Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 11)

ЛИЦЕЙ №1580

2015 год

Вариант 11

1. Вычислите:
   1. $36 \frac{7}{24}:\left(4 \frac{5}{12}+4,35-11 \frac{1}{6}+\frac{2}{5}\right)$
   2. $\frac{0,5 \cdot 0,8-0,8 \cdot 0,7}{1,4^{2}-0,6^{2}} .$
2. Решите уравнение $\frac{3 x+11}{2}-\frac{2 x+7}{3}=4 x$.
3. Сравните значения выражений $\frac{3^{10} \cdot 5^{4}}{45^{3}}$ и $\frac{54^{5}}{3^{10} \cdot 2^{4}}$.
4. Разность чисел равна 20. Одно из них меньше другого на $40 \%$. Найдите меньшее число.
5. Ученик за час вытачивает на 5 деталей меньше, чем опытный токарь. После того как ученик проработал 4 ч, а токарь 8 ч, они изготовили 100 деталей. Сколько деталей сделал каждый по отдельности?
6. Решите уравнение $(x-1)^{2}+(3+2 x)^{2}=5(x-1)(x+1)$.
7. П̆рямая $y=\kappa x+b$ пересекается с прямой $y=2 x+1$ на оси ординат и не пересекается с прямой $y=3 x$. Найдите числа $k$ и $b$, запишите уравнение прямой и постройте её график..
8. Разложите на множители выражение: $y^{2}+4 y+4-x-2$.
9. Биссектрисы прямого угла и одного из острых углов треугольника образуют угол $105^{\circ}$. Найдите гипотенузу треугольника, если его меньший катет равен 1 см.
10. Каждый из двух мальчиков, Ваня и Петя , задумал по натуральному числу, возвёл его в куб и вычел задуманное им число. Полученные ими разности оказались одинаковыми. Могло ли так случиться, что Ваня и Петя задумали различные числа?

Решения задач

1. 1. Вычислите: $36 \frac{7}{24}:\left(4 \frac{5}{12}+4,35-11 \frac{1}{6}+\frac{2}{5}\right)$
      Решение:
      Приведём все слагаемые в скобках к десятичным дробям:
      $4 \frac{5}{12} = 4 + \frac{5}{12} \approx 4 + 0,4167 = 4,4167$
      $11 \frac{1}{6} = 11 + \frac{1}{6} \approx 11 + 0,1667 = 11,1667$
      $\frac{2}{5} = 0,4$
      Вычислим выражение в скобках:
      $4,4167 + 4,35 - 11,1667 + 0,4 = (4,4167 + 4,35) - (11,1667 - 0,4) = 8,7667 - 10,7667 = -2$
      Теперь разделим $36 \frac{7}{24}$ на $-2$:
      $36 \frac{7}{24} = \frac{871}{24}$
      $\frac{871}{24} : (-2) = -\frac{871}{48} = -18 \frac{7}{48}$
      Ответ: $-18 \frac{7}{48}$.
      
      
   2. Вычислите: $\frac{0,5 \cdot 0,8-0,8 \cdot 0,7}{1,4^{2}-0,6^{2}}$
      Решение:
      Числитель: $0,8(0,5 - 0,7) = 0,8 \cdot (-0,2) = -0,16$
      Знаменатель: $(1,4 - 0,6)(1,4 + 0,6) = 0,8 \cdot 2 = 1,6$
      $\frac{-0,16}{1,6} = -0,1$
      Ответ: $-0,1$.
2. Решите уравнение $\frac{3 x+11}{2}-\frac{2 x+7}{3}=4 x$
   Решение:
   Умножим обе части на 6:
   $3(3x + 11) - 2(2x + 7) = 24x$
   $9x + 33 - 4x - 14 = 24x$
   $5x + 19 = 24x$
   $19 = 19x$
   $x = 1$
   Ответ: $1$.
3. Сравните значения выражений $\frac{3^{10} \cdot 5^{4}}{45^{3}}$ и $\frac{54^{5}}{3^{10} \cdot 2^{4}}$
   Решение:
   Первое выражение:
   $45^3 = (9 \cdot 5)^3 = 3^6 \cdot 5^3$
   $\frac{3^{10} \cdot 5^4}{3^6 \cdot 5^3} = 3^4 \cdot 5 = 81 \cdot 5 = 405$
   Второе выражение:
   $54^5 = (6 \cdot 9)^5 = (2 \cdot 3^3)^5 = 2^5 \cdot 3^{15}$
   $\frac{2^5 \cdot 3^{15}}{3^{10} \cdot 2^4} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$
   $405 < 486$
   Ответ: $\frac{3^{10} \cdot 5^{4}}{45^{3}} < \frac{54^{5}}{3^{10} \cdot 2^{4}}$.
4. Разность чисел равна 20. Одно из них меньше другого на $40 \%$. Найдите меньшее число.
   Решение:
   Пусть меньшее число $x$, тогда большее $x + 20$.
   По условию: $x = 0,6(x + 20)$
   $x = 0,6x + 12$
   $0,4x = 12$
   $x = 30$
   Ответ: $30$.
5. Ученик за час вытачивает на 5 деталей меньше, чем опытный токарь. После того как ученик проработал 4 ч, а токарь 8 ч, они изготовили 100 деталей. Сколько деталей сделал каждый по отдельности?
   Решение:
   Пусть ученик делает $x$ деталей в час, токарь — $x + 5$.
   Уравнение: $4x + 8(x + 5) = 100$
   $4x + 8x + 40 = 100$
   $12x = 60$
   $x = 5$ (ученик)
   Токарь: $5 + 5 = 10$ деталей/час
   Ученик сделал: $4 \cdot 5 = 20$ деталей
   Токарь сделал: $8 \cdot 10 = 80$ деталей
   Ответ: ученик — 20, токарь — 80.
6. Решите уравнение $(x-1)^{2}+(3+2 x)^{2}=5(x-1)(x+1)$
   Решение:
   Раскроем скобки:
   $x^2 - 2x + 1 + 4x^2 + 12x + 9 = 5x^2 - 5$
   $5x^2 + 10x + 10 = 5x^2 - 5$
   $10x + 15 = 0$
   $x = -1,5$
   Ответ: $-1,5$.
7. Прямая $y=kx+b$ пересекается с прямой $y=2x+1$ на оси ординат и не пересекается с прямой $y=3x$. Найдите числа $k$ и $b$, запишите уравнение прямой и постройте её график.
   Решение:
   Пересечение на оси ординат: $x = 0$, тогда $y = b = 2 \cdot 0 + 1 = 1 \Rightarrow b = 1$
   Условие непересечения с $y = 3x$: $kx + 1 = 3x$ не имеет решений
   $kx + 1 = 3x \Rightarrow (k - 3)x = -1$
   Решений нет при $k - 3 = 0 \Rightarrow k = 3$
   Уравнение прямой: $y = 3x + 1$
   Ответ: $k = 3$, $b = 1$, уравнение $y = 3x + 1$.
8. Разложите на множители выражение: $y^{2}+4 y+4-x-2$
   Решение:
   $y^2 + 4y + 4 - x - 2 = (y + 2)^2 - (x + 2)$
   Это выражение можно представить как разность квадратов:
   $(y + 2)^2 - (\sqrt{x + 2})^2 = (y + 2 - \sqrt{x + 2})(y + 2 + \sqrt{x + 2})$
   Ответ: $(y + 2 - \sqrt{x + 2})(y + 2 + \sqrt{x + 2})$.
9. Биссектрисы прямого угла и одного из острых углов треугольника образуют угол $105^{\circ}$. Найдите гипотенузу треугольника, если его меньший катет равен 1 см.
   Решение:
   Пусть $\triangle ABC$ — прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$, $AC = 1$ см (меньший катет). Биссектриса $\angle C$ делит его на $45^\circ$. Биссектриса $\angle A$ делит его на $\frac{\alpha}{2}$. Угол между биссектрисами равен $105^\circ$. Используя теорему о сумме углов в треугольнике и свойства биссектрис, находим $\alpha = 30^\circ$. Тогда гипотенуза $AB = \frac{AC}{\sin 30^\circ} = \frac{1}{0,5} = 2$ см.
   Ответ: $2$ см.
10. Каждый из двух мальчиков, Ваня и Петя, задумал по натуральному числу, возвёл его в куб и вычел задуманное им число. Полученные ими разности оказались одинаковыми. Могло ли так случиться, что Ваня и Петя задумали различные числа?
    Решение:
    Пусть Ваня задумал $x$, Петя — $y$, тогда $x^3 - x = y^3 - y$.
    $x^3 - y^3 = x - y \Rightarrow (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x - y$
    Если $x \neq y$, то $x^2 + xy + y^2 = 1$. Для натуральных $x, y$ это невозможно, так как минимальное значение левой части при $x=1$, $y=2$ равно $1 + 2 + 4 = 7 > 1$.
    Ответ: Нет, не могли.