8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Горчаковский лицей из 8 в 9 класс 2021 год

Сложность:
Дата экзамена: 2021
СкачатьПечать
youit.school ©
$$ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \Large{\text{ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ}} \\[0.3em] \large{\text{2021 год}} \\[0.3em] \large{\text{Демонстрационный вариант}} \end{array} \\[1em] \text{На выполнение конкурсной работы по математике даётся 45 минут.} \\ \text{Работа включает 9 заданий. Решения и ответы обязательны.} \\ \text{Нельзя пользоваться учебниками, тетрадями, справочниками, калькулятором, средствами связи.} \\ \text{Можно использовать черновик (он не проверяется).} \\ \text{Задания можно выполнять в любом порядке. Советуем пропускать трудные и возвращаться позже.} \\[1em] \text{1. Найдите значение выражения:} \\ 0.5 \cdot \sqrt{0.04} + \dfrac{1}{6} \cdot \sqrt{144} \\[1em] \text{2. Представьте в виде рациональной дроби:} \\ \left( \dfrac{b}{a^2 - ab} - \dfrac{a}{ab - b^2} \right) \cdot \dfrac{ab}{a + b} + \dfrac{a}{b} \\[1em] \text{3. Решите уравнение:} \\ \dfrac{x^2 - 3}{2} - 6x = 5 \\[1em] \text{4. Решите систему неравенств:} \\ 5(x - 1) - 6(3 - x) > 0 \quad \text{и} \quad 0.6x - 1 < 3.2 \\[1em] \text{5. Путь в 12 км один пешеход прошёл на 24 мин быстрее другого.} \\ \text{Найдите скорость каждого, если первый шёл на 1 км/ч быстрее.} \\[1em] \text{6. Укажите, какие из утверждений верны:} \\ \text{(a) Медианы треугольника пересекаются в одной точке, делятся как 1:2 от вершины.} \\ \text{(b) Если в параллелограмм можно вписать окружность, то он квадрат.} \\ \text{(c) Биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные двум смежным сторонам.} \\ \text{(d) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники равны.} \\[1em] \text{7. В двух подобных треугольниках сходственные стороны равны 2 см и 5 см.} \\ \text{Площадь первого треугольника равна 8 см}^2. \text{ Найдите площадь второго.} \\[1em] \text{8. В равнобедренном треугольнике боковая сторона 15 см, высота к основанию 9 см.} \\ \text{Найдите:} \\ \text{(a) площадь треугольника;} \\ \text{(b) высоту, проведённую к боковой стороне.} \\[1em] \text{9. В столовой: 3 салата, 2 первых блюда, 3 вторых блюда, и напитки — компот или чай.} \\ \text{Сколько вариантов обеда можно составить?} \end{array} $$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: $0,5 \sqrt{0,04}+\frac{1}{6} \sqrt{144}$.
    Решение:
    $\sqrt{0,04} = 0,2$, $\sqrt{144} = 12$
    $0,5 \cdot 0,2 + \frac{1}{6} \cdot 12 = 0,1 + 2 = 2,1$
    Ответ: 2,1.

  2. Представьте в виде рациональной дроби выражение: $\left(\frac{b}{a^{2}-a b}-\frac{a}{a b-b^{2}}\right) \cdot \frac{a b}{a+b}+\frac{a}{b}$
    Решение:
    Упростим выражение в скобках:
    $\frac{b}{a(a - b)} - \frac{a}{b(a - b)} = \frac{b^2 - a^2}{ab(a - b)} = -\frac{(a - b)(a + b)}{ab(a - b)} = -\frac{a + b}{ab}$
    Умножим на $\frac{ab}{a + b}$:
    $-\frac{a + b}{ab} \cdot \frac{ab}{a + b} = -1$
    Добавим $\frac{a}{b}$:
    $-1 + \frac{a}{b} = \frac{a - b}{b}$
    Ответ: $\frac{a - b}{b}$.

  3. Решите уравнение: $\frac{x^{2}-3}{2}-6 x=5$.
    Решение:
    Умножим обе части на 2:
    $x^2 - 3 - 12x = 10$
    $x^2 - 12x - 13 = 0$
    Дискриминант: $D = 144 + 52 = 196$
    Корни: $x = \frac{12 \pm 14}{2} = 13$ и $-1$
    Ответ: $-1; 13$.

  4. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}5(x-1)-6(3-x)>0, \\ 0,6 x-1<3,2 .\end{array}\right.$
    Решение:
    Первое неравенство:
    $5x - 5 - 18 + 6x > 0 \Rightarrow 11x > 23 \Rightarrow x > \frac{23}{11}$
    Второе неравенство:
    $0,6x < 4,2 \Rightarrow x < 7$
    Общее решение: $\frac{23}{11} < x < 7$
    Ответ: $x \in \left(\frac{23}{11}; 7\right)$.

  5. Путь в 12 км один пешеход прошел на 24 минуты быстрее, чем второй. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый двигался со скоростью на 1 км/ч большей, чем второй.
    Решение:
    Пусть скорость второго пешехода $x$ км/ч, тогда первого — $(x + 1)$ км/ч.
    Время движения: $\frac{12}{x} - \frac{12}{x + 1} = 0,4$ ч (24 мин = 0,4 ч)
    Уравнение:
    $12(x + 1) - 12x = 0,4x(x + 1)$
    $12 = 0,4x^2 + 0,4x \Rightarrow x^2 + x - 30 = 0$
    Корни: $x = 5$ и $x = -6$ (отрицательный корень не подходит)
    Ответ: 6 км/ч и 5 км/ч.

  6. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет:
    1. Неверно. Медианы делятся в отношении 2:1 от вершины.
    2. Верно. Параллелограмм с вписанной окружностью — ромб, а ромб с равными углами — квадрат.
    3. Верно. Теорема о биссектрисе: $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$.
    4. Неверно. Треугольники могут быть подобными, но не равными.
    Ответ: верные (б, в); неверные (а, г).

  7. Две сходственные стороны подобных треугольников равны 2 см и 5 см. Площадь первого треугольника равна 8 см $^{2}$. Чему равна площадь второго треугольника?
    Решение:
    Коэффициент подобия $k = \frac{5}{2}$
    Отношение площадей $k^2 = \frac{25}{4}$
    Площадь второго: $8 \cdot \frac{25}{4} = 50$ см$^2$
    Ответ: 50 см$^2$.

  8. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 15 см, а высота, проведенная к основанию, равна 9 см. Найдите:
    1. Площадь треугольника:
      Основание: $2 \cdot \sqrt{15^2 - 9^2} = 2 \cdot 12 = 24$ см
      Площадь: $\frac{24 \cdot 9}{2} = 108$ см$^2$
    2. Высоту, проведенную к боковой стороне:
      Площадь также равна $\frac{15 \cdot h}{2} \Rightarrow 108 = \frac{15h}{2} \Rightarrow h = 14,4$ см
    Ответ: 108 см$^2$; 14,4 см.

  9. В лицейской столовой имеется 3 вида салата, 2 вида первого блюда, 3 вида второго блюда и на выбор компот или чай. Сколько вариантов обеда, состоящего из одного салата, одного первого блюда, одного второго блюда и одного напитка, могут выбрать лицеисты?
    Решение:
    По правилу умножения: $3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 36$
    Ответ: 36 вариантов.
Материалы школы Юайти