Горчаковский лицей из 8 в 9 класс 2020 год

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \Large{\text{ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ}} \\[0.3em] \large{\text{2020 год}} \\[0.3em] \large{\text{Демонстрационный вариант}} \end{array} \\[1em] \text{На выполнение конкурсной работы по математике даётся 45 минут.} \\ \text{Работа включает 9 заданий. Требуется записывать решение и ответ.} \\ \text{Нельзя пользоваться учебниками, тетрадями, справочниками, калькулятором.} \\ \text{Можно использовать черновик (не проверяется).} \\ \text{Задания можно выполнять в любом порядке.} \\ \text{Совет: пропускайте трудные задания, возвращайтесь к ним позже.} \\[1em] \text{1. Найдите значение выражения:} \\ -2\sqrt{2} + \sqrt{18} + \sqrt{162} \\[1em] \text{2. Найдите значение выражения:} \\ \left(a - b + \dfrac{4ab}{a - b}\right) \div \left(\dfrac{a}{a + b} - \dfrac{2ab}{b^2 - a^2}\right) \quad \text{при } a = \dfrac{1}{3},\ b = -1 \\[1em] \text{3. Решите уравнение:} \\ 7x^2 + 8x + 1 = 0 \\[1em] \text{4. Решите неравенство:} \\ \dfrac{x - 1}{3} - 2x > \dfrac{3x + 1}{2} \\[1em] \text{5. Моторная лодка со скоростью 15 км/ч прошла по течению 24 км и вернулась.} \\ \text{Обратный путь занял на 40 минут больше. Найдите скорость течения.} \\[1em] \text{6. Вишня стоит 120 руб/кг, малина — 200 руб/кг.} \\ \text{На сколько процентов вишня дешевле малины?} \\[1em] \text{7. Укажите, какие утверждения верны:} \\ \text{(a) Медианы треугольника пересекаются в одной точке, равноудалённой от сторон.} \\ \text{(b) В четырёхугольник со сторонами 3, 5, 9, 7 можно вписать окружность.} \\ \text{(c) Биссектриса в равнобедренном треугольнике делит основание пополам.} \\ \text{(d) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.} \\[1em] \text{8. В треугольнике ABC точки K и M на сторонах AB и BC таковы, что} \\ KM \parallel AC,\ KM = 3,\ AC = 15. \text{ В каком отношении точка K делит AB?} \\[1em] \text{9. В прямоугольной трапеции большая диагональ = 13 см,} \\ \text{большее основание = 12 см, меньшее основание = 8 см.} \\ \text{Найдите площадь трапеции.} \end{array} $$

Решения задач

1. Найдите значение выражения: $-2 \sqrt{2}+\sqrt{18}+\sqrt{162}$.
   Решение:
   $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$; $\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = 9\sqrt{2}$
   $-2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 9\sqrt{2} = (-2 + 3 + 9)\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$
   Ответ: $10\sqrt{2}$.
   
   
2. Найдите значение выражения $\left(a-b+\frac{4 a b}{a-b}\right):\left(\frac{a}{a+b}-\frac{2 a b}{b^{2}-a^{2}}\right)$ наиболее рациональным способом, если $a=\frac{1}{3}, b=-1$.
   Решение:
   Числитель: $a - b + \frac{4ab}{a - b} = \frac{(a - b)^2 + 4ab}{a - b} = \frac{(a + b)^2}{a - b}$
   Знаменатель: $\frac{a}{a + b} - \frac{2ab}{(b - a)(b + a)} = \frac{a(a - b) + 2ab}{(a + b)(a - b)} = \frac{a^2 + ab}{(a + b)(a - b)} = \frac{a}{a - b}$
   Итоговая дробь: $\frac{(a + b)^2}{a - b} : \frac{a}{a - b} = \frac{(a + b)^2}{a}$
   Подставляем $a = \frac{1}{3}$, $b = -1$:
   $\frac{(\frac{1}{3} - 1)^2}{\frac{1}{3}} = \frac{(-\frac{2}{3})^2}{\frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}$
   Ответ: $\frac{4}{3}$.
   
   
3. Решите уравнение $7 x^{2}+8 x+1=0$
   Решение:
   $D = 8^2 - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 64 - 28 = 36$
   $x = \frac{-8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 7} = \frac{-8 \pm 6}{14}$
   $x_1 = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$; $x_2 = \frac{-14}{14} = -1$
   Ответ: $-1$; $-\frac{1}{7}$.
   
   
4. Решите неравенство $\frac{x-1}{3}-2 x>\frac{3 x+1}{2}$.
   Решение:
   Умножим обе части на 6:
   $2(x - 1) - 12x > 3(3x + 1)$
   $2x - 2 - 12x > 9x + 3$
   $-10x - 2 > 9x + 3$
   $-19x > 5 \quad \Rightarrow \quad x < -\frac{5}{19}$
   Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{19})$.
   
   
5. Моторная лодка, собственная скорость которой составляет 15 км/ч, прошла по течению реки 24 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 40 минут больше, чем на путь по течению реки. Найдите скорость течения реки.
   Решение:
   Пусть скорость течения $x$ км/ч. Тогда:
   $\frac{24}{15 - x} - \frac{24}{15 + x} = \frac{2}{3}$
   Умножим на $3(15^2 - x^2)$:
   $72(15 + x - 15 + x) = 2(225 - x^2)$
   $144x = 450 - 2x^2$
   $x^2 + 72x - 225 = 0$
   $D = 72^2 + 900 = 6084 = 78^2$
   $x = \frac{-72 + 78}{2} = 3$ км/ч
   Ответ: 3 км/ч.
   
   
6. Вишня стоит 120 рублей за килограмм, а малина - 200 рублей за килограмм. На сколько процентов вишня дешевле малины?
   Решение:
   Разница цен: $200 - 120 = 80$ руб
   $\frac{80}{200} \cdot 100% = 40\%$
   Ответ: на 40\%.
   
   
7. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет:
   1. Неверно. Медианы пересекаются в центроиде, который не равноудален от сторон.
   2. Верно. Суммы противоположных сторон равны: $3 + 9 = 5 + 7 = 12$.
   3. Верно. В равнобедренном треугольнике биссектриса совпадает с медианой.
   4. Неверно. Диагонали прямоугольника равны, но не перпендикулярны.
   Ответ: (б), (в) — верно; (а), (г) — неверно.
   
   
8. В треугольнике $A B C$ на сторонах $A B$ и $B C$ отмечены точки $K$ и $M$ соответственно так, что $K M \| A C, K M=3, A C=15 . \mathrm{B}$ каком отношении точка $K$ делит сторону $A B ?$
   Решение:
   Коэффициент подобия треугольников $BKM$ и $BAC$: $\frac{KM}{AC} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$
   Отношение $BK : AB = 1 : 5$, значит $AK : KB = 4 : 1$
   Ответ: $4:1$.
   
   
9. Большая диагональ прямоугольной трапеции равна 13 см, а большее основание 12 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно $8 \mathrm{~cm}$.
   Решение:
   Высота трапеции $h$ находится из прямоугольного треугольника:
   $h^2 + 12^2 = 13^2 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{169 - 144} = 5$ см
   Площадь: $\frac{12 + 8}{2} \cdot 5 = 50$ см²
   Ответ: 50 см².