8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 2)

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2015
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2015
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1580


2015 год


Вариант 2



  1. Вычислите:
    1. $\left(13 \frac{7}{9}\right)^{2}: 7-14 \frac{7}{9} \cdot 12 \frac{7}{9}: 7$;
    2. $\frac{33^{5}}{9^{3} \cdot 121^{2}}$
  2. Представьте число 200 в внде разности так, что $30 \%$ уменьшаемого равны $70 \%$ вычитаемого.
  3. Решите уравнение:
    1. $\frac{7 x-1}{5}-\frac{3 x-7}{2}=6-x$;
    2. удовлетворяет ли корень данного уравнения условию $|x|<2 ?$
  4. Разложите на множители:
    1. $m^{2}+m n-m-m q-n q+q$;
    2. $b^{6}-b^{4}-2 b^{2}-1$
  5. Запишите уравненне прямой, параллельной графику функции $y=2 x+1$ и пересекающей прямую $y=-3 x-2$ на оси ординат. Выполните чертёж.
  6. Из города А в город В выехала грузовая машина. Спустя 1,2 ч вслед за ней выехал автобус. Через 0,8 ч после своего выезда он отставал от машины на 24 км. Найдите скорость автобуса, если известно, что она болыше скорости машины на 30 км/ч.
  7. Два угла треугольника равны $20^{\circ}$ и $80^{\circ}$. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника. Найдите длину биссектрисы, если расстояние между основаниями высоты и биссектрисы равно $1 \mathrm{~cm} .$
  8. Докажите, что число $370 \cdot 371 \cdot 372 \cdot 373+1$ можно представить как произведение двух одинаковых натуральных чисел.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Вычислите: $\left(13 \frac{7}{9}\right)^{2}: 7-14 \frac{7}{9} \cdot 12 \frac{7}{9}: 7$
      Решение:
      Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
      $13 \frac{7}{9} = \frac{124}{9}$, $14 \frac{7}{9} = \frac{133}{9}$, $12 \frac{7}{9} = \frac{115}{9}$.
      Вынесем общий множитель $\frac{1}{7}$:
      $\frac{1}{7} \left( \left(\frac{124}{9}\right)^2 - \frac{133}{9} \cdot \frac{115}{9} \right) = \frac{1}{7 \cdot 81} (124^2 - 133 \cdot 115)$.
      Вычислим числитель:
      $124^2 = 15376$, $133 \cdot 115 = 15295$.
      $15376 - 15295 = 81$.
      Получаем: $\frac{81}{567} = \frac{76}{567}$ (ошибка в вычислениях? Уточним: 124²=15376, 133*115=15295, разность 15376-15295=81. Тогда 81/(7*81)=1/7. Ответ: 1/7).
      Ответ: $\frac{1}{7}$.

    2. Вычислите: $\frac{33^{5}}{9^{3} \cdot 121^{2}}$
      Решение:
      Представим числа в виде степеней простых множителей:
      $33 = 3 \cdot 11$, $9 = 3^2$, $121 = 11^2$.
      $\frac{(3 \cdot 11)^5}{(3^2)^3 \cdot (11^2)^2} = \frac{3^5 \cdot 11^5}{3^6 \cdot 11^4} = \frac{11}{3}$.
      Ответ: $\frac{11}{3}$.


  2. Представьте число 200 в виде разности так, что $30 \%$ уменьшаемого равны $70 \%$ вычитаемого.
    Решение:
    Пусть уменьшаемое — $a$, вычитаемое — $b$. Тогда:
    $\begin{cases} a - b = 200 \\ 0,3a = 0,7b \end{cases}$
    Из второго уравнения: $a = \frac{7}{3}b$.
    в первое: в первое: $\frac{7}{3}b - b = 200 \Rightarrow \frac{4}{3}b = 200 \Rightarrow b = 150$.
    Тогда $a = 350$.
    Ответ: $350 - 150 = 200$.

  3. Решите уравнение:
    1. $\frac{7 x-1}{5}-\frac{3 x-7}{2}=6-x$
      Решение:
      Умножим обе части на 10:
      $2(7x - 1) - 5(3x - 7) = 60 - 10x$.
      Раскроем скобки:
      $14x - 2 - 15x + 35 = 60 - 10x$.
      Упростим:
      $-x + 33 = 60 - 10x \Rightarrow 9x = 27 \Rightarrow x = 3$.
      Ответ: $3$.

    2. Удовлетворяет ли корень данного уравнения условию $|x|<2$?
      Решение:
      $|3| = 3 > 2$ — не удовлетворяет.
      Ответ: Нет.


  4. Разложите на множители:
    1. $m^{2}+m n-m-m q-n q+q$
      Решение:
      Группируем слагаемые:
      $m(m + n - 1 - q) - q(n - 1)$.
      Дополнительная группировка:
      $(m - q)(m + n - 1)$.
      Ответ: $(m - q)(m + n - 1)$.

    2. $b^{6}-b^{4}-2 b^{2}-1$
      Решение:
      Представим как разность квадратов:
      $b^6 - (b^4 + 2b^2 + 1) = (b^3)^2 - (b^2 + 1)^2 = (b^3 - b^2 - 1)(b^3 + b^2 + 1)$.
      Ответ: $(b^3 - b^2 - 1)(b^3 + b^2 + 1)$.


  5. Запишите уравнение прямой, параллельной графику функции $y=2 x+1$ и пересекающей прямую $y=-3 x-2$ на оси ординат.
    Решение:
    Параллельная прямая имеет вид $y = 2x + c$.
    Точка пересечения с осью ординат: $x = 0$, тогда $y = c$ для первой прямой и $y = -2$ для второй.
    Приравниваем: $c = -2$.
    Уравнение: $y = 2x - 2$.
    Ответ: $y = 2x - 2$.

  6. Найдите скорость автобуса, если она больше скорости машины на 30 км/ч.
    Решение:
    Пусть скорость грузовика — $v$ км/ч, тогда скорость автобуса — $v + 30$ км/ч.
    Время движения грузовика до встречи: $1,2 + 0,8 = 2$ ч.
    Расстояние грузовика: $2v$, автобуса: $0,8(v + 30)$.
    Разность: $2v - 0,8(v + 30) = 24 \Rightarrow 1,2v = 48 \Rightarrow v = 40$ км/ч.
    Скорость автобуса: $40 + 30 = 70$ км/ч.
    Ответ: 70 км/ч.

  7. Найдите угол между биссектрисой и высотой и длину биссектрисы.
    Решение:
    Треугольник с углами $20^{\circ}$, $80^{\circ}$, $80^{\circ}$. Биссектриса делит угол $20^{\circ}$ на $10^{\circ}$, высота образует угол $10^{\circ}$ с основанием.
    Угол между ними: $10^{\circ}$.
    Расстояние между основаниями $HD = 1$ см. В прямоугольном треугольнике $CDH$:
    $CD = \frac{HD}{\cos 10^{\circ}} \approx \frac{1}{0,9848} \approx 1,015$ см.
    Ответ: Угол $10^{\circ}$, длина биссектрисы $\approx 1,015$ см.

  8. Докажите, что число $370 \cdot 371 \cdot 372 \cdot 373+1$ — полный квадрат.
    Решение:
    Заметим, что $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2$.
    Для $n = 370$:
    $n^2 + 3n + 1 = 370^2 + 3 \cdot 370 + 1 = 138011$.
    Следовательно, $370 \cdot 371 \cdot 372 \cdot 373 + 1 = 138011^2$.
    Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти