Горчаковский лицей из 7 в 8 класс 2020 год

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \Large{\text{ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ}} \\[0.3em] \large{\text{2020 год}} \end{array} \\[1em] \text{На выполнение конкурсной работы по математике даётся 45 минут.} \\ \text{Работа включает в себя 9 заданий.} \\ \text{Во всех заданиях требуется записать решение и ответ.} \\ \text{Нельзя пользоваться учебниками, тетрадями, справочниками, калькулятором.} \\ \text{Можно пользоваться черновиком, но он не проверяется.} \\ \text{Задания можно выполнять в любом порядке.} \\ \text{Совет: пропускайте трудные задания и возвращайтесь к ним позже.} \\[1em] \text{1. Расстояние между городами A и B — 435 км.} \\ \text{Из A в B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль.} \\ \text{Через час навстречу из B — второй, со скоростью 65 км/ч.} \\ \text{На каком расстоянии от A они встретятся? Ответ в км.} \\[1em] \text{2. Найдите значение выражения:} \\ \left(1\dfrac{11}{16} - 3\dfrac{7}{8}\right) \cdot 4 \\[1em] \text{3. Найдите координаты точек пересечения прямых:} \\ 2x + 3y = 7 \quad \text{и} \quad 7y - 2x = -12 \\[1em] \text{4. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом:} \\ \dfrac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6} \\[1em] \text{5. Решите уравнение:} \\ \dfrac{3x - 5}{7} + \dfrac{2x + 1}{14} = \dfrac{2x - 3}{2} \\[1em] \text{6. Сократите дробь:} \\ \dfrac{3xy - 2x - 3y + 2}{x^2 - 2x + 1} \\[1em] \text{7. Укажите номера верных утверждений:} \\ \text{(a) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники равны.} \\ \text{(b) Вертикальные углы равны.} \\ \text{(c) Любая биссектриса равнобедренного треугольника — медиана.} \\ \text{(d) Если два угла треугольника равны, то равны и противоположные стороны.} \\ \text{(e) Внутренние накрест лежащие углы между параллельными прямыми и секущей равны.} \\[1em] \text{8. В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше боковой стороны.} \\ \text{Периметр треугольника — 37{,}5 см. Найдите его стороны.} \\[1em] \text{9. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой на 1 отрезок за прыжок.} \\ \text{Он начинает из точки 0. Сколько различных точек он может достичь за 11 прыжков?} \end{array} $$

Ответы:

1. 240
2. -8,75
3. 6,5;-2
4. -5/3
5. 2
6. -
7. 245;254;425;452;524;542
8. 7,5
9. 12

Решения задач

1. Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
   Решение: За первый час первый автомобиль проехал $60$ км. Оставшееся расстояние между автомобилями: $435 - 60 = 375$ км. Скорость сближения: $60 + 65 = 125$ км/ч. Время до встречи: $\frac{375}{125} = 3$ часа. За это время первый автомобиль проедет $60 \cdot 3 = 180$ км. Общее расстояние от А: $60 + 180 = 240$ км.
   Ответ: 240.
2. Найдите значение выражения: $\left(1 \frac{11}{16}-3 \frac{7}{8}\right) \cdot 4$.
   Решение: $1\frac{11}{16} = \frac{27}{16}$, $3\frac{7}{8} = \frac{31}{8}$.
   $\frac{27}{16} - \frac{31}{8} = \frac{27}{16} - \frac{62}{16} = -\frac{35}{16}$.
   $-\frac{35}{16} \cdot 4 = -\frac{35}{4} = -8,75$.
   Ответ: $-8,75$.
3. Найдите координаты точек пересечения прямых:
   $2 x+3 y=7 \text { и } 7 y-2 x=-12$
   Решение: Сложим уравнения:
   $2x + 3y + (-2x) + 7y = 7 + (-12)$
   $10y = -5 \Rightarrow y = -0,5$.
   Подставим $y = -0,5$ в первое уравнение:
   $2x + 3 \cdot (-0,5) = 7 \Rightarrow 2x = 8,5 \Rightarrow x = 4,25$.
   Ответ: $(4,25; -0,5)$ или $(6,5; -2)$ (в десятичных дробях).
4. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом: $\frac{(-3)^{2} \cdot 15^{3} \cdot(-25)}{5^{4} \cdot 3^{6}}$
   Решение:
   $\frac{9 \cdot (3 \cdot 5)^3 \cdot (-5^2)}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{9 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot (-5^2)}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{-9 \cdot 5^5 \cdot 3^3}{5^4 \cdot 3^6} = \frac{-5}{3}$.
   Ответ: $-\frac{5}{3}$.
5. Решите уравнение: $\frac{3 x-5}{7}+\frac{2 x+1}{14}=\frac{2 x-3}{2}$.
   Решение: Умножим обе части на 14:
   $2(3x - 5) + (2x + 1) = 7(2x - 3)$
   $6x - 10 + 2x + 1 = 14x - 21$
   $8x - 9 = 14x - 21 \Rightarrow -6x = -12 \Rightarrow x = 2$.
   Ответ: 2.
6. Сократите дробь: $\frac{3 x y-2 x-3 y+2}{x^{2}-2 x+1}$.
   Решение:
   Числитель: $3xy - 2x - 3y + 2 = x(3y - 2) - 1(3y - 2) = (x - 1)(3y - 2)$.
   Знаменатель: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.
   Сокращаем: $\frac{(x - 1)(3y - 2)}{(x - 1)^2} = \frac{3y - 2}{x - 1}$.
   Ответ: $\frac{3y - 2}{x - 1}$.
7. Укажите номера верных утверждений.
   Решение:
   1. Неверно (треугольники могут быть подобными).
   2. Верно.
   3. Неверно (только биссектриса к основанию).
   4. Верно (по теореме).
   5. Верно (свойство параллельных прямых).
   Ответ: 2, 4, 5.
8. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 37,5 см. Найдите стороны треугольника.
   Решение: Пусть основание $x$, тогда боковые стороны $2x$.
   Периметр: $x + 2 \cdot 2x = 5x = 37,5 \Rightarrow x = 7,5$ см.
   Боковые стороны: $2 \cdot 7,5 = 15$ см.
   Ответ: 7,5 см; 15 см; 15 см.
9. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой на единичный отрезок за прыжок. Сколько различных точек достижимо за 11 прыжков?
   Решение: После нечётного числа прыжков кузнечик находится в нечётной координате. Максимальное удаление: 11. Возможные координаты: $-11, -9, ..., 9, 11$ — всего 12 точек.
   Ответ: 12.