Лицей №1580 из 6 в 7 класс 2017 год (вариант 1)

\[ \begin{aligned} &\text{ЛИЦЕЙ №1580}\\ &\text{2017 год}\\ &\text{13.04.2017}\\ &\\ &\text{Вариант 1}\\ &\\ &1.\ \text{Найдите значение выражения:}\\ &\quad -8{,}5 \cdot 1 \;-\;\frac{3}{17} \;+\;\Bigl(\frac{45}{46}-\frac{2}{7}\Bigr):\frac{7}{23}\\ &\\ &2.\ \text{Решите уравнение:}\\ &\quad 2\cdot\bigl(0{,}6x - 3\bigr)\;-\;1{,}75 =\;3\cdot\bigl(-0{,}1x + 3\bigr)\;+\;2{,}3\\ &\\ &3.\ \text{Подставьте одну цифру вместо каждой «*», чтобы число делилось:}\\ &\quad\text{a) }*38*7\text{ на 9;}\\ &\quad\text{b) }*134*\text{ на 15;}\\ &\\ &4.\ \text{Огород — прямоугольник с отношением сторон }17:12\text{, ширина на 250 м}\\ &\quad\text{меньше длины. Сторож идёт со скоростью 3 км/ч. За сколько минут}\\ &\quad\text{обойдёт весь огород?}\\ &\\ &5.\ \text{Число увеличили на 15\%, получилось 207. На сколько процентов}\\ &\quad\text{нужно уменьшить его, чтобы получить 126?}\\ &\\ &6.\ \text{Для нумерации страниц учебника потребовалось 1404 цифры. Сколько страниц?}\\ &\\ &7.\ \text{Куб }4\times4\times4\text{ покрасили, распилили на кубики }1\times1\times1.\\ &\quad\text{Сколько маленьких кубиков не имеет ни одной окрашенной стороны?}\\ &\\ &8.\ \text{За 30 минут 6 поваров чистят 12 кг картофеля. Сколько поваров нужно,}\\ &\quad\text{чтобы за 25 минут почистить 15 кг?}\\ &\\ &9.\ \text{Найдите два числа, сумма которых равна 432, а НОД равен 36.}\\ &\\ &10.\ \text{Четверо друзей купили лодку:}\\ &\quad\text{первый внёс половину суммы, вносимой остальными;}\\ &\quad\text{второй — треть суммы, вносимой остальными;}\\ &\quad\text{третий — четверть суммы, вносимой остальными;}\\ &\quad\text{четвёртый внёс 130 руб.}\\ &\text{Сколько стоит лодка и сколько внёс каждый?} \end{aligned} \]

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ -8{,}5 \cdot 1 - \frac{3}{17} + \left( \frac{45}{46frac{2}}{frac{2}{7}} \right) : \frac{7}{23} \] Решение: \[ -8{,}5 - \frac{3}{17} + \left( \frac{45 \cdot 7 - 2 \cdot 46}{46 \cdot 7} \right) \cdot \frac{23}{7} = -8{,}5 - \frac{3}{17} + \frac{315 - 92}{322} \cdot \frac{23}{7} \] \[ = -8{,}5 - \frac{3}{17} + \frac{223}{322} \cdot \frac{23}{7} = -8{,}5 - \frac{3}{17} + \frac{223 \cdot 23}{322 \cdot 7} = -8{,}5 - \frac{3}{17} + \frac{223}{98} \] \[ = -8{,}5 - 0{,}176 + 2{,}275 = -6{,}401 \] Ответ: \(-6{,}401\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ 2 \cdot (0{,}6x - 3) - 1{,}75 = 3 \cdot (-0{,}1x + 3) + 2{,}3 \] Решение: \[ 1{,}2x - 6 - 1{,}75 = -0{,}3x + 9 + 2{,}3 \] \[ 1{,}2x - 7{,}75 = -0{,}3x + 11{,}3 \] \[ 1{,}5x = 19{,}05 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{19{,}05}{1{,}5} = 12{,}7 \] Ответ: \(12{,}7\).
   
   
3. Какую цифру одновременно нужно поставить вместо каждой звёздочки, чтобы число делилось:
   • [a)] \(*38*7\) на 9;
     Решение: Сумма цифр: \(* + 3 + 8 + * + 7 = 18 + * + *\). Сумма должна делиться на 9. Подходит \(* = 1\) и \(* = 5\) (1+5=6; 18+6=24 → не делится). Проверка: \(* = 5\) и \(* = 3\) → сумма 5+3+8+3+7=26 → не делится. Правильный вариант: \(* = 9\) и \(* = 1\) → сумма 9+3+8+1+7=28 → не подходит. Ошибка в рассуждениях. Верный ответ: \(* = 1\) и \(* = 8\) (сумма 1+3+8+8+7=27). Ответ: 1 и 8.
     
     
   • [b)] \(*134*\) на 15?
     Решение: Последняя цифра 0 или 5. Сумма цифр должна делиться на 3. Для \(*1340\): \(* + 1 + 3 + 4 + 0 = * + 8\). Минимальное \(* = 1\) (9). Для \(*1345\): \(* + 1 + 3 + 4 + 5 = * + 13\). Подходит \(* = 2\) (15). Ответ: 2 и 5.
   
   
   
4. Огород имеет форму прямоугольника, его стороны относятся как 17:12 и ширина меньше длины на 250 м. За сколько минут сторож может обойти вокруг весь огород, идя со скоростью 3 км/ч?
   Решение: \[ 17k - 12k = 5k = 250 \quad \Rightarrow \quad k = 50 \] Стороны: \(17 \cdot 50 = 850\) м и \(12 \cdot 50 = 600\) м. Периметр: \[ 2 \cdot (850 + 600) = 2900 \text{ м} = 2{,}9 \text{ км} \] Время: \[ \frac{2{,}9}{3} \cdot 60 = 58 \text{ минут} \] Ответ: 58 минут.
   
   
5. Если некоторое число увеличить на 15\%, то получим 207. На сколько процентов надо уменьшить это число, чтобы получить 126?
   Решение: \[ x \cdot 1{,}15 = 207 \quad \Rightarrow \quad x = 180 \] Процент уменьшения: \[ \frac{180 - 126}{180} \cdot 100% = 30\% \] Ответ: 30\%.
   
   
6. Для нумерации страниц учебника по математике потребовалось 1404 цифры. Сколько страниц в учебнике?
   Решение:
   • 1-9: 9 страниц \(\cdot 1 = 9\) цифр
   • 10-99: 90 страниц \(\cdot 2 = 180\) цифр
   • Остаток: \(1404 - 189 = 1215\) цифр
   • Трехзначные: \(1215 / 3 = 405\) страниц
   • Всего: \(9 + 90 + 405 = 504\)
   Ответ: 504 страницы.
   
   
7. Деревянный кубик размером \(4 \times 4 \times 4\) покрасили красной краской. Затем его распилили на одинаковых кубика со стороной, равной 1. Сколько получилось маленьких кубиков, у которых красной краской не покрашена ни одна сторона?
   Решение: Внутренний куб \(2 \times 2 \times 2 = 8\) кубиков. Ответ: 8.
   
   
8. За 30 минут 6 поваров могут почистить 12 кг картофеля. Сколько поваров необходимо, чтобы за 25 минут почистить 15 кг картофеля?
   Решение: \[ \frac{12}{6 \cdot 0{,}5} = 4 \text{ кг/час на повара} \] \[ \frac{15}{4 \cdot \frac{25}{60}} = 9 \text{ поваров} \] Ответ: 9.
   
   
9. Найдите два числа, если их сумма равна 432, а наибольший общий делитель равен 36.
   Решение: \[ 36a + 36b = 432 \quad \Rightarrow \quad a + b = 12 \quad (a,b \text{ взаимно просты}) \] Пары: (5,7) → числа \(180\) и \(252\). Ответ: 180 и 252.
   
   
10. Четверо друзей купили вместе лодку. Первый внёс половину суммы, вносимой остальными; второй — треть суммы, вносимой остальными; третий — четверть суммы, вносимой остальными, а четвёртый внёс 130 рублей. Сколько стоит лодка и сколько внёс каждый?
    Решение: \[ S_1 = \frac{S - S_1}{2} \quad \Rightarrow \quad S_1 = \frac{S}{3} \] \[ S_2 = \frac{S - S_2}{3} \quad \Rightarrow \quad S_2 = \frac{S}{4} \] \[ S_3 = \frac{S - S_3}{4} \quad \Rightarrow \quad S_3 = \frac{S}{5} \] \[ \frac{S}{3} + \frac{S}{4} + \frac{S}{5} + 130 = S \quad \Rightarrow \quad S = 600 \text{ руб.} \] Вклады: 200, 150, 120, 130. Ответ: 600 руб.; 200, 150, 120, 130.