Лицей №1580 из 6 в 7 класс 2017 год (вариант 2)

ЛИЦЕЙ №1580

2017 год

13.04.2017

1. Найдите значение выражения: \[ \left( 5 \dfrac{3}{4} - 6 \cdot \dfrac{1}{7} \right) : \dfrac{3}{11} - 2{,}25 : 1{,}5 \cdot \dfrac{1}{2} \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ 4 \cdot (0{,}7x - 4) - 4{,}25 = 3 \cdot (-0{,}2x + 6) + 4{,}25 \]
   
   
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось:
   • a) *387* на 5;
   • b) 5**04 на 36?
   
   
   
4. Территория лицея имеет форму прямоугольника, причём стороны прямоугольника относятся как 19:5, а ширина меньше длины на 700 м. За сколько минут охранник сможет обойти территорию лицея, если его скорость 4 км/ч?
   
   
5. Если некоторое число уменьшить на 30\%, то получим 84. На сколько процентов надо увеличить это число, чтобы получить 144?
   
   
6. Для нумерации страниц энциклопедии по математике потребовалось 1989 цифр. Сколько страниц в энциклопедии?
   
   
7. Деревянный кубик размером $4 \times 4 \times 4$ покрасили красной краской. Затем его распилили на 64 одинаковых кубика со стороной, равной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых красной краской покрашены ровно две стороны?
   
   
8. Через два крана бак наполнился водой за 8 минут. Если бы был открыт только первый кран, то бак наполнился бы за 12 минут. За сколько минут наполнился бы бак, если бы работал только второй кран?
   
   
9. Найдите два числа, если их сумма равна 192, а наибольший общий делитель равен 24.
   
   
10. За контрольную работу 25% учащихся получили «5», 40% — «4», 8 человек — «3», остальные — «2». Средний балл оказался равным 3,75. Сколько учеников в классе?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ \left( 5 \dfrac{3}{4} - 6 \cdot \dfrac{1}{7} \right) : \dfrac{3}{11} - 2{,}25 : 1{,}5 \cdot \dfrac{1}{2} \] Решение: \[ \left( \dfrac{23}{4} - \dfrac{6}{7} \right) : \dfrac{3}{11} - \dfrac{9}{4} : \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \left( \dfrac{161 - 24}{28} \right) \cdot \dfrac{11}{3} - \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{137}{28} \cdot \dfrac{11}{3} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1507}{84} - \dfrac{63}{84} = \dfrac{1444}{84} = 17\dfrac{4}{21} \] Ответ: \(17\dfrac{4}{21}\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ 4 \cdot (0{,}7x - 4) - 4{,}25 = 3 \cdot (-0{,}2x + 6) + 4{,}25 \] Решение: \[ 2{,}8x - 16 - 4{,}25 = -0{,}6x + 18 + 4{,}25 \quad \Rightarrow \quad 2{,}8x - 20{,}25 = -0{,}6x + 22{,}25 \quad \Rightarrow \quad 3{,}4x = 42{,}5 \quad \Rightarrow \quad x = 12{,}5 \] Ответ: \(12{,}5\).
   
   
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось:
   • [a)] *387* на 5;
     Решение: Последняя цифра должна быть 0 или 5. Первая цифра может быть любой, кроме 0. Если звёздочки заменяются одинаковой цифрой, подходит только 5 (число 53875).
     Ответ: 5.
   • [b)] 5**04 на 36?
     Решение: Число должно делиться на 4 и 9. Последние две цифры 04 делятся на 4. Сумма цифр: \(5 + * + * + 0 + 4 = 9 + 2*\) должна делиться на 9. Возможные значения: \(* = 0\) (сумма 9) или \(* = 9\) (сумма 27).
     Ответ: 0 или 9.
   
   
   
4. Территория лицея имеет форму прямоугольника, причём стороны прямоугольника относятся как 19:5, а ширина меньше длины на 700 м. За сколько минут охранник сможет обойти территорию лицея, если его скорость 4 км/ч?
   Решение: Пусть стороны \(19k\) и \(5k\). Разница: \(19k - 5k = 14k = 700\) м \(\Rightarrow k = 50\) м. Стороны: \(950\) м и \(250\) м. Периметр: \(2 \cdot (950 + 250) = 2400\) м = \(2{,}4\) км. Время: \(\dfrac{2{,}4}{4} = 0{,}6\) ч = \(36\) минут.
   Ответ: 36 минут.
   
   
5. Если некоторое число уменьшить на 30\%, то получим 84. На сколько процентов надо увеличить это число, чтобы получить 144?
   Решение: Исходное число: \(84 : 0{,}7 = 120\). Разница: \(144 - 120 = 24\). Процент увеличения: \(\dfrac{24}{120} \cdot 100% = 20\%\).
   Ответ: на 20\%.
   
   
6. Для нумерации страниц энциклопедии по математике потребовалось 1989 цифр. Сколько страниц в энциклопедии?
   Решение: Страницы 1-9: 9 цифр. Страницы 10-99: 180 цифр. Остаток: \(1989 - 189 = 1800\) цифр. Страницы 100-...: \(1800 : 3 = 600\) страниц. Всего: \(9 + 90 + 600 = 699\).
   Ответ: 699.
   
   
7. Деревянный кубик размером \(4 \times 4 \times 4\) покрасили красной краской. Затем его распилили на 64 одинаковых кубика со стороной, равной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых красной краской покрашены ровно две стороны?
   Решение: Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на рёбрах (кроме углов). Каждое ребро содержит 2 таких кубика. Всего рёбер: 12. Ответ: \(12 \cdot 2 = 24\).
   Ответ: 24.
   
   
8. Через два крана бак наполнился водой за 8 минут. Если бы был открыт только первый кран, то бак наполнился бы за 12 минут. За сколько минут наполнился бы бак, если бы работал только второй кран?
   Решение: Совместная производительность: \(\dfrac{1}{8}\). Производительность первого крана: \(\dfrac{1}{12}\). Производительность второго: \(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{24}\). Время: 24 минуты.
   Ответ: 24 минуты.
   
   
9. Найдите два числа, если их сумма равна 192, а наибольший общий делитель равен 24.
   Решение: Числа: \(24a\) и \(24b\), где \(a + b = 8\) и \(a, b\) взаимно просты. Пары: \((1,7)\) и \((3,5)\). Ответ: \(24\) и \(168\) или \(72\) и \(120\).
   Ответ: 24 и 168 или 72 и 120.
   
   
10. За контрольную работу 25% учащихся получили «5», 40% — «4», 8 человек — «3», остальные — «2». Средний балл оказался равным 3{,}75. Сколько учеников в классе?
    Решение: Пусть всего учеников \(x\). Тогда: \(0{,}25x\) — «5», \(0{,}4x\) — «4», \(8\) — «3», \(0{,}35x - 8\) — «2». Уравнение: \(\dfrac{5 \cdot 0{,}25x + 4 \cdot 0{,}4x + 3 \cdot 8 + 2 \cdot (0{,}35x - 8)}{x} = 3{,}75\). Решение: \(x = 40\).
    Ответ: 40.