Лицей №1580 из 6 в 7 класс 2017 год вариант 3

ЛИЦЕЙ №1580

2017 год

13.04.2017

Вариант 3

1. Найдите значение выражения: \[ \left( -2{,}5 + 2\dfrac{1}{3} \right) \cdot \dfrac{5}{1} - 4 \cdot \left( -0{,}7 \right) \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ 3 \cdot (0{,}9x - 6) - 1{,}15 = 2 \cdot (-0{,}1x + 4) + 1{,}35 \]
   
   
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось:
   • a) *867* на 3;
   • b) 1*35 на 18?
   
   
   
4. Фруктовый сад имеет форму прямоугольника, длина больше ширины на 250 м, и длина относится к ширине как 13:6. За сколько минут сторож обойдёт фруктовый сад, идя со скоростью 4 км/ч?
   
   
5. Если некоторое число увеличить на 45\%, то получим 232. На сколько процентов надо уменьшить это число, чтобы получить 136?
   
   
6. Для нумерации страниц в толковом словаре потребовалось 2016 цифр. Сколько страниц в толковом словаре?
   
   
7. Деревянный кубик размером $5 \times 5 \times 5$ покрасили зелёной краской. Затем его распилили на 125 одинаковых кубика со стороной, равной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых зелёной краской не покрашена ни одна сторона?
   
   
8. Артель из 8 лесорубов за 4,8 часа заготавливает 12 м3 древесины. Сколько древесины смогут заготовить 12 лесорубов за 3,6 часа?
   
   
9. Найдите два числа, если их сумма равна 336, а наибольший общий делитель равен 28.
   
   
10. В детском оздоровительном лагере четыре отряда решили посадить сад. Первый отряд посадил половину всех деревьев, второй — $\dfrac{1}{3}$ того, что посадили другие отряды вместе. Третий отряд посадил $\dfrac{1}{4}$ того, что посадили остальные, а четвёртый — 5 деревьев. Сколько всего деревьев посадили ребята в саду?

\Large{Решения задач} \begin{enumerate} \item Найдите значение выражения: \[ \left( -2{,}5 + 2\dfrac{1}{3} \right) \cdot 5 - 4 \cdot \left( -0{,}7 \right) \] Решение: \[ \left( -\frac{5}{2} + \frac{7}{3} \right) \cdot 5 - 4 \cdot \left( -\frac{7}{10} \right) = \left( -\frac{15}{6} + \frac{14}{6} \right) \cdot 5 + \frac{28}{10} = \left( -\frac{1}{6} \right) \cdot 5 + \frac{14}{5} = -\frac{5}{6} + \frac{14}{5} = \frac{-25 + 84}{30} = \frac{59}{30} = 1\frac{29}{30} \] Ответ: $\frac{59}{30}$ или $1\frac{29}{30}$. \item Решите уравнение: \[ 3 \cdot (0{,}9x - 6) - 1{,}15 = 2 \cdot (-0{,}1x + 4) + 1{,}35 \] Решение: \[ 2{,}7x - 18 - 1{,}15 = -0{,}2x + 8 + 1{,}35 \quad \Rightarrow \quad 2{,}7x - 19{,}15 = -0{,}2x + 9{,}35 \] \[ 2{,}9x = 28{,}5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{28{,}5}{2{,}9} = 9\frac{24}{29} \] Ответ: $9\frac{24}{29}$. \item Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось: \begin{itemize} \item[a)] *867* на 3: \\ Решение: Сумма цифр $a + 8 + 6 + 7 + b = a + b + 21$ должна делиться на 3. Условие: $a + b \equiv 0 \pmod{3}$ ($a \neq 0$). Примеры: $a=1, b=2$; $a=3, b=0$ и т.д. \\ Ответ: Любые цифры $a$ и $b$, где $a \neq 0$ и $a + b$ кратно 3. \item[b)] 1*35 на 18: \\ Решение: Число должно делиться на 2 и 9. Последняя цифра 5 нечётна → делимость на 2 невозможна. \\ Ответ: Нет решений. \end{itemize} \item Фруктовый сад имеет форму прямоугольника. Длина больше ширины на 250 м, отношение длины к ширине 13:6. Время обхода: \\ Решение: Пусть $13k$ — длина, $6k$ — ширина. Разность: $13k - 6k = 250 \Rightarrow k = \frac{250}{7}$. Периметр: $2(13k + 6k) = 38k = \frac{9500}{7}$ м. Время: $\frac{9500}{7} \text{ м} \div \frac{4000}{60} \text{ м/мин} = \frac{285}{14} \approx 20{,}36$ мин. \\ Ответ: $\frac{285}{14}$ мин или ≈20,4 мин. \item Число увеличили на 45\%, получили 232. Уменьшение до 136: \\ Решение: Исходное число $x = \frac{232}{1{,}45} = 160$. Уменьшение: $\frac{160 - 136}{160} \cdot 100\% = 15\%$. \\ Ответ: на 15\%. \item Нумерация страниц словаря: \\ Решение: Цифры: 9 (1-9) + 180 (10-99) + 3 \cdot 609 = 2016. Всего страниц: $99 + 609 = 708$. \\ Ответ: 708. \item Кубики без краски: \\ Решение: Внутренний куб $3 \times 3 \times 3 = 27$. \\ Ответ: 27. \item Заготовка древесины: \\ Решение: Производительность: $\frac{12}{8 \cdot 4{,}8} = 0{,}3125$ м³/чел·час. Объём: $12 \cdot 3{,}6 \cdot 0{,}3125 = 13{,}5$ м³. \\ Ответ: 13,5 м³. \item Два числа с НОД 28 и суммой 336: \\ Решение: $28a + 28b = 336 \Rightarrow a + b = 12$ (взаимно простые). Пары: $(1, 11)$, $(5, 7)$. Числа: $28 \cdot 1 = 28$, $28 \cdot 11 = 308$; $28 \cdot 5 = 140$, $28 \cdot 7 = 196$. \\ Ответ: 28 и 308; 140 и 196. \item Посадка деревьев: \\ Решение: Пусть всего $x$ деревьев. Уравнения: \[ \frac{x}{2} + \frac{1}{3}\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{4}\left(\frac{x}{3}\right) + 5 = x \quad \Rightarrow \quad x = 100 \] Ответ: 100 деревьев. \end{enumerate}