Горчаковский лицей из 7 в 8 класс 2019 год
youit.school ©
$$
\begin{array}{l}
\begin{array}{c}
\Large{\text{ГОРЧАКОВСКИЙ ЛИЦЕЙ}} \\[0.3em]
\large{\text{2019 год}}
\end{array} \\[1em]
\text{На выполнение конкурсной работы по математике даётся 45 минут.} \\
\text{Работа включает в себя 8 заданий.} \\
\text{Во всех заданиях требуется записать решение и ответ.} \\
\text{Нельзя пользоваться учебниками, тетрадями, справочниками, калькулятором.} \\
\text{Можно пользоваться черновиком, но он не проверяется.} \\
\text{Задания можно выполнять в любом порядке.} \\
\text{Совет: пропускайте трудные задания и возвращайтесь к ним позже.} \\[1em]
\text{1. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом:} \\
\dfrac{(-3)^3 \cdot (-15) \cdot 25}{5^4 \cdot 3^3} \\[1em]
\text{2. Решите систему уравнений тремя способами:} \\
3x - y = 2 \quad \text{и} \quad x + 2y = 3 \\
\text{(a) графически} \\
\text{(b) методом алгебраического сложения} \\
\text{(c) методом подстановки} \\[1em]
\text{3. Лодка проплыла от одной пристани до другой против течения за 3{,}4 ч,} \\
\text{обратный путь занял 3 ч. Скорость течения реки: 1 км/ч. Найдите скорость лодки.} \\[1em]
\text{4. Решите уравнение:} \\
\dfrac{4x + 5}{6} = \dfrac{3x - 2}{4} + \dfrac{2x - 5}{3} \\[1em]
\text{5. Представьте в виде произведения:} \\
x^3 - x^2y + 3y^2 - 3x^2 \\[1em]
\text{6. В треугольнике ABC проведена биссектриса AM, и AM = MB.} \\
\text{Угол B = } 32^\circ\text{. Найдите угол BAC.} \\[1em]
\text{7. Отметьте, какие из утверждений верны:} \\
\text{(a) Два смежных угла могут быть острыми.} \\
\text{(b) Существует треугольник с углами } 39^\circ,\ 92^\circ,\ 49^\circ. \\
\text{(c) В равнобедренном треугольнике любая биссектриса делит сторону пополам.} \\
\text{(d) Если сумма внутренних накрест лежащих углов = } 180^\circ,\ \text{то прямые параллельны.} \\[1em]
\text{8. На палке отмечены линии трёх цветов:} \\
\text{по красным — 15 кусков, по жёлтым — 5 кусков, по зелёным — 7 кусков.} \\
\text{Сколько получится кусков, если распилить по всем линиям?}
\end{array}
$$
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Найдите значение выражения наиболее рациональным способом: $\frac{(-3)^{3} \cdot(-15) \cdot 25}{5^{4} \cdot 3^{3}} .$
Решение:
$\frac{(-3)^3 \cdot (-15) \cdot 25}{5^4 \cdot 3^3} = \frac{(-27) \cdot (-15) \cdot 25}{625 \cdot 27} = \frac{27 \cdot 15 \cdot 25}{625 \cdot 27} = \frac{15 \cdot 25}{625} = \frac{375}{625} = \frac{3}{5} = 0,6$
Ответ: 0,6.
- Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}3 x-y=2 \\ x+2 y=3\end{array}\right.$ тремя различными способами:
- графически;
Решение: Построим графики уравнений:
$3x - y = 2 \Rightarrow y = 3x - 2$ (прямая с угловым коэффициентом 3, пересекает ось Y в -2)
$x + 2y = 3 \Rightarrow y = \frac{3 - x}{2}$ (прямая с угловым коэффициентом -0,5, пересекает ось Y в 1,5)
Точка пересечения графиков: $(1; 1)$
Ответ: $(1; 1)$.
- методом алгебраического сложения;
Решение:
Умножим первое уравнение на 2:
$6x - 2y = 4$
Сложим со вторым уравнением:
$6x - 2y + x + 2y = 4 + 3 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1$
Подставим $x = 1$ в первое уравнение:
$3 \cdot 1 - y = 2 \Rightarrow y = 1$
Ответ: $(1; 1)$.
- методом подстановки.
Решение:
Из первого уравнения выразим $y = 3x - 2$
Подставим во второе уравнение:
$x + 2(3x - 2) = 3 \Rightarrow x + 6x - 4 = 3 \Rightarrow 7x = 7 \Rightarrow x = 1$
Тогда $y = 3 \cdot 1 - 2 = 1$
Ответ: $(1; 1)$.
- графически;
- Лодка проплыла от одной пристани до другой против течения реки 4 ч. Обратный путь занял у нее 3 ч. Определите скорость лодки, если скорость течения реки $1 \mathrm{км}/\mathrm{ч}$.
Решение:
Пусть собственная скорость лодки $v$ км/ч. Тогда:
Против течения: $4(v - 1) = S$
По течению: $3(v + 1) = S$
Приравняем расстояния:
$4(v - 1) = 3(v + 1) \Rightarrow 4v - 4 = 3v + 3 \Rightarrow v = 7$ км/ч
Ответ: 7 км/ч.
- Решите уравнение: $\frac{4 x+5}{6}=\frac{3 x-2}{4}+\frac{2 x-5}{3}$.
Решение:
Умножим обе части на 12:
$2(4x + 5) = 3(3x - 2) + 4(2x - 5)$
$8x + 10 = 9x - 6 + 8x - 20$
$8x + 10 = 17x - 26 \Rightarrow -9x = -36 \Rightarrow x = 4$
Ответ: 4.
- Представьте в виде произведения: $x^{3}-x^{2} y+3 y^{2}-3 x^{2}$.
Решение:
Группируем слагаемые:
$(x^3 - x^2 y) + (3y^2 - 3x^2) = x^2(x - y) - 3(x^2 - y^2) = x^2(x - y) - 3(x - y)(x + y) = (x - y)(x^2 - 3x - 3y)$
Ответ: $(x - y)(x^2 - 3x - 3y)$.
- В треугольнике $A B C$ проведена биссектриса $A M$, причем $A M=M B$. Известно, что угол $B$ равен $32^{\circ} .$ Найдите угол $B A C$.
Решение:
Треугольник $AMB$ равнобедренный ($AM = MB$), значит $\angle ABM = \angle BAM = \alpha$
$\angle BAC = 2\alpha$
Сумма углов треугольника $ABC$:
$2\alpha + 32^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
В треугольнике $AMC$:
$\angle CAM = \alpha$, $\angle AMC = 2\alpha$ (как внешний угол для $\triangle AMB$)
$\alpha + (180^{\circ} - 32^{\circ} - 2\alpha) + 2\alpha = 180^{\circ} \Rightarrow \alpha = 32^{\circ}$
$\angle BAC = 2 \cdot 32^{\circ} = 64^{\circ}$
Ответ: $64^{\circ}$.
- Укажите среди нижеперечисленных утверждений, какие из них верные, а какие нет:
- Два смежных угла могут быть острыми.
Неверно. Сумма смежных углов $180^{\circ}$. Если оба острые ($<90^{\circ}$), их сумма $<180^{\circ}$. - Существует треугольник с углами $39^{\circ}, 92^{\circ}$ и $49^{\circ} .$
Верно. Сумма углов $39 + 92 + 49 = 180^{\circ}$. - В равнобедренном треугольнике каждая биссектриса делит противоположную сторону пополам.
Неверно. Только биссектриса, проведенная к основанию, делит его пополам. - Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних накрест лежащих углов равна $180^{\circ}$, то прямые параллельны.
Неверно. Для параллельности необходимо равенство накрест лежащих углов.
- Два смежных угла могут быть острыми.
- На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым - 5 кусков, а если по зелёным - 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Решение:
Красных линий: $15 - 1 = 14$
Жёлтых линий: $5 - 1 = 4$
Зелёных линий: $7 - 1 = 6$
Всего уникальных линий: $14 + 4 + 6 = 24$
Количество кусков: $24 + 1 = 25$
Ответ: 25.
Материалы школы Юайти