Лицей 239 из 7 в 8 класс 2008 год (Вариант 1)

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239
2008 год
Вариант 1

1. Вычислите $\left(1 \frac{11}{24}+\frac{13}{36}\right) \cdot 1,44-\frac{8}{15} \cdot 0,5625$.
2. Сократите дробь: $\frac{9^{2 n+3} \cdot 3^{2 n-2}}{(-27)^{2 n}}$.
3. Решите уравнение $x+\frac{2 x-7}{2}-\frac{3 x+1}{5}=5-\frac{x+6}{2}$.
4. Груши, содержащие 65% воды, при сушке потеряли 50% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?
5. Найдите координаты точки, через которую проходят графики функции $y=2-k-k x$ при любых значениях $k$.
6. Разложите на множители $a^{3}+a^{2} c+a b c+b^{2} c-b^{3}$.
7. Из посѐлка в город выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через час после выезда автобуса, из посѐлка выехал мотоцикл и догнал автобус через 4 часа после выезда автобуса. С какой скоростью ехал мотоциклист?
8. В четырѐхугольнике $A B C D \quad A B=B C$. Лучи $B A$ и $C D$ пересекаются в точке $E$, а лучи $A D$ и $B C$ - в точке $F$. Известно, что $B E=B F$ и $\angle D E F=25^{\circ}$. Найдите $\angle E F D$.
9. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $30^{\circ}$. Докажите, что в этом треугольнике отрезок срединного перпендикуляра, проведѐнного к гипотенузе до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.
10. Упростите выражение: $ \frac{a(b+1)^{2}-b(a+1)^{2}}{a^{2}(b+1)-b^{2}(a+1)} . $

Решения задач

1. Вычислите $\left(1 \frac{11}{24}+\frac{13}{36}\right) \cdot 1,44-\frac{8}{15} \cdot 0,5625$.
   Решение:
   $1 \frac{11}{24} = \frac{35}{24}$; $\frac{35}{24} + \frac{13}{36} = \frac{105}{72} + \frac{26}{72} = \frac{131}{72}$.
   $\frac{131}{72} \cdot 1,44 = \frac{131}{72} \cdot \frac{144}{100} = \frac{131 \cdot 2}{100} = 2,62$.
   $\frac{8}{15} \cdot 0,5625 = \frac{8}{15} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{10} = 0,3$.
   $2,62 - 0,3 = 2,32$.
   Ответ: 2,32.
2. Сократите дробь: $\frac{9^{2 n+3} \cdot 3^{2 n-2}}{(-27)^{2 n}}$.
   Решение:
   $9^{2n+3} = (3^2)^{2n+3} = 3^{4n+6}$; $(-27)^{2n} = (-3^3)^{2n} = 3^{6n}$.
   $\frac{3^{4n+6} \cdot 3^{2n-2}}{3^{6n}} = \frac{3^{6n+4}}{3^{6n}} = 3^4 = 81$.
   Ответ: 81.
3. Решите уравнение $x+\frac{2 x-7}{2}-\frac{3 x+1}{5}=5-\frac{x+6}{2}$.
   Решение:
   Умножим обе части на 10:
   $10x + 5(2x - 7) - 2(3x + 1) = 50 - 5(x + 6)$.
   $10x + 10x - 35 - 6x - 2 = 50 - 5x - 30$.
   $14x - 37 = 20 - 5x$.
   $19x = 57 \quad \Rightarrow \quad x = 3$.
   Ответ: 3.
4. Груши, содержащие 65% воды, при сушке потеряли 50% своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?
   Решение:
   Пусть исходная масса 100 кг. Сухое вещество: 35 кг. После сушки масса 50 кг.
   Масса воды: $50 - 35 = 15$ кг.
   Процент воды: $\frac{15}{50} \cdot 100% = 30\%$.
   Ответ: 30\%.
5. Найдите координаты точки, через которую проходят графики функции $y=2-k-k x$ при любых значениях $k$.
   Решение:
   Перепишем уравнение: $y = 2 - k(1 + x)$.
   Чтобы равенство выполнялось при любом $k$, коэффициенты при $k$ должны быть нулевыми:
   $1 + x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1$.
   Тогда $y = 2$.
   Ответ: $(-1; 2)$.
6. Разложите на множители $a^{3}+a^{2} c+a b c+b^{2} c-b^{3}$.
   Решение:
   Группируем слагаемые:
   $(a^3 - b^3) + (a^2c + abc + b^2c) = (a - b)(a^2 + ab + b^2) + c(a^2 + ab + b^2)$.
   Общий множитель: $(a^2 + ab + b^2)(a - b + c)$.
   Ответ: $(a - b + c)(a^2 + ab + b^2)$.
7. Из посёлка в город выехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через час после выезда автобуса из посёлка выехал мотоцикл и догнал автобус через 4 часа после выезда автобуса. С какой скоростью ехал мотоциклист?
   Решение:
   Автобус проехал до встречи: $60 \cdot 4 = 240$ км.
   Время движения мотоцикла: $4 - 1 = 3$ часа.
   Скорость мотоцикла: $\frac{240}{3} = 80$ км/ч.
   Ответ: 80 км/ч.
8. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = BC$. Лучи $BA$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а лучи $AD$ и $BC$ - в точке $F$. Известно, что $BE = BF$ и $\angle DEF = 25^{\circ}$. Найдите $\angle EFD$.
   Решение:
   Треугольники $BEF$ и $BFC$ равнобедренные ($BE = BF$, $AB = BC$). Угол $\angle DEF = 25^{\circ}$ является внешним углом для треугольника $EFD$. По свойству равнобедренных треугольников $\angle EFD = 25^{\circ}$.
   Ответ: $25^{\circ}$.
9. В прямоугольном треугольнике один из углов равен $30^{\circ}$. Докажите, что в этом треугольнике отрезок срединного перпендикуляра, проведённого к гипотенузе до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета.
   Доказательство:
   Пусть $ABC$ — прямоугольный треугольник с $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle B = 30^{\circ}$. Гипотенуза $AB = 2AC$. Срединный перпендикуляр к $AB$ пересекает катет $BC$ в точке $M$. Точка $M$ делит $BC$ в отношении $1:2$, так как $BM = \frac{2}{3}BC$. Поскольку $BC = AC \sqrt{3}$, то $BM = \frac{2}{3}AC \sqrt{3}$. Отрезок $OM$ (срединный перпендикуляр) равен $\frac{1}{3}AC \sqrt{3}$, что втрое меньше $BC$.
10. Упростите выражение: $ \frac{a(b+1)^{2}-b(a+1)^{2}}{a^{2}(b+1)-b^{2}(a+1)} . $
    Решение:
    Раскроем числитель:
    $a(b^2 + 2b + 1) - b(a^2 + 2a + 1) = ab^2 + 2ab + a - a^2b - 2ab - b = ab^2 - a^2b + a - b = (a - b)(ab + 1)$.
    Знаменатель:
    $a^2(b + 1) - b^2(a + 1) = a^2b + a^2 - a b^2 - b^2 = (a - b)(ab + a + b)$.
    Сокращаем:
    $\frac{(a - b)(ab + 1)}{(a - b)(ab + a + b)} = \frac{ab + 1}{ab + a + b}$.
    Ответ: $\frac{ab + 1}{ab + a + b}$.