Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2015 год (вариант 1)

ЛИЦЕЙ №1580

2015 год

Вариант 1

1. Вычислите:
   1. $\left(19 \frac{3}{11}\right)^{2}: 3-18 \frac{3}{11} \cdot 20 \frac{3}{11}: 3$;
   2. $\frac{22^{6}}{4^{3} \cdot 11^{7}}$
2. Представьте число 200 в виде двух слагаемых таких, что $25 \%$ одного из них равны $37,5 \%$ другого слагаемого.
3. Решите уравнение:
   1. $\frac{2 x+3}{5}-\frac{3 x-1}{2}=x-1$;
   2. удовлетворяет ли корень данного уравнения условию $|x|>2 ?$
4. Разложите на множители:
   1. $a^{2}-3 a b+a-a q+3 b q-q$;
   2. $x^{4}-x^{2}-2 x-1$
5. Запишите уравнение прямой, параллельной графику функции $y=-2 x-1$ и пересекаюшей прямую $y=5 x+3$ на оси ординат. Выполните чертёж.
6. Из города А в город В выехал автобус. Спустя 0,5 ч вслед за ним выехал автомобиль. Через 1,1 ч после своего выхода он, обогнав автобус, находился на расстоянии 2 км от него. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 20 км/ч меныше скорости автомобиля.
7. Два угла треугольника равны $10^{\circ}$ и $70^{\circ} .$ Найдите угол межгу биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины третъего угла треугольника. Найдите длину биссектрисы, если расстояние между основаннями высоты и биссектрисы равно 2 см.
8. Докажите, что чнсло $107 \cdot 109 \cdot 111 \cdot 113+16$ можно представить как пронзведение двух одинаковых натуральных чисел.

Решения задач

1. 1. Вычислите: $\left(19 \frac{3}{11}\right)^{2}: 3-18 \frac{3}{11} \cdot 20 \frac{3}{11}: 3$
      Решение:
      Заметим, что $19 \frac{3}{11} = 18 \frac{3}{11} + 1$. Тогда выражение можно преобразовать по формуле разности квадратов:
      $\frac{\left(19 \frac{3}{11}\right)^2 - \left(18 \frac{3}{11} \cdot 20 \frac{3}{11}\right)}{3} = \frac{\left(19 \frac{3}{11}\right)^2 - \left(\left(19 \frac{3}{11}\right)^2 - 1\right)}{3} = \frac{1}{3}$.
      Ответ: $\frac{1}{3}$.
      
      
   2. Вычислите: $\frac{22^{6}}{4^{3} \cdot 11^{7}}$
      Решение:
      Представим числитель и знаменатель в виде степеней простых чисел:
      $\frac{(2 \cdot 11)^6}{(2^2)^3 \cdot 11^7} = \frac{2^6 \cdot 11^6}{2^6 \cdot 11^7} = \frac{1}{11}$.
      Ответ: $\frac{1}{11}$.
   
   
   
2. Представьте число 200 в виде двух слагаемых таких, что $25 \%$ одного из них равны $37,5 \%$ другого слагаемого.
   Решение:
   Пусть первое слагаемое равно $x$, тогда второе — $200 - x$. По условию:
   $0,25x = 0,375(200 - x)$
   $0,25x = 75 - 0,375x$
   $0,625x = 75$
   $x = \frac{75}{0,625} = 120$
   Второе слагаемое: $200 - 120 = 80$.
   Ответ: 120 и 80.
   
   
3. 1. Решите уравнение: $\frac{2 x+3}{5}-\frac{3 x-1}{2}=x-1$
      Решение:
      Умножим обе части уравнения на 10:
      $2(2x + 3) - 5(3x - 1) = 10(x - 1)$
      $4x + 6 - 15x + 5 = 10x - 10$
      $-11x + 11 = 10x - 10$
      $-21x = -21$
      $x = 1$.
      Ответ: 1.
      
      
   2. Удовлетворяет ли корень данного уравнения условию $|x|>2 ?$
      Решение:
      Подставим найденный корень $x = 1$:
      $|1| = 1 < 2$.
      Ответ: Нет.
   
   
   
4. 1. Разложите на множители: $a^{2}-3 a b+a-a q+3 b q-q$
      Решение:
      Сгруппируем слагаемые:
      $(a^2 - 3ab + a) - (aq - 3bq + q) = a(a - 3b + 1) - q(a - 3b + 1) = (a - q)(a - 3b + 1)$.
      Ответ: $(a - q)(a - 3b + 1)$.
      
      
   2. Разложите на множители: $x^{4}-x^{2}-2 x-1$
      Решение:
      Представим выражение как разность квадратов:
      $x^4 - (x^2 + 2x + 1) = x^4 - (x + 1)^2 = (x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)$.
      Ответ: $(x^2 - x - 1)(x^2 + x + 1)$.
   
   
   
5. Запишите уравнение прямой, параллельной графику функции $y=-2 x-1$ и пересекающей прямую $y=5 x+3$ на оси ординат.
   Решение:
   Прямая, параллельная $y = -2x - 1$, имеет вид $y = -2x + b$.
   Точка пересечения с осью ординат прямой $y = 5x + 3$ — $(0; 3)$.
   Подставляем координаты точки в уравнение прямой:
   $3 = -2 \cdot 0 + b \Rightarrow b = 3$.
   Ответ: $y = -2x + 3$.
   
   
6. Из города А в город В выехал автобус. Спустя 0,5 ч вслед за ним выехал автомобиль. Через 1,1 ч после своего выхода он, обогнав автобус, находился на расстоянии 2 км от него. Найдите скорость автобуса, если известно, что она на 20 км/ч меньше скорости автомобиля.
   Решение:
   Пусть скорость автобуса $v$ км/ч, тогда скорость автомобиля $v + 20$ км/ч.
   Время движения автобуса до обгона: $0,5 + 1,1 = 1,6$ ч.
   Расстояние автобуса: $1,6v$ км.
   Расстояние автомобиля: $1,1(v + 20)$ км.
   Разница расстояний: $1,1(v + 20) - 1,6v = 2$
   $1,1v + 22 - 1,6v = 2$
   $-0,5v = -20$
   $v = 40$ км/ч.
   Ответ: 40 км/ч.
   
   
7. Два угла треугольника равны $10^{\circ}$ и $70^{\circ}$. Найдите угол между биссектрисой и высотой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника. Найдите длину биссектрисы, если расстояние между основаниями высоты и биссектрисы равно 2 см.
   Решение:
   Третий угол треугольника: $180^{\circ} - 10^{\circ} - 70^{\circ} = 100^{\circ}$.
   Биссектриса делит угол $100^{\circ}$ на два угла по $50^{\circ}$.
   Высота образует с основанием угол $90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}$.
   Угол между биссектрисой и высотой: $50^{\circ} - 20^{\circ} = 30^{\circ}$.
   Расстояние между основаниями (катет в прямоугольном треугольнике): $2 = l \cdot \cos 30^{\circ}$.
   Длина биссектрисы: $l = \frac{2}{\cos 30^{\circ}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2,31$ см.
   Ответ: $30^{\circ}$; $\frac{4}{\sqrt{3}}$ см.
   
   
8. Докажите, что число $107 \cdot 109 \cdot 111 \cdot 113+16$ можно представить как произведение двух одинаковых натуральных чисел.
   Решение:
   Заметим, что числа симметричны относительно 110:
   $107 = 110 - 3$, $109 = 110 - 1$, $111 = 110 + 1$, $113 = 110 + 3$.
   Произведение: $(110^2 - 3^2)(110^2 - 1^2) = (12100 - 9)(12100 - 1) = 12091 \cdot 12099$.
   Добавим 16: $12091 \cdot 12099 + 16 = (12095 - 4)(12095 + 4) + 16 = 12095^2 - 16 + 16 = 12095^2$.
   Ответ: $107 \cdot 109 \cdot 111 \cdot 113 + 16 = 12095^2$.