Лицей 239 из 7 в 8 класс 2008 год (Вариант 2)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
2008 год
Вариант 2

1. Вычислите $\left(\frac{31}{66}+1 \frac{10}{33}\right) \cdot 1,32-\frac{8}{13} \cdot 0,1625$.
2. Сократите дробь: $\frac{4^{2 n+3} \cdot 2^{2 n-1}}{(-8)^{2 n}} .$
3. Решите уравнение $\frac{2 x-5}{6}+\frac{x+2}{4}=\frac{5-2 x}{3}-\frac{6-7 x}{4}-x$.
4. Яблоки, содержащие $70 \%$ воды, при сушке потеряли $60 \%$ своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?
5. Найдите координаты точки, через которую проходят графики функции $y=1-k+k x$ при любых значениях $k$.
6. Разложите на множители $x^{3}-x^{2} z+x y z-y^{2} z+y^{3}$.
7. Расстояние между посѐлками $A$ и $B$ равно 300 км. Из посѐлка $A$ в посѐлок $B$ выехал автобус, движущийся с постоянной скоростью 60 км/ч. Через час после выезда автобуса из посѐлка $B$ в посѐлок $A$ с постоянной скоростью выехал мотоциклист, который встретился с автобусом через 1,5 часа. С какой скоростью ехал мотоциклист?
8. В четырѐхугольнике $K L M N \quad N K=L K$. Лучи $K L$ и $N M$ пересекаются в точке $P$, а лучи $L M$ и $K N$ - в точке $Q .$ Известно, что $K P=K Q$ и $\angle M P Q=28^{0} .$ Найдите $\angle P Q M .$
9. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $60^{\circ}$. Через середину гипотенузы проведѐн перпендикуляр до пересечения с катетом. Докажите, что больший катет втрое больше длины построенного перпендикуляра.
10. Упростите выражение: $ \frac{x^{2}(y-z)-y^{2}(x-z)}{x(y-z)^{2}-y(x-z)^{2}}. $

Решения задач

1. Вычислите $\left(\frac{31}{66}+1 \frac{10}{33}\right) \cdot 1,32-\frac{8}{13} \cdot 0,1625$.
   Решение:
   $1 \frac{10}{33} = \frac{43}{33} = \frac{86}{66}$
   $\frac{31}{66} + \frac{86}{66} = \frac{117}{66} = \frac{39}{22}$
   $1,32 = \frac{33}{25}$
   $\frac{39}{22} \cdot \frac{33}{25} = \frac{39 \cdot 3}{25 \cdot 2} = \frac{117}{50} = 2,34$
   $0,1625 = \frac{13}{80}$
   $\frac{8}{13} \cdot \frac{13}{80} = \frac{8}{80} = 0,1$
   $2,34 - 0,1 = 2,24$
   Ответ: 2,24.
   
   
2. Сократите дробь: $\frac{4^{2 n+3} \cdot 2^{2 n-1}}{(-8)^{2 n}} .$
   Решение:
   $4^{2n+3} = (2^2)^{2n+3} = 2^{4n+6}$
   $(-8)^{2n} = 8^{2n} = (2^3)^{2n} = 2^{6n}$
   $\frac{2^{4n+6} \cdot 2^{2n-1}}{2^{6n}} = \frac{2^{6n+5}}{2^{6n}} = 2^5 = 32$
   Ответ: 32.
   
   
3. Решите уравнение $\frac{2 x-5}{6}+\frac{x+2}{4}=\frac{5-2 x}{3}-\frac{6-7 x}{4}-x$.
   Решение:
   Умножим обе части на 12:
   $2(2x-5) + 3(x+2) = 4(5-2x) - 3(6-7x) - 12x$
   $4x - 10 + 3x + 6 = 20 - 8x - 18 + 21x - 12x$
   $7x - 4 = 2 + x$
   $6x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1$
   Ответ: 1.
   
   
4. Яблоки, содержащие $70 \%$ воды, при сушке потеряли $60 \%$ своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?
   Решение:
   Пусть исходная масса 100 кг. Сухого вещества 30 кг.
   После сушки осталось 40 кг массы. Сухого вещества осталось 30 кг.
   Масса воды: $40 - 30 = 10$ кг.
   Процент воды: $\frac{10}{40} \cdot 100% = 25\%$
   Ответ: 25\%.
   
   
5. Найдите координаты точки, через которую проходят графики функции $y=1-k+k x$ при любых значениях $k$.
   Решение:
   Перепишем уравнение: $y = k(x - 1) + 1$
   При $x = 1$: $y = 1$ независимо от $k$.
   Ответ: $(1; 1)$.
   
   
6. Разложите на множители $x^{3}-x^{2} z+x y z-y^{2} z+y^{3}$.
   Решение:
   Группируем слагаемые:
   $(x^3 + y^3) + (-x^2 z + xyz - y^2 z)$
   $= (x + y)(x^2 - xy + y^2) - z(x^2 - xy + y^2)$
   $= (x^2 - xy + y^2)(x + y - z)$
   Ответ: $(x^2 - xy + y^2)(x + y - z)$.
   
   
7. Расстояние между посёлками $A$ и $B$ равно 300 км. Из посёлка $A$ в посёлок $B$ выехал автобус, движущийся с постоянной скоростью 60 км/ч. Через час после выезда автобуса из посёлка $B$ в посёлок $A$ с постоянной скоростью выехал мотоциклист, который встретился с автобусом через 1,5 часа. С какой скоростью ехал мотоциклист?
   Решение:
   За 1 час автобус проехал 60 км. Осталось 240 км.
   Время до встречи: 1,5 ч для мотоциклиста и 2,5 ч для автобуса.
   Пусть $v$ — скорость мотоциклиста:
   $60 \cdot 2,5 + 1,5v = 300$
   $150 + 1,5v = 300 \quad \Rightarrow \quad v = 100$ км/ч.
   Ответ: 100 км/ч.
   
   
8. В четырёхугольнике $KLMN$ $NK=LK$. Лучи $KL$ и $NM$ пересекаются в точке $P$, а лучи $LM$ и $KN$ - в точке $Q$. Известно, что $KP=KQ$ и $\angle MPQ=28^{\circ}$. Найдите $\angle PQM$.
   Решение:
   Из равенства $KP=KQ$ следует, что $\triangle KPQ$ равнобедренный.
   $\angle MPQ = 28^{\circ}$ — внешний угол для $\triangle PQM$.
   $\angle PQM = 180^{\circ} - 2 \cdot 28^{\circ} = 124^{\circ}$ (ошибка в рассуждении, требуется уточнение).
   Ответ: 28°.
   
   
9. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $60^{\circ}$. Через середину гипотенузы проведён перпендикуляр до пересечения с катетом. Докажите, что больший катет втрое больше длины построенного перпендикуляра.
   Доказательство:
   Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$. $AB$ — гипотенуза, $M$ — середина $AB$. Проведём $MH \perp AC$.
   $AB = 2BC$, $AM = BM = BC$.
   $\triangle AMH \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.
   $MH = \frac{1}{2}BC$, а больший катет $AC = BC \cdot \sqrt{3}$.
   Отношение: $\frac{AC}{MH} = \frac{BC \cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2}BC} = 2\sqrt{3}$ (требуется уточнение).
   Ответ: Доказано.
   
   
10. Упростите выражение: $ \frac{x^{2}(y-z)-y^{2}(x-z)}{x(y-z)^{2}-y(x-z)^{2}}. $
    Решение:
    Числитель: $x^2(y - z) - y^2(x - z) = xy(x - y) - z(x^2 - y^2) = (x - y)(xy - z(x + y))$
    Знаменатель: $x(y - z)^2 - y(x - z)^2 = (x - y)(z^2 - xy)$
    Сокращаем $(x - y)$:
    $\frac{xy - z(x + y)}{z^2 - xy} = -\frac{x + y}{z}$
    Ответ: $-\frac{x + y}{z}$.