Горчаковский лицей из 8 в 9 класс 2018 год

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \Large{\text{ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ}} \\[0.3em] \large{\text{2018 год}} \\[0.3em] \large{\text{Демонстрационный вариант}} \end{array} \\[1em] \text{1. Найдите значение выражения:} \\ \dfrac{8.4 \cdot 1.3}{0.7} - 8 \cdot \dfrac{1}{5} \\[1em] \text{2. Найдите значение выражения:} \\ \dfrac{c^2 - ac}{a^2} \div \dfrac{a - c}{a} \quad \text{при } a = 5,\ c = 26 \\[1em] \text{3. Решите уравнение } x^2 = x + 6 \text{ двумя способами:} \\ \text{(a) аналитически (с помощью формул)} \\ \text{(b) графически} \\[1em] \text{4. Решите неравенство:} \\ x(2 - x) \leq 2(x - 4) - 7x \\[1em] \text{5. Первый рабочий изготовил 60 деталей на 3 часа быстрее второго.} \\ \text{За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если вместе за 1 час они делают 30?} \\[1em] \text{6. В параллелограмме ABCD проведена высота BH. Известно:} \\ AH = 12,\quad HD = 8,\quad AB = 13. \text{ Найдите площадь параллелограмма.} \\[1em] \text{7. Какие из утверждений верны (обоснуйте):} \\ \text{(a) Если в параллелограмме один угол прямой, то это квадрат.} \\ \text{(b) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.} \\ \text{(c) Один из углов треугольника всегда } \leq 60^\circ. \\ \text{(d) Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то он ромб.} \\[1em] \text{8. На день рождения к Андрею пришли Вася, Глеб, Даша, Митя, Соня, Петя и Тимур.} \\ \text{Как можно рассадить всех 8 ребят за круглый стол так,} \\ \text{чтобы у любых двух соседей в именах встречались одинаковые буквы?} \end{array} $$

Решения задач

1. Найдите значение выражения: $\frac{8,4 \cdot 1,3}{0,7}-8 \cdot \frac{1}{5}$.
   Решение:
   $\frac{8,4 \cdot 1,3}{0,7} - 8 \cdot \frac{1}{5} = \frac{10,92}{0,7} - 1,6 = 15,6 - 1,6 = 14$.
   Ответ: 14.
2. Найдите значение выражения $\frac{c^{2}-a c}{a^{2}}: \frac{a-c}{a}$ наиболее рациональным способом, если $a=5, c=26$.
   Решение:
   Упростим выражение: $\frac{c(c - a)}{a^{2}} \cdot \frac{a}{a - c} = \frac{c}{a} \cdot \frac{-(a - c)}{a - c} = -\frac{c}{a}$.
   Подставляем значения: $-\frac{26}{5} = -5,2$.
   Ответ: $-5,2$.
3. Решите уравнение $x^{2}=x+6$ двумя способами:
   1. аналитически (с помощью формул);
      Решение:
      $x^{2} - x - 6 = 0$.
      Дискриминант: $D = 1 + 24 = 25$.
      Корни: $x = \frac{1 \pm 5}{2} \Rightarrow x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
      Ответ: $-2$; $3$.
   2. графически.
      Решение:
      График $y = x^{2}$ пересекается с прямой $y = x + 6$ в точках $x = -2$ и $x = 3$.
      Ответ: $-2$; $3$.
4. Решите неравенство: $x(2-x) \leq 2(x-4)-7 x$.
   Решение:
   $2x - x^{2} \leq -5x - 8$.
   Переносим все в левую часть: $-x^{2} + 7x + 8 \leq 0$.
   Умножаем на $-1$ (знак неравенства меняется): $x^{2} - 7x - 8 \geq 0$.
   Корни уравнения $x^{2} - 7x - 8 = 0$: $x_1 = 8$, $x_2 = -1$.
   Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [8; +\infty)$.
   Ответ: $x \leq -1$ или $x \geq 8$.
5. Первый рабочий изготовил 60 деталей на 3 часа быстрее второго. За сколько часов второй рабочий изготовит 90 деталей, если, работая вместе, они за один час изготовят 30 деталей?
   Решение:
   Пусть скорость второго рабочего — $v$ деталей/час. Тогда скорость первого — $30 - v$ деталей/час.
   Время второго на 60 деталей: $\frac{60}{v - 30}$ (некорректно, требуется переформулировка). Верное решение:
   Пусть второй рабочий изготавливает 90 деталей за $t$ часов, тогда его скорость $v = \frac{90}{t}$.
   Скорость первого: $30 - \frac{90}{t}$.
   Время первого на 60 деталей: $\frac{60}{30 - \frac{90}{t}} = t - 3$.
   Решаем уравнение: $\frac{60t}{30t - 90} = t - 3 \Rightarrow t = 4 + \sqrt{7}$ часов.
   Ответ: $4 + \sqrt{7}$ часов.
6. В параллелограмме $A B C D$ проведена высота $B H$. Известно, что $A H=12$, $H D=8, A B=13$. Найдите площадь параллелограмма.
   Решение:
   Основание $AD = AH + HD = 20$ см.
   Высота $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$ см.
   Площадь: $AD \cdot BH = 20 \cdot 5 = 100$ см².
   Ответ: 100.
7. Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет (ответ необходимо обосновать):
   1. Если в параллелограмме один угол прямой, то он является квадратом.
      Ответ: Неверно. Такой параллелограмм — прямоугольник, но не обязательно квадрат.
   2. Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
      Ответ: Верно. Неравенство треугольника: $1 + 2 < 4$.
   3. Один из углов треугольника всегда не превышает $60^{\circ}$.
      Ответ: Верно. Если бы все углы были больше $60^{\circ}$, их сумма превысила бы $180^{\circ}$.
   4. Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.
      Ответ: Неверно. Пример — дельтоид.
8. На день рождения к Андрею пришли Вася, Глеб, Даша, Митя, Соня, Петя и Тимур. Покажите, как можно рассадить восьмерых ребят за круглый стол так, чтобы у любых двух, сидящих рядом, в именах встречались одинаковые буквы.
   Решение:
   Пример рассадки: Андрей — Даша (А), Даша — Соня (С), Соня — Вася (С), Вася — Глеб (В), Глеб — Митя (М), Митя — Тимур (Т), Тимур — Петя (Т), Петя — Андрей (А).
   Ответ: Возможный порядок: Андрей, Даша, Соня, Вася, Глеб, Митя, Тимур, Петя.