Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2012 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1580

2012 год

Вариант 1

1. На двух полках стояло 210 книг. Если с первой полки убрать половину книг, а на второй увеличить их число вдвое, то на двух полках будет 180 книг. Сколько книг стояло на полке первоначально?
2. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=4, \\ 2 x+3 y=7 .\end{array}\right.$
3. Число увеличили на 20\%, полученный результат увеличили еще на $20 % .$ На сколько процентов увеличили число за два раза?
4. Вычислите: $\frac{3,17^{2}-2 \cdot 3,17 \cdot 1,17+1,17^{2}}{6,75^{2}-3,25^{2}}$.
5. Вместо каждой из букв $C$ и $D$ подберите одночлен так, чтобы выполнялось алгебраическое равенство $6 a^{2}-C+3 a=a^{2}+D .$
6. Упростите выражение: $\left(x^{2}+\frac{6-x^{4}}{x^{2}-1}\right) \cdot \frac{1+x}{6-x^{2}}$.
7. Выпишите наименьший корень уравнения $|2 x+23|=11$.
8. Сократите дробь $\frac{15 a^{2}-10 a b}{8 b^{2}-12 a b}$ и вычислите ее значение при $a=4, b=5$.
9. Решите уравнение $3 x+5=2 x-1$.
10. В треугольнике $A B C$ угол $A$ в 2 раза больше угла $B$, а угол $C$ в 3 раза больше угла $A$. Вычислите величины углов треугольника $A B C$.
11. Через середину $M$ отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках $A$ и $B$. Докажите, что $M$ также середина отрезка $A B$.
12. $B K$ - биссектриса треугольника $A B C$. Известно, что $\angle A K B: \angle C K B=4: 5$. Найдите разность углов $A$ и $C$ треугольника $A B C$.

Решения задач

1. На двух полках стояло 210 книг. Если с первой полки убрать половину книг, а на второй увеличить их число вдвое, то на двух полках будет 180 книг. Сколько книг стояло на полке первоначально?
   Решение: Пусть на первой полке было \( x \) книг, на второй — \( y \). Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 210 \\ \frac{x}{2} + 2y = 180 \end{cases} \] Умножим второе уравнение на 2: \[ x + 4y = 360 \] Вычтем первое уравнение: \[ 3y = 150 \quad \Rightarrow \quad y = 50 \] Тогда \( x = 210 - 50 = 160 \).
   Ответ: 160 и 50 книг.
2. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases} \] Решение: Умножим первое уравнение на 3, второе на 2: \[ \begin{cases} 9x - 6y = 12 \\ 4x + 6y = 14 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 13x = 26 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение: \[ 3 \cdot 2 - 2y = 4 \quad \Rightarrow \quad y = 1 \] Ответ: \( (2; 1) \).
3. Число увеличили на 20%, полученный результат увеличили еще на 20%. На сколько процентов увеличили число за два раза?
   Решение: Пусть исходное число — \( A \). После первого увеличения: \( 1,2A \). После второго: \( 1,2 \cdot 1,2A = 1,44A \). Общее увеличение на \( 44% \).
   Ответ: 44%.
4. Вычислите: \[ \frac{3,17^{2} - 2 \cdot 3,17 \cdot 1,17 + 1,17^{2}}{6,75^{2} - 3,25^{2}} \] Решение: Числитель — квадрат разности: \[ (3,17 - 1,17)^{2} = 2^{2} = 4 \] Знаменатель — разность квадратов: \[ 6,75^{2} - 3,25^{2} = (6,75 - 3,25) \cdot (6,75 + 3,25) = 35 \] Ответ: \( \frac{4}{35} \).
5. Вместо каждой из букв \( C \) и \( D \) подберите одночлен так, чтобы выполнялось равенство \( 6a^{2} - C + 3a = a^{2} + D \).
   Решение: Перенесем все члены влево: \[ 5a^{2} + 3a - C - D = 0 \] Выберем \( C = 5a^{2} \), \( D = 3a \): \[ 6a^{2} - 5a^{2} + 3a = a^{2} + 3a \] Ответ: \( C = 5a^{2} \), \( D = 3a \).
6. Упростите выражение: \[ \left(x^{2} + \frac{6 - x^{4}}{x^{2} - 1}\right) \cdot \frac{1 + x}{6 - x^{2}} \] Решение: Упростим первую скобку: \[ \frac{(x^{2}(x^{2} - 1) + 6 - x^{4})}{x^{2} - 1} = \frac{6 - x^{2}}{x^{2} - 1} \] Умножим на вторую дробь: \[ \frac{(6 - x^{2})(1 + x)}{(x^{2} - 1)(6 - x^{2})} = \frac{1}{x - 1} \] Ответ: \( \frac{1}{x - 1} \).
7. Выпишите наименьший корень уравнения \( |2x + 23| = 11 \).
   Решение: Раскроем модуль: \[ 2x + 23 = 11 \quad \Rightarrow \quad x = -6 \] \[ 2x + 23 = -11 \quad \Rightarrow \quad x = -17 \] Наименьший корень: \( -17 \).
   Ответ: \( -17 \).
8. Сократите дробь \( \frac{15a^{2} - 10ab}{8b^{2} - 12ab} \) и вычислите ее значение при \( a = 4 \), \( b = 5 \).
   Решение: Разложим числитель и знаменатель: \[ \frac{5a(3a - 2b)}{-4b(3a - 2b)} = -\frac{5a}{4b} \] Подставим значения: \[ -\frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 5} = -1 \] Ответ: \( -1 \).
9. Решите уравнение \( 3x + 5 = 2x - 1 \).
   Решение: \[ 3x - 2x = -1 - 5 \quad \Rightarrow \quad x = -6 \] Ответ: \( -6 \).
10. В треугольнике \( ABC \) угол \( A \) в 2 раза больше угла \( B \), а угол \( C \) в 3 раза больше угла \( A \). Вычислите величины углов треугольника \( ABC \).
    Решение: Пусть \( \angle B = x \). Тогда: \[ \angle A = 2x, \quad \angle C = 6x \] Сумма углов: \[ x + 2x + 6x = 180^{\circ} \quad \Rightarrow \quad x = 20^{\circ} \] Ответ: \( 20^{\circ} \), \( 40^{\circ} \), \( 120^{\circ} \).
11. Через середину \( M \) отрезка с концами на двух параллельных прямых проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках \( A \) и \( B \). Докажите, что \( M \) также середина отрезка \( AB \).
    Решение: Используя свойства параллельных прямых и среднейники \(ники \( APM \) и \( BQM \) подобны. Поскольку \( PM = MQ \), то \( AM = MB \).
    Ответ: Доказано.
12. \( BK \) — биссектриса треугольника \( ABC \). Известно, что \( \angle AKB : \angle CKB = 4 : 5 \). Найдите разность углов \( A \) и \( C \).
    Решение: Пусть \( \angle AKB = 4k \), \( \angle CKB = 5k \). Тогда: \[ 4k + 5k = 180^{\circ} \quad \Rightarrow \quad k = 20^{\circ} \] В треугольниках \( ABK \) и \( CBK \): \[ \angle A = 100^{\circ} - \beta, \quad \angle C = 80^{\circ} - \beta \] Разность: \[ \angle A - \angle C = 20^{\circ} \] Ответ: \( 20^{\circ} \).