Лицей №1580 из 6 в 7 класс 2017 год (вариант 3)
youit.school ©
ЛИЦЕЙ №1580
2017 год
13.04.2017
Вариант 3
- Найдите значение выражения:
\[
\left( -2{,}5 + 2\dfrac{1}{3} \right) \cdot \dfrac{5}{1} - 4 \cdot \left( -0{,}7 \right)
\]
- Решите уравнение:
\[
3 \cdot (0{,}9x - 6) - 1{,}15 = 2 \cdot (-0{,}1x + 4) + 1{,}35
\]
- Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось:
- a) *867* на 3;
- b) 1*35 на 18?
- Фруктовый сад имеет форму прямоугольника, длина больше ширины на 250 м, и длина относится к ширине как 13:6. За сколько минут сторож обойдёт фруктовый сад, идя со скоростью 4 км/ч?
- Если некоторое число увеличить на 45\%, то получим 232. На сколько процентов надо уменьшить это число, чтобы получить 136?
- Для нумерации страниц в толковом словаре потребовалось 2016 цифр. Сколько страниц в толковом словаре?
- Деревянный кубик размером $5 \times 5 \times 5$ покрасили зелёной краской. Затем его распилили на 125 одинаковых кубика со стороной, равной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых зелёной краской не покрашена ни одна сторона?
- Артель из 8 лесорубов за 4,8 часа заготавливает 12 м3 древесины. Сколько древесины смогут заготовить 12 лесорубов за 3,6 часа?
- Найдите два числа, если их сумма равна 336, а наибольший общий делитель равен 28.
- В детском оздоровительном лагере четыре отряда решили посадить сад. Первый отряд посадил половину всех деревьев, второй — $\dfrac{1}{3}$ того, что посадили другие отряды вместе. Третий отряд посадил $\dfrac{1}{4}$ того, что посадили остальные, а четвёртый — 5 деревьев. Сколько всего деревьев посадили ребята в саду?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
\Large{Решения задач}
\begin{enumerate}
\item Найдите значение выражения:
\[
\left( -2{,}5 + 2\dfrac{1}{3} \right) \cdot 5 - 4 \cdot \left( -0{,}7 \right)
\]
Решение:
\[
\left( -\frac{5}{2} + \frac{7}{3} \right) \cdot 5 - 4 \cdot \left( -\frac{7}{10} \right) = \left( -\frac{15}{6} + \frac{14}{6} \right) \cdot 5 + \frac{28}{10} = \left( -\frac{1}{6} \right) \cdot 5 + \frac{14}{5} = -\frac{5}{6} + \frac{14}{5} = \frac{-25 + 84}{30} = \frac{59}{30} = 1\frac{29}{30}
\]
Ответ: $\frac{59}{30}$ или $1\frac{29}{30}$.
\item Решите уравнение:
\[
3 \cdot (0{,}9x - 6) - 1{,}15 = 2 \cdot (-0{,}1x + 4) + 1{,}35
\]
Решение:
\[
2{,}7x - 18 - 1{,}15 = -0{,}2x + 8 + 1{,}35 \quad \Rightarrow \quad 2{,}7x - 19{,}15 = -0{,}2x + 9{,}35
\]
\[
2{,}9x = 28{,}5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{28{,}5}{2{,}9} = 9\frac{24}{29}
\]
Ответ: $9\frac{24}{29}$.
\item Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось:
\begin{itemize}
\item[a)] *867* на 3:
\\
Решение: Сумма цифр $a + 8 + 6 + 7 + b = a + b + 21$ должна делиться на 3. Условие: $a + b \equiv 0 \pmod{3}$ ($a \neq 0$). Примеры: $a=1, b=2$; $a=3, b=0$ и т.д.
\\
Ответ: Любые цифры $a$ и $b$, где $a \neq 0$ и $a + b$ кратно 3.
\item[b)] 1*35 на 18:
\\
Решение: Число должно делиться на 2 и 9. Последняя цифра 5 нечётна → делимость на 2 невозможна.
\\
Ответ: Нет решений.
\end{itemize}
\item Фруктовый сад имеет форму прямоугольника. Длина больше ширины на 250 м, отношение длины к ширине 13:6. Время обхода:
\\
Решение: Пусть $13k$ — длина, $6k$ — ширина. Разность: $13k - 6k = 250 \Rightarrow k = \frac{250}{7}$. Периметр: $2(13k + 6k) = 38k = \frac{9500}{7}$ м. Время: $\frac{9500}{7} \text{ м} \div \frac{4000}{60} \text{ м/мин} = \frac{285}{14} \approx 20{,}36$ мин.
\\
Ответ: $\frac{285}{14}$ мин или ≈20,4 мин.
\item Число увеличили на 45\%, получили 232. Уменьшение до 136:
\\
Решение: Исходное число $x = \frac{232}{1{,}45} = 160$. Уменьшение: $\frac{160 - 136}{160} \cdot 100\% = 15\%$.
\\
Ответ: на 15\%.
\item Нумерация страниц словаря:
\\
Решение: Цифры: 9 (1-9) + 180 (10-99) + 3 \cdot 609 = 2016. Всего страниц: $99 + 609 = 708$.
\\
Ответ: 708.
\item Кубики без краски:
\\
Решение: Внутренний куб $3 \times 3 \times 3 = 27$.
\\
Ответ: 27.
\item Заготовка древесины:
\\
Решение: Производительность: $\frac{12}{8 \cdot 4{,}8} = 0{,}3125$ м³/чел·час. Объём: $12 \cdot 3{,}6 \cdot 0{,}3125 = 13{,}5$ м³.
\\
Ответ: 13,5 м³.
\item Два числа с НОД 28 и суммой 336:
\\
Решение: $28a + 28b = 336 \Rightarrow a + b = 12$ (взаимно простые). Пары: $(1, 11)$, $(5, 7)$. Числа: $28 \cdot 1 = 28$, $28 \cdot 11 = 308$; $28 \cdot 5 = 140$, $28 \cdot 7 = 196$.
\\
Ответ: 28 и 308; 140 и 196.
\item Посадка деревьев:
\\
Решение: Пусть всего $x$ деревьев. Уравнения:
\[
\frac{x}{2} + \frac{1}{3}\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{4}\left(\frac{x}{3}\right) + 5 = x \quad \Rightarrow \quad x = 100
\]
Ответ: 100 деревьев.
\end{enumerate}
Материалы школы Юайти