2}$
   Периметр $\triangle ACM$: $y + \frac{y}{2} + \frac{x}{2} = \frac{3y}{2} + \frac{x}{2}$
   Разность периметров: $\frac{3x}{2} + \frac{y}{2} - \frac{3y}{2} - \frac{x}{2} = x - y = 8$
   Решаем систему:
   $\begin{cases} 2x + y = 43 \\ x - y = 8 \end{cases} \Rightarrow x = 17,\ y = 9$
   Ответ: $AB = BC = 17$ см, $AC = 9$ см.
   
   
8. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются его стороны? Признак равенства прямоугольных треугольников. Сумма острых углов прямоугольного треугольника.
   Ответ:
   • Прямоугольный треугольник — треугольник с прямым углом (90°).
   • Стороны: катеты (прилежащие к прямому углу) и гипотенуза (противоположная прямому углу).
   • Признаки равенства: по двум катетам; по катету и гипотенузе; по катету и прилежащему острому углу.
   • Сумма острых углов: $90^{\circ}$.