Горчаковский лицей из 8 в 9 класс 2019 год

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \Large{\text{ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ}} \\[0.3em] \large{\text{2019 год}} \\[0.3em] \large{\text{Демонстрационный вариант}} \end{array} \\[1em] \text{На выполнение конкурсной работы по математике даётся 45 минут.} \\ \text{Работа включает 8 заданий. Решения и ответы обязательны.} \\ \text{Нельзя пользоваться учебниками, тетрадями, справочниками, калькулятором.} \\ \text{Разрешено пользоваться черновиком, но он не проверяется.} \\ \text{Задания можно выполнять в любом порядке.} \\ \text{Совет: пропускайте трудные задания, возвращайтесь к ним позже.} \\[1em] \text{1. Найдите значение выражения:} \\ \left(1\dfrac{11}{16} - 3\dfrac{7}{8} \right) \cdot 4 \\[1em] \text{2. Найдите значение выражения:} \\ \dfrac{a^2 - ab}{b^2} \div \dfrac{b - a}{b} \quad \text{при } a = 13,\ b = 4 \\[1em] \text{3. Решите уравнение } x^2 = 3 - 2x \text{ двумя способами:} \\ \text{(a) аналитически (с помощью формул)} \\ \text{(b) графически} \\[1em] \text{4. Решите неравенство:} \\ 4(3x - 4) - 3(4x - 3) \leq 1 - 5x \\[1em] \text{5. Рабочий должен был изготавливать по 50 деталей в день.} \\ \text{Он перевыполнял план на 8 деталей в день.} \\ \text{За 2 дня до срока осталось сделать 36 деталей.} \\ \text{Сколько составляет норма?} \\[1em] \text{6. В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 9 см,} \\ \text{а большая боковая сторона — 5 см. Найдите площадь трапеции.} \\[1em] \text{7. Какие из утверждений верны (обоснуйте):} \\ \text{(a) Если в параллелограмме один угол прямой, то это квадрат.} \\ \text{(b) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.} \\ \text{(c) Если при пересечении двух прямых третьей} \\ \quad \text{внутренние односторонние углы равны, то прямые параллельны.} \\ \text{(d) Если диагонали четырёхугольника взаимно перпендикулярны, то он ромб.} \\[1em] \text{8. В обменном пункте доступны операции:} \\ \text{- за 2 золотых получить 3 серебряных и 1 медную;} \\ \text{- за 5 серебряных получить 3 золотых и 1 медную.} \\ \text{У Николая были только серебряные монеты. Золотых не появилось.} \\ \text{Зато появилось 50 медных. Насколько уменьшилось число серебряных монет?} \end{array} $$

Решения задач

1. Найдите значение выражения: $\left(1 \frac{11}{16}-3 \frac{7}{8}\right) \cdot 4$.
   Решение:
   $1 \frac{11}{16} = \frac{27}{16}$, $3 \frac{7}{8} = \frac{31}{8} = \frac{62}{16}$
   $\frac{27}{16} - \frac{62}{16} = -\frac{35}{16}$
   $-\frac{35}{16} \cdot 4 = -\frac{35}{4} = -8,75$
   Ответ: $-8,75$.
   
   
2. Найдите значение выражения $\frac{a^{2}-a b}{b^{2}}: \frac{b-a}{b}$ наиболее рациональным способом, если $a=13, b=4$.
   Решение:
   $\frac{a(a - b)}{b^2} \cdot \frac{b}{b - a} = \frac{a(a - b)}{b^2} \cdot \frac{b}{-(a - b)} = -\frac{a}{b}$
   При $a=13$, $b=4$: $-\frac{13}{4} = -3,25$
   Ответ: $-3,25$.
   
   
3. Решите уравнение $x^{2}=3-2 x$ двумя способами:
   1. аналитически (с помощью формул);
      Решение:
      $x^2 + 2x - 3 = 0$
      $D = 4 + 12 = 16$
      $x = \frac{-2 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1 = 1$, $x_2 = -3$
      Ответ: $1$, $-3$.
      
      
   2. графически.
      Решение:
      График $y = x^2$ пересекается с графиком $y = 3 - 2x$ в точках $x = 1$ и $x = -3$.
      Ответ: $1$, $-3$.
   
   
   
4. Решите неравенство: $4(3 x-4)-3(4 x-3) \leq 1-5 x$.
   Решение:
   $12x - 16 - 12x + 9 \leq 1 - 5x$
   $-7 \leq 1 - 5x$
   $-8 \leq -5x \Rightarrow x \leq \frac{8}{5}$
   Ответ: $x \leq 1,6$.
   
   
5. Рабочий чтобы выполнить норму должен был изготовлять ежедневно 50 деталей. Но он перевыполнял план на 8 деталей в день. Поэтому уже за 2 дня до конца срока ему осталось изготовить 36 деталей. Сколько деталей составляет норма?
   Решение:
   Пусть срок — $N$ дней. Норма: $50N$ деталей.
   Рабочий изготовил $58(N - 2)$ деталей. Осталось: $50N - 58(N - 2) = 36$
   $-8N + 116 = 36 \Rightarrow N = 10$
   Норма: $50 \cdot 10 = 500$ деталей.
   Ответ: 500.
   
   
6. В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 9 см, а большая боковая сторона равна 5 см. Найдите площадь трапеции.
   Решение:
   Разность оснований: $9 - 6 = 3$ см. Высота (меньшая боковая сторона):
   $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ см
   Площадь: $\frac{6 + 9}{2} \cdot 4 = 30$ см²
   Ответ: 30 см².
   
   
7. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет (ответ необходимо обосновать):
   1. Неверно. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник, но не обязательно квадрат.
   2. Верно. Сумма длин двух сторон ($1 + 2 = 3$) меньше третьей ($4$).
   3. Верно. Если внутренние односторонние углы равны, их сумма равна $180^\circ$, значит прямые параллельны.
   4. Неверно. Диагонали перпендикулярны у ромба и дельтоида, но не только у ромба.
   
   
   
8. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
   - за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
   - за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.
   У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
   Решение:
   Пусть совершено $x$ операций второго типа и $y$ операций первого типа.
   Золото: $3x - 2y = 0 \Rightarrow 3x = 2y$
   Медь: $x + y = 50$
   Решая систему: $x = 20$, $y = 30$
   Изменение серебра: $-5x + 3y = -100 + 90 = -10$
   Ответ: на 10.